14.2 课时4 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦“用三角形全等判定解决尺规作图”核心内容，通过复习SAS、ASA等判定方法及已学尺规作图，以“作一个角等于已知角”为切入点，搭建旧知到新知的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于以核心素养为导向，采用“作角（SSS）—作平行线（同位角）—作三角形（SAS/ASA）”递进式教学，结合动手操作与原理探究，培养逻辑推理和直观想象，如作角时拆解步骤并解释SSS依据，助力学生理解数学本质，为教师提供清晰的实践路径和重难点突破策略。

14.2 三角形全等的判定 课时4 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 课题 14.2 三角形全等的判定（课时4） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、动手操作、合作学习、示范演示 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规、量角器 教材分析：本节是人教版八年级上册第十四章第二节第4课时，核心内容是运用已学的三角形全等判定方法（SSS、SAS、ASA）解决尺规作图问题。在前三课时学习了SAS、ASA、AAS、SSS四种判定方法后，本节将判定的理论应用于尺规作图实践，包括：作一个角等于已知角（依据SSS）、过直线外一点作这条直线的平行线（依据同位角/内错角相等）、已知两边及其夹角作三角形（依据SAS）、已知两角及其夹边作三角形（依据ASA）。本节是三角形全等判定知识的综合应用，体现了"理论指导实践"的数学思想。 学情分析：学生已经学习了SAS、ASA、AAS、SSS四种判定方法，也学习了"已知三边作三角形"的尺规作图，对尺规作图的基本操作（作线段等于已知线段、画弧找交点）有一定基础。但"作一个角等于已知角"是学生第一次接触的尺规作图，理解其原理（SSS）需要学生将作图步骤与三角形全等判定联系起来。过直线外一点作平行线需要调用"平行线的判定"知识，可能存在遗忘。已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形是SAS和ASA的直观应用，学生应能较好理解。 教材分析 本节是人教版八年级上册第十四章第二节第4课时，核心内容是运用已学的三角形全等判定方法（SSS、SAS、ASA）解决尺规作图问题。在前三课时学习了SAS、ASA、AAS、SSS四种判定方法后，本节将判定的理论应用于尺规作图实践，包括：作一个角等于已知角（依据SSS）、过直线外一点作这条直线的平行线（依据同位角/内错角相等）、已知两边及其夹角作三角形（依据SAS）、已知两角及其夹边作三角形（依据ASA）。 本节是三角形全等判定知识的综合应用，体现了"理论指导实践"的数学思想。通过尺规作图，学生不仅巩固了全等三角形的判定方法，还培养了动手操作能力和空间观念，为后续几何学习打下坚实基础。 学情分析 学生已经学习了SAS、ASA、AAS、SSS四种判定方法，也学习了"已知三边作三角形"的尺规作图，对尺规作图的基本操作有一定基础。但"作一个角等于已知角"是学生第一次接触的尺规作图，理解其原理（SSS）需要将作图步骤与三角形全等判定联系起来。 过直线外一点作平行线需要调用"平行线的判定"知识，学生可能存在遗忘。已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形是SAS和ASA的直观应用，学生应能较好理解，但作图步骤的规范性需要教师逐步示范和强调。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能将"作一个角等于已知角"的尺规作图步骤抽象为SSS判定全等的几何模型，理解作图步骤背后的数学原理。 能将"作平行线"的操作转化为"作出相等的同位角（或内错角）"的几何问题，建立尺规作图与几何定理之间的联系。 2. 逻辑推理 能解释"作一个角等于已知角"为什么成立——因为圆弧截取确保了三边对应相等（SSS），从而两个三角形全等，对应角相等。 能推理"过直线外一点作平行线"的原理——因为同位角相等（或内错角相等），两直线平行。 3. 直观想象 通过动手操作（尺规作图），直观感知"作一个角等于已知角""作平行线""作三角形"的几何过程，培养空间观念。 能在给定条件下，在头脑中想象出作图的过程和结果，选择合适的作图策略。 4. 数学运算 能根据给定条件（已知两边及其夹角或两角及其夹边），准确用尺规作出三角形，并验证所作三角形的正确性。 