广西南宁市第十四中学2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

**基本信息** 南宁市第十四中学高一期末数学试卷，以复数、集合、概率统计、立体几何等知识为载体，通过“趣味数学竞赛”情境题、圆台加工球体等问题，考查数学眼光的几何直观、数学思维的逻辑推理及数学语言的数据表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数共轭、集合运算、独立事件、正方体线面角|单选第8题圆台内切球结合空间想象，多选第11题动态点考查截面面积与线面角| |填空题|3题15分|解三角形、向量线性运算、正三棱锥异面直线角|第14题向量中点问题体现几何直观，第15题正三棱锥异面直线角考查空间观念| |解答题|5题77分|频率分布直方图、概率应用、解三角形、四棱柱线面关系|第19题结合竞赛情境考查统计与概率，体现数据意识；第20题解三角形综合几何直观与推理能力|

南宁市第十四中学2025～2026年春季学期高一期末测试 数学试题（满分150分，120分钟完成） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 4. 一组样本数据 8，3，5，7，10，4，3，这组样本数据的第 80 百分位数（ ） A.5 B.6 C.8 D.10 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样。现抽取男生 600 人，其平均身高为 170 cm，方差为 10；抽取女生 400 人，其平均身高为 160 cm，方差为 15.则估计该地区中学生身高的总方差为（ ） A. 36 B. 42 C. 49 D. 55 7. 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”, 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”, 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”, 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 10. 已知 ，且 ，则下列结论正确的有 A. 的最大值是 B. 的最小值是 10 C. 的取值范围是 D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则 . 13. 中,D为AB边中点,，则 . （用，表示） 14. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （满分13分）已知 ，，且向量 与向量 的夹角为 ． （1）求 与 的值； （2）求向量 与向量 的夹角的余弦值． 16. （满分15分）已知函数 （ ）， . （1） 求 的值； （2）设函数 ，求 的值域和单调区间. 17. （满分15分）如图，在四棱柱 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，其中 ，， 为棱 上一点. （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值. 18. （满分17分） 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． （3）已知本次竞赛最终由 两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中 胜 乙 的概率均为 ，且每局比赛结果互不影响. ① 求比赛恰好进行两局就结束的概率； ② 求 获得冠军的概率. 19. （满分17分） 已知内角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角； （2）若，求的周长. （3）若 为锐角三角形，求 的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $