广西北海市2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

北海市2026年春季学期期末教学质量检测 高一数学 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答素标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号。 3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 8.-3 2 c.2 0.3 2 2.函数f(x)=sin2x+cos2x的最大值为 A.1 B.√2 C.2 D. 2 2 3.已知直角梯形ABCD,AD//BC,∠B=90°，绕着它的腰AB所在直线旋转一周，形成的面所围的 几何体为 A.球体 B.圆锥 c.圆台 D.圆柱 4.15°化为弧度为 1 B. 1 C. D. 6 5π 5.已知a=(-√5，-1)，b=4,5),那么d,6的夹角0= A.君 c.2 3 6 6.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度 的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的 中点，D在AB上，CD⊥AB,“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计 【高一数学第1页（共4页）】 器田任 。2-22- 算公式：S=AB+CD .当OA=2,∠AOB=60°时，s= A 11-3V5 &.11-4V5 G9-35 9-4v3 D. 2 2 2 2 7.在△ABC中，点D为BC边上靠近B的三等分点，点E为线段AD的中点，BE与AC交于点F 若AB=a,AC=b,则AF= 4.1方 8.a c.26 D. 3五 4 3 3 8已知函数f0倒=45 sin co-45cos2g+75在到0，牙 2 上单调，则正实数的取 值范围为 A.1<0≤4 B.0<0≤3 C.2<0≤4 D.1≤0≤2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在六棱柱ABCDEF-ABCD'EF中，底面ABCDEF为正六边形， 则下列结论正确的有 A.AA'//DD R直线EF与平面ABBA∥平行 C.直线AD'⊥CF D.点A和D'到下底面的距离相等 10.已知函数f(x)=sinx+V3cos(π+x),则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为2π B.f()的一条对称轴为x=5 6 c.f(x)在x∈[0,3π]有三个零点 D.函数f心x+?为偶函数 11.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且C=b(2C0sA+1),则下列结论正确的有 A.A=2B B.若a三√3b,则△4BC为直角三角形 C.若A1BC为锐角三角形，1 1 的最小值为1 tan B tan A D.若△4BC为锐角三角形，则C的取值范围为(5,2V5 23 【高一数学第2页（共4页）】 鬟田担全任 0-……22-2- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3 12.已知sina=且a为第二象限角，则tana= 13.已知向量a=1,2),b=(-2,1),则ā+36在a-b方向上的投影向量为 14.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在半径为2的球O的球面上，∠BAC=60°，BC=√3， AP=2√2，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在平面四边形ABCD中，向量a=AB=(4,1),b=BC=(3,-1),c=CD=(-1,-2) (1)计算AD的坐标； (2)若向量a+2b与向量b-kc垂直，求实数k的值 16.