安徽合肥市庐江县2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试题

庐江县2025/2026学年度第二学期期末教学质量抽测 高二数学试题答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 D D B C D D AC ABC ACD 8【解析】设双曲线y=2x+的两条渐近线的夹角为20， 易知两条渐近线为y轴和直线y=2x, 且直线y=2x的斜率k=2,所以an20=号故写tam20=m ,可得tan0=-2+√5，又离心 率e满足e=二-4=1+tam0,故e=√10-4W5故选D. a2 a2 二、填空题： 12.6 13. 39 2 14.(A题)-+1(B题)0 三、解答题： 15.(1)(sin B-sinC)'=sin2B-2sin Bsin C+sin'C=sin2A-sin BsinC, 即：sin2B+sinC-sinA=sin BsinC,由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc, .".cos b2+c2-a2_ 2bc 2 AE(0,π)A= 3 ….6分 2由1D知，B+0=否，所以由a-6=2c,得n4+m(径-c-2nC, 得5mcC-，即mc-引 6 2 又c)c(引所以o音子c+号 64 4 ......13分 16.解：(1)根据所给数据完成列联表： 性别 男生 女生 合计 科目 物理 400 200 600 历史 150 250 400 合计 550 450 1000 X=100x40x250150x2002=82492>10.828, 550×450×400×600 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别有 关。 …….7分 (2)按照分层抽样，抽取男生3人，女生5人，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3 PX=0)= 收=2)曾-片0=)普- C356 “X的分布列为： X 0 1 3 5 15 15 1 P 28 28 56 56 “卫0=0×嘉+1×8+2×铝+3×高器 .15分 17.解：(1)证明：DE 1 AB,BE1DE,又BE LAD,DEnA1D=D,DEC平面A1DE, ADC平面A1DE,·BEI平面ADE.AEC平面A1DE,A1EIBE, 又AE⊥DE,BE n DE=E,BEC平面BCDE,DEC平面BCDE, A1E1平面BCDE..6分 (2)存在，理由如下： AE⊥平面BCDE,BE⊥DE, 以E为原点，分别以EB,ED,EA1所在直线为x,y 建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2). 假设在线段BD上存在一点P,使得平面A,EPI平面ABD, 设Px,y,z),BF=BD(0≤入≤1)，则-2，y,z)=(-2,2,0),∴P(2-21,2λ，0)， ·EA=(0,0,2),E亚=(2-2)，2入，0).设平面A1EP的法向量为m=(&1,y1,z1), 由 mEA1=Z1=0, m匣2-21+2，=0得22x2 令x1=入，得m=Q,入-1,0).设平面A1BD的法向量为=(X2,y2,Z2), 又AB=20.-2,AD=0.2-2,故后A西=X-么=0取K,=1, i·A1D=y2-z2=0, 得m=(1,1,1).平面A1EP1平面A1BD,mi=入+入-1=0， 解得入=，满足0≤入≤1，在线段BD上存在点P, 使得平面A,D1平面ABD,且此时S=号 ....15分 18.17分)(1)解：将=-号代入x2+y2=17,得y=± 2 4 所以B -7-写由点4，B关于直线-x对称，可得A(、 将A的坐标代入抛物线C的方程得二=2p7-? 解得p=8, 4 4 所以抛物线C的方程为y2=16x. ……7分 证：(2)设M(x1,)N(x2,y)均在y2=16x上，故乃2=16x,y,2=16x 16 直线AM的斜率 kw-当-4片-416 ，同理kAw= y+4 ….10分 -1-1y+4 16 由题意知，k4w+斤a=2,即16+ 16 二2 y,+4y,+4 化简得：yy3-4y-4y3-48=0(1) ·…..13分 设直线N的方程为：x=y+t,代入抛物线方程y2=16x,得：y2-16y-16t=0 由韦达定理：片+y2=16m,yy2=-16t(2) 联立(1)、(2)得：t=-4m-3 故直线N的方程为：x=y+t=y-4-3=(y-4)-3 所以直线MN过定点故直线(-3,4) ...17分 19.