能综合运用尺规作图基本技能，解决较复杂的几何作图问题，如已知条件作三角形中特定点的位置。 二、教学重难点 教学重点：作一个角等于已知角（SSS原理）；已知两边及其夹角作三角形（SAS）；已知两角及其夹边作三角形（ASA）。 教学难点：理解"作一个角等于已知角"的SSS原理；过直线外一点作平行线的综合运用；尺规作图的规范步骤和几何语言描述。 三、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经掌握了四种三角形全等的判定方法——SAS、ASA、AAS和SSS。今天这节课，我们把这些判定方法应用到尺规作图中去，用全等的知识来解决尺规作图问题。 【教师活动】首先回忆一下：我们已经学过的尺规作图有哪些？ 【学生活动】作一条线段等于已知线段。已知三边作三角形（SSS）。 【教师活动】很好！线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素。我们已经会作一条线段等于已知线段，那么如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 【学生活动】可以把这个角放到一个三角形中，然后作出一个与它全等的三角形，这样对应的角就相等了。 【教师活动】思路很好！这就是我们今天要学习的第一个重点——作一个角等于已知角。 已知角∠AOB，求作一个角等于已知角 【设计意图】通过复习已学知识和已有技能，自然引出本节课的核心问题，激活学生"用全等解决问题"的思维，为后续学习奠定基础。 环节二：作一个角等于已知角（8分钟） 【过渡语】如何用尺规作一个角等于已知角呢？核心思路是：把角放到三角形中，作出全等三角形，从而得到等角。 1. 思路分析 【教师活动】如图，已知∠AOB，我们要作出∠A’O’B’=∠AOB。思路是：在∠AOB的两边上取点C、D，连接CD，得到△COD。然后作出△C’O’D’≌△COD，那么∠C’O’D’就等于∠COD。 【教师活动】要作出△COD的全等三角形，需要三个条件。我们选择三边——OC=O’C’，OD=O’D’，CD=C’D’——用SSS判定全等。 【学生活动】原来是用SSS！先在已知角的两边上截取等长的线段，再作出对应的三角形，就得到了等角。 【教师活动】非常好！这就是"作一个角等于已知角"的数学原理——SSS。 2. 作图步骤演示 【教师活动】现在请同学们跟着我一起操作，用直尺和圆规作一个角等于已知角。 【教师活动】第一步：以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D。 【学生活动】（用圆规在已知角的两边上截取点C和D，确保OC=OD） 【教师活动】第二步：作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’。 【学生活动】（作出射线O’A’，在射线上截取O’C’=OC） 【教师活动】第三步：以点C’为圆心，CD为半径作弧，与第二步作的弧相交于点D’。 【学生活动】（以C’为圆心，CD为半径画弧，两弧相交得到D’） 【教师活动】第四步：过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’=∠AOB。 3. 原理说明 【教师活动】为什么∠A’O’B’=∠AOB？请同学们思考。 【学生活动】因为在△COD和△C’O’D’中，OC=O’C’（第二步截取），OD=O’D’（都是第一步的半径），CD=C’D’（第三步截取）。所以△COD≌△C’O’D’（SSS），因此∠COD=∠C’O’D’，即∠A’O’B’=∠AOB。 【教师活动】解释得非常清楚！这个作图的核心就是SSS——三边对应相等的两个三角形全等，从而对应角相等。 【教师活动】下面我们用几何语言来表述这个原理： 【知识点】基本尺规作图：作一个角等于已知角。依据：SSS（三边对应相等的两个三角形全等，对应角相等）。 重点强调："作一个角等于已知角"是五种基本尺规作图之一，必须熟练掌握。作图时注意：①第一步取弧的半径可以任意，但必须保证与两边都有交点；②第二步的半径必须与第一步相同（OC=O’C’）；③第三步的半径必须是CD的长度。 【设计意图】通过"思路分析→步骤演示→原理说明"的递进式教学，让学生不仅学会操作，更理解背后的数学原理（SSS），培养"理论指导实践"的数学思维。 【过渡语】掌握了作一个角等于已知角的方法，接下来我们用它来解决一个实际问题——过直线外一点作已知直线的平行线。 环节三：例题——过直线外一点作平行线（8分钟） 【教师活动】例1：如图，已知直线AB及直线AB外一点C。利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD。 【教师活动】分析思路：要过点C作AB的平行线，需要用到什么判定定理？ 【学生活动】可以用"同位角相等，两直线平行"或者"内错角相等，两直线平行"。如果能作出一个角等于某个同位角，就能得到平行线。 【教师活动】很好！具体来说，我们可以过点C作一条直线与AB相交，然后作出与同位角（或内错角）相等的角，从而得到平行线。 【教师活动】现在请同学们跟着我一起操作： 【教师活动】第一步：过点C作一条直线，与直线AB相交于点E。 【教师活动】第二步：在点C处，用作一个角等于已知角的方法，作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB。 【学生活动】（用尺规作出与∠CEB相等的角∠FCD） 【教师活动】第三步：反向延长CD，得直线CD，则直线CD∥AB。 【教师活动】为什么CD∥AB？ 【学生活动】因为∠FCD=∠CEB，它们是同位角，同位角相等，两直线平行，所以CD∥AB。 【教师活动】非常好！除了用同位角，还有什么方法？ 【学生活动】还可以用内错角相等！在点C处作一个内错角等于∠CEB，也能得到平行线。 【教师活动】很好！两种方法原理相同，都是"作一个角等于已知角"的应用。 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线：利用"同位角相等，两直线平行"或"内错角相等，两直线平行"，核心操作是"作一个角等于已知角"。 【设计意图】通过例1，将"作一个角等于已知角"这一基本作图应用于"作平行线"的实际问题中，体现了知识的迁移和应用，培养学生综合运用知识的能力。 【过渡语】例1的变式练习来了，请同学们独立完成。 环节四：练习1（3分钟） 【教师活动】练习1：如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶点A，并且与边BC平行。 【教师活动】请同学们思考：要过A作BC的平行线，可以怎么做？ 【学生活动】可以以A为顶点，作一个角等于∠ABC（同位角），使所作角的一边与AB重合，另一边所在直线就是所求的平行线。 【教师活动】具体步骤呢？ 【学生活动】第一步：作射线BA（点A在射线上）；第二步：作∠DAF=∠ABC，使点F在BC所在的一侧；第三步：反向延长AF，则直线AF即为所求作的平行线。 【教师活动】很好！这道题的本质就是过点A作直线平行于BC，可以用过直线外一点作平行线的方法来解决。 【设计意图】通过练习1，巩固"过直线外一点作平行线"的操作，同时训练学生在三角形背景中识别和应用尺规作图的能力。 易错提示：过直线外一点作平行线，关键是"过点C作截线交直线AB于点E"，截线是必不可少的。没有截线就无法作出相等的同位角或内错角。 【过渡语】作一个角等于已知角这个基本作图已经掌握了，接下来我们用它来作三角形——已知两边及其夹角作三角形。 环节五：例题——已知两边及其夹角作三角形（8分钟） 【教师活动】例2：如图，已知线段a、b和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α。 【教师活动】分析思路：已知两边及其夹角，这是哪个判定方法？ 【学生活动】SAS！两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 【教师活动】对！根据SAS，两边及其夹角确定后，三角形就是唯一的。我们按照SAS的条件来作图。 【教师活动】现在请同学们跟着我一起操作： 【教师活动】第一步：作∠DAE=∠α。这用到我们刚才学的"作一个角等于已知角"。 【学生活动】（用尺规作出与∠α相等的角∠DAE） 【教师活动】第二步：在射线AD上截取AB=a，在射线AE上截取AC=b。 【学生活动】（用圆规在两条射线上分别截取线段a和b） 【教师活动】第三步：连接BC，则△ABC就是所求作的三角形。 【学生活动】因为AB=a，AC=b，∠A=∠α，满足SAS条件，所以三角形唯一确定。 【教师活动】非常好！已知两边及其夹角作三角形的依据就是SAS，关键步骤是先用"作一个角等于已知角"作出∠A=∠α。 【教师活动】用几何语言表述： 【知识点】已知两边及其夹角作三角形（SAS）：步骤①作∠DAE=∠α；②在AD上截取AB=a，在AE上截取AC=b；③连接BC。依据：SAS判定方法。 【过渡语】SAS作三角形掌握了，接下来我们试试另一种情况——已知两角及其夹边作三角形。 环节六：练习2——已知两角及其夹边作三角形（4分钟） 【教师活动】练习2：已知∠α、∠β和线段c。求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 【教师活动】这是哪种判定方法？ 