(本小题满分15分) △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcos4)=c (1)求角C的值： ②)若c=V万，△ABC的面积为3 ,求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，O是AD的中 点，PB=2N6,AD⊥PB. (1)证明：AD上平面POB; (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离. 【高一数学第3页（共4页）】 影田全任 0-……22-2- 18.(本小题满分17分) 北海园博园是国家4A级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主 题、融合北部湾滨海特色与园林园艺文化.园内标志性游乐设施一摩天 轮，现结合该麻天轮建立数学模型，假设数据如！下：：天轮转肚直径为 50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，庥天轮沿逆时针 匀速转动、旋转一周需10分钟.一名游客从最低点出发，开始转动1分 777777Z 钟后距离地面的商度为H0.已知H0=Asin(o1+p)+B.(4>0.0>0.o≤ (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度H()关于时间1的函数解析式： (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视 觉效果的持续时间： (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱、甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进 入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间 19.(本小题满分17分) 如图，在矩形8CD中，A8=L8C=V5,M为线段BC上的点，且∠B1=名 将△ABM沿着AM折起，点B翻折至B的位置，连接B'C,B'D,形成四棱锥B'-AMCD (1)求证：MC//平面AB'D: (2)若N为棱B'D上的点，H满足CN/I平面AB'M, 求BV的值： ND (3)求直线B'D与平面AMCD所成角的正切值的收值范围 【高数学第4页（共4页）】 影田全任 022-2-北海市2026年春季学期期末教学质量检测 高一数学参考答案 故选B 2B由辅助角公式可得f(y=√sin(2x+牙，故函数最大值为V2.故选B 3.C根据圆台定义可得结论.该旋转体为圆台.故选C. 4A15°=15×π= .故选A 18012 5.D因为=(V3,-),i=1,V3),所以=2，⑤=2，a6=-5x1-1x5=-25, 所以cos0= a.b-23_5 52x2-2,又因为8e0,,所以6= 6 故选D. 6.B依题意，知△QAB是等边三角形，所以AB=OA=2.连接OC. 因为C是AB的中点，所以0CLAB,0C-OA2-AC2=V3, 又CDLB,所以0，C,D三点共线，所以CD=0D-0C=2-V3,所以s=AB+D=2+ OA 2-32=1-4 2 3.故选B. 2 7ABD=B0=a0-A=五-a, 33 4D-d+a0-a+五a-a+6 333 设A正=4C=5,则FC=AC-A亚=q-b,A正=1AD=a+五， 3 6 :B,E,F共线，所以存在实数，使得AF=山AE+(I-四AB, 即5=写a++0-wa,话=皆+1-wa+长5. 又：a,6不共线，3 +1-4=0 ,解得u=3,几=}，即4正=五故选A 【高一数学参考答案第1页（共8页）】 &B方法一：由辅助角公式化简为f)=4sm(m-孕+5反由正弦函数的单调性，令 +2r≤0m三s2kr,解得+2sx62keZ又f0在0， 4-2 400 单调，可知该范围落在-江+2红≤x63江+2：太乙，所以当在-0时 400 40⊙ 元3 4o4o} 即≤3沉，解得0<0≤3.故选B, 4-40 方法二：由辅助角公式化简为 解得0<o≤3.故选B. 9.AD据棱柱的定义可知AA'IIDD,故A正确； E D 由于ABCDEF为正六边形，则直线EF与AB相交，所以直线EF与 平面ABBA不平行，故B错误； B 由于A'D/AD,而直线AD与CF不垂直，所以C错误 由于棱柱的上下两个底面互相平行，点A和D都在上底面， 故点A'和D到下底面的距离相等，D正确.