江西省临川第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

**基本信息** 以端午节节目安排、AI用户数据等真实情境为载体，通过梯度设计考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列、函数图像、圆切线|基础题结合文化情境（如第5题节目安排）| |多选|3/18|线性回归、立体几何|数据分析与空间想象（如第9题AI用户预测）| |填空|3/15|向量夹角、外接球、概率|几何与统计综合（如第14题摸球概率）| |解答|5/77|三角函数、数列、导数|压轴题（第19题）融合切线、极值与零点，考查逻辑推理与创新意识|

2024一2025学年（下)高二年级数学期末试题 配套参考答案 1.C 【详解】A36=26×25=650 2.C 【详解】因为数列{a,}是等差数列，所以4+4：=a+4,=3, 2 所以S,=13(a+a）1 2 3.D 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 12x3 【详解】因为，2一了)因此田是奇函数，图像关于原点对 称， 排除选项C(偶函数图像，关于y轴对称)： 当x>0时，分子2x2>0,分母2+2x>0, 因此∫(x)>0,选项B中x>0时函数值为负，矛盾，排除B: 2×432×64128 取x=4,计算(4)= 24+216+1160625 :≈7.97 16 ∫(4)的值接近8，说明x=4附近函数值仍接近8， 选项A中x=4的函数值和8相差比较大，排除A: 因此，只有选项D符合所有特征. 4.B 【分析】根据两点间距离公式可得PC,即可由勾股定理求解PA=√PC-r2,由三角形 面积公式即可求解， 【详解】由C:(x-1)+(y-3)=5可得C(1,3),r=V5, 所以PC=V3-1}+(6-3}=3,进而可得PA=VPC-r2=v13-5=2W2, 答案第1页，共11页 故3ae=P4=x22xV5=而， 2 所以四边形PACB的面积为2SAc=2×V10=2W10 5.A 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：A=3!=6, 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：A?=4×3×2=24, 故总安排方法数为：AA=6×24=144. 6.C 【分析】根据题意，可得∫(x)为周期为4的偶函数，根据性质求值. 【详解】已知f(x)是定义在R上的偶函数，即f(-x)=f(x), f(x+1)是奇函数，即f(x+1)=-f(x+1), 则f(2-x)=f(-(x-1)+1)=-f(x-1)+1)=-f(x), 所以f(2+x)=-f(-x)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x), 则f(10)=f(2+2×4)=f(2)=f(-2)=1. 7.A 【分析】根据条件概率公式分别求出P(A)和P(AB),进而求解P(B|A)即可. 【详解1由题意可得P(4=1-号-分叫)=号-号 4 所以P(BA)= P(AB)9_4 P(A)55 9 故选：A. 8.D 【分析】结合绝对值函数|x-的最小值性质，确定α的取值，再根据引x-的区间最值条 件求解b的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式(a-x-b列)(x2-8x+12)≤0恒成立. 小60度立 [x>6或x<2 a≤k-b 恒成立， 答案第2页，共11页 即当x>6或x<2时，x-bl≥a→x≥a+b或x≤a-b恒成立， 所以只需(-w,2)U(6,+w)c(-w,b-aU[b+a,+w), 所以88三名回： 「x2-8x+12≤0 2≤x≤6 2{a-k-bl20 恒成立→ (ar-b恒成立， 即当2≤x≤6时，0≤x-b≤a恒成立，而x-b≤a有解的前提是a≥0， 当0时x-b≤0→x=b,不可能对整个区间[2,6]成立， 故a>0,x-b≤a→b-a≤x≤b+a恒成立， 所以只需[2,6]c[b-a,b+a], 所以吧+8名回， [b-a≥2 b+a≤6.b-a=2a=2 联回即6-as2Pb+a=6b=4 b+a≥6 计算log.b=log24=2 9.AC 【分析】对于A,由表格数据变化情况可判断：对于B,由回归方程过点(，)可判断选项 正误；对于C,由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于D,比较预测值与实 际数量大小可判断选项正误 【详解】对于A,由表格数据可得y随着x的增大而增大，故变量x,y正相关，故A正确； 对于B,由表格数据可得x=3,y=1.06,因y=bx+0.16过点(3,1.06)， 则b=0.3,故B错误； 对于C,由B可得回归方程为：y=0.3x+0.16,当x=7时， y=0.3×7+0.16=2.26>2,故C正确； 对于D,当x=4时，由回归方程可得预测值为y=0.3×4+0.16=1.36,而用户实际数 量为1.3<136，故D错误. 10.ACD 【分析】根据线面平行的判定定理证明线面平行判断A,求出异面直线所成角判断B,作出 题设截面求出周长判断C,求出外接球半径，从而求得表面积判断D. 