(17分)（解：1）当P(-1,-1)时，tx)=+1)2+(（侵+1)=x2+是+2+)+2≥ 2克+4x至+26+4W2当且仅当x=且x=三即x=V2时取等号，故对于点 P(-1,-1),存在点M(V2,√②，使得该点是P(-1,-1)在fx)的“亲密点”..5分. (2)t(x)=K-2)2+(e+1)2,则t(8)=2(x-2)+2e2x+2e,因为y=2(x-2),y= 2e2x+2ex均为R上单调递增函数，则t(s)=2(区-2)+2e2x+2e在R上为严格增函数， 而t(0)=0,故当x<0时，t'(x)<0,当x>0时，t'(☒)>0，故t8)mm=t(0)8,此时M(0,1), 而f(x)=e,k=f(O)=1,故f(x)在点M处的切线方程为y=x+1. kg=0名=-1，燃ek=1 故直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直. .....10分 (A题)(3)根据“亲密点”定义，对于f(x)=x2,P(0,b),有： t(x)=(x-0)2+(x2-b)2=x2+(x2-b)2=x4+(1-2b)x2+b, 求导得：t'(x)=4x+2(1-2b)x=2x[2x2+(1-2b)] 当b≤时：只有x=0一个极值点，且x=0是唯一极小值点，即只有1 个亲密点。 当b>时：有三个极值点： 且x=0是极大值点，x=±b-号 是极小值点， 由偶函数对称性，t( b- )=t(b-为=b-同为最小值，故最小值 在x= b -处取得， 所以，当有2个亲密点时，b号 ………17分 (B题)(3)设t(x)=(x-a+1)2+(fx)-f(a)+g(a), t(x)=(区-a-1)2+(fx)-f(a-g(a)2, 而tx)=2(x-a+1)+2(fx)-fa)+g(a)f(x), t(8)=2x-a-1)+2(fx)-f(a)-g(a)fx), 若对任意的a∈R,存在点M同时是P1,P,在f(x)的“亲密点”， 设Mx,y),则x知既是t1(s)的最小值点，也是t(&)的最小值点， 因为函数的定义域均为R,则x也是两函数的极小值点， 则存在x,使得t1'(x)=t2'(x)=0, 即t1'k)=2(&-a+1)+2f(x)[fx)-fa)+g(a]=0① t2'(x)=2(x-a-1)+2f(&)[fx)-fa)-g(a]=0② 由①②相等得4+4g(a)·f(x)=0,即1+f(x)g(a)=0,即f(x)=-1 (a 又因为函数e在定义域R上恒正，所以Cx)=一司<0恒成立， 接下来证明x,=a, 因为x知既是t1(x)的最小值点，也是t(x)的最小值点，则t1(&)≤t(a,t(&)≤t(a), 即(s-a+1)2+(f)-f(a)+g(a)≤1+(g(a),③ (-a-1)2+(fk)-f(a)-g(a)2≤1+(g(a)2,④ ③+④得2(x-a)2+2+2[fx)-fa]2+2g2(a)≤2+2g(a) 即(&-a)2+(fx)-f(a)≤0，因为(&-a)2≥0，(f(x)-f(a)≥0 所哈0-0期有a为0）-高<0恒成立 1 因为a的任意性，所以f(x)严格单调递减. ……...17分2025/2026学年度第二学期期末抽测 高二数学试题 说明：1.时间120分钟，满分150分。 2.第14题、19题B题仅供庐江中学、庐江二中学生使用。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知集合A={x|ax=2,a∈R},B={-1,1},若A二B,则所有a的取值构成的集合为 A.{-2) B.{-2,2} C.{0,2 D.{-2,0,2} 2.设复数z12:在复平面内对应的点关于虚轴对称，若之1=2十，则三= 22 A.+ 4 34 B.5-5 3 4 C.-5+ 34 D.-5-5 3.已知一组数据2,3,4，x,1,4,5,2,y,3的平均数为3，其中x,y均为正整数，则当上十4取得最 y 小值时，这组数据的方差为 A吕 B.5 23 C.0 12 D. 4.在等差数列{an}中，公差d≠0，若S27=9(ag十a15+a),则k的值为 A.15 B.16 C.19 D.21 5.我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投人，若2025年全年投人研发资金1300 万元，在此基础上，每年投人的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投人的研发资金开 始超过2000万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年 6.已知向量a=(2,3),b=(-4,m),且a∥b,则2a-b等于 A.(4,6) B.(-8,-12) C.(-4,-6) D.(8,12) 7.在直三棱柱ABC一A1B1C1中，点P满足3A户=AB+AC,若经过点P,B1,C1的平面将棱 柱分为V1,V2两部分(V1的体积较小)，则V1,V2的体积之比为 A.4:5 B.5:7 C.8:19 D.10:17 1 8.我们知道，对勾函数y=x十立的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满 足双曲线的基本性质.则函数y=2x十2的图象对应的双曲线的离心率为 A.10-45· B.√210-3 C.2√10-3 D.W10-45 高二数学试题第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.甲罐中有3个红球、3个黑球，乙罐中有4个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放人乙 罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙 罐取出的球是红球”，则 A.P(A)=号 B.P(B|A)=7 C.P() D.PA1B)=号 10.