故选AD 10A0c由题意得了)=n-6cosr=2an(x-孕根据f)的周期T=2，A项正确： 起水爱-2a答孕-2，九表到：B员正 八0有三个零点分别满足x-行=0，x,2π，即x=胥或 4π 7π 或 ，C项正确： 333 因为x+爱=2sm(x爱，可知x+?不为偶函数，故D项不正确. 故选ABC 【高一数学参考答案第2页（共8页）】 11.ABD对于A:△ABC中，由正弦定理得sinC=2 sinBcosA+sinB, 由sinC=sin(A+B),得sinAcosB-cosAsinB=sinB,即sin(A-B)=sinB, 由0<A,B<π，则sinB>O,故0<A-B<π，所以A-B=B或A-B+B=π， 即A=2B或A=π（舍去，即A=2B,A正确； 对于8，结合A=2B和正弦定理知品岛品可得cos8= 2 又0<A,B<,故A=2B=了C=B正确； 对于C,在锐角△ABC中，0<B<7,0<A=2B<70<C=n-3B<7 即后<B<军号<tanB<1.故1 4 3 11-an2B-1+tam2B>1,C错误 tanB tanA tanB 2tanB 2tanB 对于D,在锐角△ABC中，好<B<异竖<cosB< 2 =sinc =sin3B =sin2BcosB+cos2BsinB a =sinA=sin2B sin2B B=2cosB- 2cosB 由函数单调性知，1停，2，D正确 故选ABD 12、3 由题意，得cosa=-4,所以tand= 5 cosa 4 故答案为- 13.(-3,-1)a+3b=(←5,5)，a-b=(3,1),由向量a在b方向上的投影向量为 →万 所以a+36)(a-而=-10，a-=(a-)2=10,则a+36在a-i方向上的投影向量为 a+30a-.a-历=（-3，-0.故答案为(-3，-0， a-B 3+V3 由正弦定理可得 n∠BAC-2r,而BC=V5,∠B4C=60, BC P 4 侧3 =2r,解得r=1,设P到面ABC的距离为d,而VP-ABC= 1 0 3 0 :- 2 如图，我们作出符合题意的三棱锥P-ABC,连接AO,若三棱锥P-ABC的体积最大，则 Sa4Bc,d同时最大即可， 【高一数学参考答案第3页（共8页）】 由三角形面积公式得SAABC= 13 ABXAC=V3 AB×AC, 22 4 由余弦定理得到AB2+AC2-AB×AC=3≥AB×AC,当且仅当AB=AC时取等， 即SMABC≤ V3 ,故△ABC面积取得最大值 3V3 4 4 由题意得球的半径为2，r=1,设球心到面ABC的距离为d,, 由勾股定理得d,=√22-12=√5，则O到平面ABC的距离为√3， 设直线40与平面4BC所版角为0.则m9-9,而0-r,30] 故0=60°，则直线AO与平面ABC所成角为60°， 因为三棱锥P-ABC的各顶点均在半径为2的球O球面上， 所以OA=OP=2,而AP=2√2，则故△PAO是以O为顶点的等腰直角三角形， 得到∠PAO=∠APO=45°， 当平面PAO垂直于平面ABC时，点P到平面ABC的距离最大， 最大距离为PA●sn(45°+60°)=V3+1, =x3W5x(5+D-3+5 故三棱锥P-ABC体积的最大值为'p-A5心=3X4 故答案为 +V5 4 15.解：1)，AD=AB+BC+CD ……2分 .(4,1)+(3,-1)+(-1,-2)=(4+3-1,1-1-2) …4分 即AD=(6,-2) …6分 (2):a=(4,1),b=(3,-1),c=(-1,-2) .a+2b=(10,-1),b-kc=(3+k,-1+2k) …8分 向量a+2b与向量b-kc垂直，.(a+2b)·(b-kc)=0 即10，-1)·(3+k,-1+2)=0 …12分 【高一数学参考答案第4页（共8页）】 30+10k+1-2k=0,即k=- ……13分 6 16.解：(1)因为2cosC(ac0sB+bc0s4)=c, 所以利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcos4)=sinC,…2分 整理得：2 cosCsin(A+B)=sinC, .C∈(0，π)，sinC≠0，sin(A+B)=sinC, …4分 :cosC=},又0<C<,:C=元 …7分 3 (2)由余弦定理得7=a2+b2-2b.1 …9分 S=absinc=ab=3 .ab=6, …11分 4 2 .(a+b)2-3ab=7∴.(a+b)2-18=7,.a+b=5, …13分 △4BC的周长为5+√万. …15分 17.