【学生活动】ASA！两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 【教师活动】请同学们自己设计作图步骤，然后动手操作。 【学生活动】第一步：作∠DAF=∠α。第二步：在射线AF上截取线段AB=c。第三步：以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。则△ABC就是所求作的三角形。 【教师活动】步骤非常清晰！第一步作出∠A，第二步截取夹边AB，第三步作出∠B，两条射线的交点就是第三个顶点C。 【教师活动】这个作图的依据是ASA——两角及其夹边确定后，三角形唯一确定。 【教师活动】用几何语言表述： 【知识点】已知两角及其夹边作三角形（ASA）：步骤①作∠DAF=∠α；②在AF上截取AB=c；③作∠ABE=∠β，交AD于C。依据：ASA判定方法。 【设计意图】通过练习2，让学生独立设计已知两角及其夹边作三角形的步骤，巩固ASA判定方法，同时训练学生用尺规作图解决几何问题的能力。 【过渡语】基本尺规作图都已经掌握了，现在让我们来系统总结一下，然后通过练习题检验学习效果。 环节七：知识小结（2分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了哪些尺规作图？请一起来总结。 【教师活动】第一个基本作图是什么？它的依据是什么？ 【学生活动】作一个角等于已知角。依据是SSS——通过作出三边对应相等的三角形，得到对应角相等。 【教师活动】第二个应用是什么？ 【学生活动】过直线外一点作已知直线的平行线。依据是"同位角相等，两直线平行"或"内错角相等，两直线平行"。 【教师活动】第三个和第四个分别是什么？ 【学生活动】已知两边及其夹角作三角形（依据SAS），已知两角及其夹边作三角形（依据ASA）。 知识框架：尺规作图与全等判定的对应关系： 1. 作一个角等于已知角 → 依据SSS 2. 过直线外一点作平行线 → 依据同位角/内错角相等，两直线平行 3. 已知两边及其夹角作三角形 → 依据SAS 4. 已知两角及其夹边作三角形 → 依据ASA 5. 已知三边作三角形 → 依据SSS（已学） 【设计意图】通过系统总结，帮助学生梳理本节所学内容，建立尺规作图与全等判定方法之间的对应关系，形成完整的知识体系。 【过渡语】知识已经学完，下面通过练习题来检验大家的学习效果。 环节八：课堂练习（7分钟） 【教师活动】练习1：根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A. ∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4 B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C. AB＝3，BC＝4，CA＝1 D. ∠C＝90°，AB＝6 【学生活动】选A。A选项：∠A=36°，∠B=45°，AB=4，这是已知两角及其夹边，满足ASA，能唯一确定三角形。B选项：AB=4，BC=3，∠A=30°，注意∠A是AB的对角，不是AB和BC的夹角，这是SSA，不一定唯一。C选项：AB=3，BC=4，CA=1，但3+1=4，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形。D选项：∠C=90°，AB=6，只给了一个角和一个边，条件不足，三角形不唯一。 【教师活动】分析得非常好！这道题综合考查了ASA、SSA、三角形三边关系和判定条件数量等多个知识点。 【教师活动】练习2：如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹MN是（　　） A. 以点B为圆心，OD为半径的弧 B. 以点B为圆心，DC为半径的弧 C. 以点E为圆心，OD为半径的弧 D. 以点E为圆心，DC为半径的弧 【学生活动】选D。这是"作一个角等于已知角"的作图过程。在第三步中，以C’（即图中的E）为圆心，CD的长度为半径作弧，与第二步作的弧相交得到D’点。所以MN是以点E为圆心、DC为半径的弧。 【教师活动】正确！这道题考查的是"作一个角等于已知角"作图步骤的理解，特别是第三步圆弧的圆心和半径。 【教师活动】练习3：已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝AC＝a，BC＝b。 【教师活动】这是一个等腰三角形，两条腰都是a，底边是b。请同学们设计作图步骤。 【学生活动】第一步：作射线BM，在BM上截取BC＝b。第二步：分别以B、C为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点A。第三步：连接AC、AB，则△ABC为所求作的三角形。 【教师活动】很好！这实际上就是已知三边（a、a、b）作三角形，依据是SSS。注意，这里需要满足三角形三边关系：a+a＞b，即2a＞b。 【教师活动】练习4：如图，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°。请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°。（保留作图痕迹，不写作法） 【教师活动】这道题有些难度，请同学们思考：∠PBC=45°意味着什么？ 【学生活动】在△PBC中，∠PBC=45°，∠C=45°，所以∠BPC=180°-45°-45°=90°。也就是说BP⊥AC。 【教师活动】对！∠PBC=∠C=45°，所以△PBC是等腰直角三角形，BP⊥AC。因此作点P就转化为——过点B作AC的垂线，垂足就是P。 【学生活动】明白了！过点B作AC的垂线，垂足为P，则∠BPC=90°，∠PBC=45°（因为∠C=45°），所以∠PBC=45°满足条件。 【教师活动】非常好！这道题巧妙地将尺规作图与三角形内角和定理、等腰三角形知识结合起来，体现了综合运用能力。 解题思路总结：尺规作图题解题策略：①明确已知条件与所求目标；②联想对应的全等判定方法（SSS/SAS/ASA）；③逆向思考：要作出目标，需要先作出什么条件；④按步骤规范操作，保留作图痕迹。 【设计意图】五道练习题由浅入深，覆盖了判定的条件判断、尺规作图原理理解、等腰三角形作图、综合应用等多种题型，全面检验学生对本节课知识的掌握程度。 环节九：课堂小结（2分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了用三角形全等的判定方法解决尺规作图问题。让我们来回顾一下。 【教师活动】今天学习了哪些基本尺规作图？ 【学生活动】作一个角等于已知角（依据SSS）。过直线外一点作已知直线的平行线。已知两边及其夹角作三角形（依据SAS）。已知两角及其夹边作三角形（依据ASA）。 【教师活动】这些尺规作图与全等判定方法之间是什么关系？ 【学生活动】尺规作图是全等判定方法的具体应用——SSS作角、SAS作三角形、ASA作三角形。反过来，全等判定方法是尺规作图的理论依据。 【教师活动】总结得非常好！数学是理论与实践的完美结合。全等三角形的判定方法不仅可以在证明题中使用，还可以指导我们进行尺规作图。请同学们课后认真完成课本习题，巩固今天所学内容。 【设计意图】通过课堂小结，梳理本节知识框架，帮助学生理解"尺规作图"与"全等判定"之间的内在联系，深化对数学"理论指导实践"的认识。 四、板书设计 14.2 三角形全等的判定（课时4） 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 一、基本尺规作图 作一个角等于已知角 步骤：①在∠AOB上截取OC=OD ②作O’A’，截O’C’=OC ③以C’为圆心，CD为半径画弧交于D’ ④作O’B’过D’ 依据：SSS 二、例4：过线外一点作平行线 利用同位角相等（或内错角相等）⇒两直线平行 核心操作：作一个角等于已知角 三、例5：已知两边及夹角作△ 步骤：①作∠DAE=∠α ②在AD上截AB=a，在AE上截AC=b ③连接BC 依据：SAS 四、已知两角及夹边作△ 步骤：①作∠DAF=∠α ②在AF上截AB=c ③作∠ABE=∠β，交AD于C 依据：ASA 五、尺规作图与全等判定 作角=SSS / 作△(SAS)=SAS / 作△(ASA)=ASA 理论指导实践，全等判定是尺规作图的理论依据 课题：人教版 八年级上册 14.2 课时4 用全等判定解决尺规作图问题 五、教学反思 1. 学生从"作一条线段等于已知线段"到"作一个角等于已知角"的过渡是否顺利？能否理解SSS是"作一个角等于已知角"的理论依据？ 2. 教师在演示"作一个角等于已知角"的四个步骤时，学生跟做的效果如何？是否需要更多时间让学生反复练习？ 3. "过直线外一点作平行线"中，学生是否能自主联系到"同位角相等，两直线平行"的判定定理？是否还需要复习平行线的判定？ 4. 已知两边及其夹角（SAS）和已知两角及其夹边（ASA）作三角形，学生能否根据判定条件自主设计作图步骤？操作是否规范？ 5. 课堂练习中，练习5（综合利用尺规作图）是否难度过大？学生需要怎样的引导才能将问题转化为"过点作垂线"？ 6. 本节课时间分配是否合理？尺规作图的动手操作时间是否充足？学生是否能建立"尺规作图↔全等判定"的对应关系？ 学科网（北京）股份有限公司 $