【详解】对于A,连接BD与AC交于点O,则O是BD中点，连接OE, 又E是PB中点，所以OE/IPD,因为OEC平面ACE,PD文平面ACE,所以PD/I平面ACE, 答案第3页，共11页 A正确； 对于B,因为AB/ICD,所以∠EAB(它是等腰三角形的底角为锐角)是异面直线AE与CD 所成的角， AB 在等腰aPAB中，cOS∠PBA=2 2V5, 所以sm∠PBA=25 B2√5 5 由余弦定理得AE=VAB+BE-2AB.BEcos∠ABE 16+5-2x4W55 13, 由正弦定理 BE AE sin∠EAB sin∠ABE'sin∠EAB= BE sin A 5x25 23,∠EAB显 AE 13 13 然为锐角，所以∠EAB≠45°， 即异面直线AE与CD所成的角不是45°，B错： D 对于C,作EF/IBC交PC于F,连接DF,则四边形ADFE即为截面， 由正四棱锥性质得DF-AB-店，店P=BC=2,所以截面周长为 4+√13+V13+2=6+213,C正确： 对于D,由已知Oc= 54c=45-5,0p=a5-2-25>oc, 所以四棱锥的外接球的球心M在线段PO上， 设外接球半径为R,由MB=M02+OB2得R2=(23-+(2W,解得R=5 3 所以外接球的表面积为S=4R=4r×5)-100,D正确 3 3 11.ACD 【分析】根据数列的递推关系式可确定a+-a的符号，则可得数列{a}的单调性，从而判 断A:计算a-(a+2到=女-2=a+2a-2)20从而可判断B:由已知可得a, 根据对数运算可得l1og24+>2log2a,-1,结合累加法求和可判断C;根据裂项相消法得数列 前n项和即可判断D. +2 答案第4页，共11页 【详解】对于A,因为41=4+a,4=2>0,所以4>0， 1 则a,H-a=24>0,所以a}是递增数列，故A正确； 对于B.因为aa2)女202a2到20，所以a≥4-2，放B行谈： 对于C,因为4-4+a=4,aa女=a>0,所以u, 13 所以log24+1>2log24n-1,变形得log24t1-1>2(10g2a.-1), 用累乘法可得1og24+1-1≥21(1og,4-1)=2”-,所以1og,41≥2-1+1，故C正确： 对于D,因为au-a+a-a2 2 1 2-11 111 aa+2)aa+2,所以 所以 a +2 a ar 故选：ACD 2月 【分析】由向量垂直的数量积表示计算. 【详解】因为a1(a-2b),所以a(a-2b)=a-2a.6=22-2×2x3xcos(a,=0, 所以co位列号 13.33π 【分析】根据外接球的性质，确定球心O在过BC中点M,且垂直于平面ABC的直线上， 再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥D-ABC的外接 球球心为O(2,2,t),利用OA=OD,求出t的值，即可求得答案. 【详解】 A B 由题意得：AB LAC,AB=AC=4,则△ABC的外接圆圆心为BC中点M: 则三棱锥D-ABC的外接球球心O在过点M且垂直于平面ABC的直线上. :A4⊥平面ABC,则易得AA⊥AB,AA⊥AC,又AB L AC, 答案第5页，共11页 故可以A为坐标原点，AB,AC,AA分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系. A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),M(2,2,0),D(1,1,2),设O(2,2,t) 则10A=V22+22+F=8+,10D=V2-12+(2-12+t-2)2=V2+(t-2) 血3+F=2+-可，解利1=方 三棱锥D-ABC的外接球的表面积S=4πR=4π× V33)月 =33π 2 14月 【分析】设出事件，根据题意运用全概率公式求解即可. 【详解】记取到甲盒子为事件A,取到乙盒子为事件为A,取到丙盒子为事件A,取到黑 球为事件B, 由腿意可知：PA)P4)=P氏4)}P14)子P4)广言P(B4)广 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BIA)+P(A)P(BA) 12,15,1、12 33363231 所以摸出的球是黑球的概率为 放答关为：号 15.0A= (2)证明：解法一：由sinB=2sinC及正弦定理可得b=2c, 由余弦定理得b2+c2-a2=2bcos4,即(2c)+c2-a2=2×2c×ccos 化简得5c2-a2=2c2,所以a2=3c2, 因此a2+c2=3c2+c2=4c2=b2, 所以△ABC是直角三角形. 