解：(1)因为△PAD是等边三角形，O是AD中点， 所以AD⊥PO …2分 又因为AD⊥PB,PO,PBC平面POB,PO∩PB=P, ……4分 所以AD⊥平面POB. .5分 (2)解法一：几何法 在菱形ABCD中，AD/BC,因为AD⊥平面POB, H 所以BC⊥平面POB …7分 在平面POB内，作OH⊥PB于H, 因为BC⊥平面POB,OHC平面POB, 所以OH⊥BC, …9分 又因为OH⊥PB,PB,BCc平面POB,PB∩BC=B, 所以OH⊥平面PBC, 所以OH的长度为点O到平面PBC的距离 …11分 在RIAAOB中，因为AB=4,AO=2,∠AOB=90°， 所以0B=2√3，同理OP=2√3， …13分 又因为PB=2W6,所以PO+OB=PB2,所以PB边上的高OH=V6, 【高一数学参考答案第5页（共8页）】 即点O到平面PBC的距离为√6」 …15分 解法二：等积法 OP⊥AD,OP⊥OB,AD⌒OB=O,所以OP⊥平面ABCD,…7分 因为AD⊥平面POB,BC//AD,所以BC⊥平面POB 9分 又因为PBC平面POB,所以BC⊥PB,所以SAc=4V6 因为0P=2V5,So=45, …11分 设O到平面PBC的距离为h,由Vn-OBC-Vo-pac可得 …12分 写4W5x25-46h=-6 …14分 所以点O到平面PBC的距离为√6， …15分 A+B=60 18.解：(1)由题意： ……1分 -A+B=10 A=25 得 ………2分 B=35 又T=2红，0-2π-2π元 ……3分 -T-10-5 又t=0时在最低点，最低点高度为35-25=10米，，故H=10,代入得 10=25mp+35=m9=-1又5受故4=分 …4分 所以H0=259m爱1-孕+35，化简得：H0=35-25cos号0≤1≤10…5分 ②)由题意H0≥47.5，代入解析式得35-25c031≥47.5…6分 得-25c0s1≥125解得c0s号1≤-月 1 …7分 5 2 -uea0则reQ2号将行≤cs暂代入= …8分 3 3 5 解得：10 2 3 …9分 【高一数学参考答案第6页（共8页）】 解得20_10_10，故游客的最佳视觉效果的持续时间为10分钟 …10分 333 3 (3)摩天轮共36个轿厢，相邻轿厢夹角为2”=”，两人间隔5个座舱， 3618 圆心0=(5+1)×交=罗 …11分 183 设游客甲乘坐时间t(0≤t≤10)分钟后，此时其对应的圆心角为严t+工 53 高度为H=35-25cos(匹t+) …12分 53 游客乙乘坐时间(0≤t≤10)分钟后，乙的高度H=35-25c0s ……13分 5 他们的商度若为aH-以-=2sco(写1+孕-cas号 ……14分 =25x2n25nc+ …15分 因为m气+名补1当-我m+假得最大包 …16分 此时当当一写或-商度差最大值为25米 ….17分 19.解：(1)因为四边形ABCD为矩形，所以MC//AD, …1分 又因为MC丈平面AB'D,ADC平面AB'D, …3分 所以MC/平面AB'D …4分 ②)在Rt△ABM中，∠BAM=若AB=1,BC=V3,则BM=, 3 AM=MC=2Y3,在线段AD上截取AE=CM,连接CB,EN,CN, 3 由AD/CM,可得四边形AMCE为平行四边形， 所以CE/∥AM, …6分 又CE￠平面AMB',AMC平面AMB,则CE/平面AMB',因为CN/平面B'AM,又CN n CE=C, CN,CEc平面CEN,则平面CEN/平面B'AM, …8分 因为平面CEN∩平面AB'D=EN,平面AB'Mn平面ABD=AB',所以EN/∥AB', 又AB=GM=29AD=V3.则8路-0-2： …10分 【高一数学参考答案第7页（共8页）】 (3)连接BD,在Rt△BCD中，BC=V3,CD=1,则∠CBD=石， 又在Rt△ABM中，∠BAM=石，AB1BM,则BD1AM,故B、P、D三点共线， …12分 易得AM1平面B'PD,又AMC平面AMCD,平面B'PD⊥平面AMCD, 则∠B'DP即直线B'D与平面AMCD所成角， …14分 由题可知，B'在以P为圆心，BP=为半径的圆上，则当直线B'D与圆相切时，∠B'DP取得最大值， 此时sin/PDB'=京tanPDB-竖， …16分 故直线B'D与平面AMCD所成角的正切值取值范围为(O, √2 …17分 【高一数学参考答案第8页（共8页）】