函数f(x)=Asn(ωx十p)(A>0,w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，则下列结论中 正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为2 C.fx)在区间[-了，名]上单调递增 D.f(红十)为奇函数 5π 11元 12 11.在平面直角坐标系中，曲线Γ：x2-2xy十y2-4 2=0,则 A.曲线T关于原点对称 B.对于任意的实数k,直线y=x与曲线T总有公共点 C.曲线T上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD是正方形 D.若圆x2+y2=r2(r>0)与曲线下恰有4个公共点，则42一4<r2<42十4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 y 2.已知双曲线C:-京=1(a>0,6>0)的焦距是虚轴长的3倍，则C的离心率为 13.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个 年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种， 用X表示这三个年级中被分配到的最少名额数，则X的数学期望E(X)= 14.(A题)若函数f(x)=e十x的图象在点(xo,f(xo))处的切线方程为y=kx十b,则k一 b的最小值为一 1.(B题)设定义在R上的函数f(x)满足f(-x)十f(x)=分，且当x<0时f(x)<行女. 已知0满足f(x,）-寻w2≥f2-x,）-2-x:若a≤e-6z恒威立e为自然 对数的底数)，则实数a的最大值为 高二数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sinA-sinBsinC. (1)求A; (2)若√2a+b=2c,求sinC 16.(15分)2024年6月，我省正式进行“3+1十2”高考新模式.我县某校为调研新高考模式下，学 生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级1000名学生的选科情况，部分数据 如表： 性别 男生 女生 合计 科目 物理 400 历史 250 合计 550 1000 (1)根据所给数据完成上述表格，依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验，分析认 为该校学生选择物理或历史与性别是否有关； (2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 8人，组成数学学习小组，一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中 男生人数为X,求X的分布列和数学期望E(X). n(ad-bc)2 附：x2=(a+b)(c+d(a+c)(b+d P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 高二数学试题第3页（共4页） 17.(15分)如图①，在□ABCD中，AD=2√2，AB=4,∠BAD=45°，DE⊥AB,垂足为E,将 △ADE沿DE折起到△A,DE的位置，使A,D⊥BE,如图②. 、D ① ② (1)求证：A,E⊥平面BCDE; BP (②)在线段BD上是否存在点P,使得平面A1EP⊥平面A,BD.若存在，求D的值；若不存在， 说明理由， 18.(17分)已知圆x2+y2=17与抛物线C:y2=2px(p>0)在x轴上方的交点为A,与抛物线 C的准线在x轴下方的交点为B,且点A,B关于直线y=一x对称. (1)求抛物线C的方程； (2)若点M,N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且直线AM和AN的斜率之和为2， 求证：直线MN过定点，并求出定点坐标. 19.(17分)对于一个函数f(x)和一个点P(m,n),令t(x)=(x一m)2十(f(x)一n)2,若M(x, f(xo)是t(x)取得最小值的点，则称M是P在f(x)的“亲密点”. (1)对于(x)=(x>0),求证：对于点P(-1,一1)，存在点M,使得点M是P在(x)的“亲 密点”； (2)对于f(x)=e*,P(2,一1)，请判断是否存在一个点M,它是P在f(x)的“亲密点”，且直线 MP与y=f(x)在点M处的切线垂直； (3)(A题)对于f(x)=x2,点P(0,b)在y轴上运动.若存在两个不同的“亲密点”，求实数b的 范围。 (3)(B题)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f'(x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设 点P(a-1,f(a)-g(a)),P2(a+l,f(a)+g(a).若对任意的a∈R,存在点M同 时是P1,P2在f(x)的“亲密点”，试判断f(x)的单调性， 高二数学试题第4页（共4页）