解法三：因为4-骨所以C=不4B:年日 3 所以sinB=2sinC=2sim27B=5cosB+sinB, (3 答案第6页，共11页 所以cosB=0,又B∈(0，π)，故B= 2 即△ABC是直角三角形 【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合和差公式化简即可得解： (2)法一：利用正弦定理角化边得b=2c,代入余弦定理求出4，C关系，然后由勾股定理即 可得证；法二：利用内角和消去C,结合和差公式展开直接求出B即可得证 【详解】(1)由条件及正弦定理得2 sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA, 即2 sinBcos4=sin(A+C),得2 sinBcos4=sinB, 又B∈(0，，所以sinB≠0，所以2cosA=1,解得co34=1 又4e0到.所以4=背 (2)略 16.(1)油0=(n+1)a,+n(n+1),得3=+1，即--1， n+l n n+l n 又马=2，所以数列马 是首项为2、公差为1的等差数列， n 所以=2+(n-1)=n+1,所以a=n(n+1(neN). (2)3,4 【分析】(1)直接由递推关系可得马1-=1，进而可证明数列 n+l n 凸是等差数列，并可得 n 通项公式： (2)由裂项相消法求和可得S=” 进而可将所求不等式转化为m3-7m2+11n-1<0, 再构造函数f(x)=x-7x2+11x-1,用导数判断函数单调性，并结合函数值可得不等式的 解集 【详解】(1)略 2)由(1)知a=nu+10neN),所以上-1=1L an n(n+1)nn+1' 双-仔g》144 代入发>-m+12,整理得开-7m+1m-1<0. 设f(x)=x-7x2+11x-1,则f"(x)=3x2-14x+11=(x-1)(3x-11), 当1<x<时，f”)<0,了四)单调递减：当>时，∫(>0，f9单调递增， 答案第7页，共11页 又f(1)=4f(2)=1,f(3)=-4,f(4)=-5,f(5)=4, 所以不等式m-7m+11n-1<0的正整数解集为{3,4 故使不等式 1 S >2-7n+12成立的正整数n的取值集合为3,4. 17.0054 (2) X 0 1 2 3 7 11 31 1 1 27 36 108 瑞 【分析】(1)根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可. (2)判断出X的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到 分布列，进而求出数学期望 【详解】(1)设第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率为P,有以下两种情况： 第1分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞：第1分钟末系统中有两个可分裂 细胞. 根据题意有p=×之+片x-L15 2×6+361210854 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4， Px=0=7 111 1111 P(X=)=22+3x2石*236 31 63 108 Px=-2号号 。111 x到子周立 答案第8页，共11页 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 7 11 31 个 P 27 36 108 9 27 7 +2× 31 1 E(=0x 108+3×g4× 149 3 2736 18.0 、1 @时-号 【分析】(1)代入m各值和范围求出判断C即可求解： (2)设A(,),求出点B坐标，代入曲线C,设P(x,y),代入曲线C并联立，求出kk 后再建立方程求解参数即可 【详解】(1)当m=-3或-2时，C是椭圆，当m=-1时，C:y2+x2=1是圆， 当m>0时，C是双曲线， 综上，从-3，-2，-1,1,2,3中任选一个数作为m,c是椭圆的概率为P=2-} 63 (2)设A(6%),则B(←6，-为)，巧-士=1记为0， 设P(x,),则x≠土，y-=1记为②， 国0y-分三，5浮品 则6=y-业y+%=y2-好1 x-Xx+Xx-X m 以m年解得m=4,则C的方程是少_=1 所以1=1 4 19.(1)已知函数f(x)=x-2ax2-arx+b,a,b∈R,若a=b,则f(x)=x-2ar2-ar+a,aeR, f'(x)=3x2-4ax-a, 由于f1)=13-2a-12-a-1+a=1-2a,所以切点为(1,1-2a), 切线斜率k=f'(1)=3×12-4a.1-a=3-5a, 因此切线方程为y-(1-2a)=(3-5a)(x-1),化简得y=(3-5a)x+3a-2,即 y=(-5x+3)a+3x-2, 答案第9页，共11页 当-5x3=0,即x时，y=写 因此曲线y=f(x)在点1，f(I)处的切线过定点 a 3/3m3-3 【分析】(1)根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于α的函数即可 求解： (2)根据题意，求出α=-1，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于0且极小 值小于0即可求解； (3)构造函数g(x)=∫'(x)-2e,根据题意，得出g(x)在[0，]上单调递减，利用导数求出 单调性即可求解， 【详解】(1)略。 (2)己知函数f(x)=x3-22-ar+b,a,beR,则f'(x)=3x2-4c-a, 由于x=-1是f()的极值点，所以f'(-1)=0,解得a=-1,所以f(x)=x+2x2+x+b,beR, f'(x)=3.x2+4x+1=(x+1)(3x+1), 令f)-0,解得=1，= 当x<-1时，f'(x)>0,所以f(x)在(-o,-1)单调递增； 当-1<<一3时，f(k0,所以f()在-1-号单调递减： 当x>时，了)>0，所以f在（+如单调递增： 因此f(x)在x=-1处取得极大值，极大值为f(1)=(-1)+2×(-1)?+(-1)+b=b, 在号类取得极小，极小位为〔司》（2（+6=音， 要使f(x)有3个不同的零点，要满足极大值大于0且极小值小于0， b>0 4+b<0之解得0<b<7’所以b的取值范围是 0,4 27 (3)已知函数f(x)=x3-2m2-ax+b,a,b∈R,则f'(x)=3x2-4x-a, 由于对任意的x,x3∈[0，，且5>，恒有'()-f'(:)<2e-2e,移项得 f'()-2e<f'()-2e, 答案第10页，共11页 构造函数g(x)=f'(x)-2e,上述条件等价于：对任意的x,x2∈[0，e,且>飞3，恒有 g(s)<g(s), 即g(x)在[0，e]上单调递减，则其导数g'(x)≤0在[0，e]上恒成立， 由于g(x)=3x2-4ar-a-2e,g'(x)=6r-4a-2e, 当g'(x)≤0时，4a≥6x-2e,所以4a大于等于6x-2e*的最大值， 令h(x)=6r-2e,h(x)=6-2e,令h(x)=0,解得x=ln3∈[0，e], 当x∈[0，ln3)时，h(x)>0,所以h(x)在[0，n3)单调递增： 当x∈(ln3,e]时，h(x)<0,所以h(x)在(ln3,e]单调递减： 因此h(x)在x=ln3处取最大值，最大值为h(ln3)=6n3-2e=6ln3-6, 所以4a之6n3-6,解得a23",3,所以a的取值范围为 答案第11页，共11页 2024—2025学年（下）高二年级数学期末试题 (试卷满分：150分 考试用时：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．计算：（    ） A．26 B．325 C．650 D．15600 2．已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．1 D．13 3．已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 7．小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（    ） A．变量，正相关 B． C．可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D．当时，实际用户数量高于预测值 10．如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D．该正四棱锥外接球的表面积为 11．已知数列中，，，则（   ） A．是递增数列 B．， C．， D．数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 13．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 14．甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 16．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 17．某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. (1)求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； (2)记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 18．已知曲线，直线与交于，两点. (1)若从，，，1，2，3中任选一个数作为，求是椭圆的概率； (2)已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程. 19．已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； (3)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 数学试卷第1页，共2页 数学试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $