北京市朝阳区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末检测 高一数学试卷 2026.7 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若复数满足，则 A． B． C． D． 2．（集团校自创题） 3．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球，3个黄球，若从中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色不相同的概率是 A． B． C． D． 4．在中，是边的中点．记，，则 A． B． C． D． 5．在中，若，则 A． B． C． D． 6．某学校高一年级有男生400人，女生600人，用比例分配的分层随机抽样的方法得到男生、女生的平均身高分别为和，估计该校高一年级全体学生的平均身高为 A． B． C． D． 7．设，为非零平面向量，则“”是“与共线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 9．一个等边三角形的边长为1，以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体的表面积为 A． B． C． D． 10．已知圆的半径为1，为圆所在平面内定点，且．四边形是圆的内接正方形，为边的中点．正方形绕转动，在边上运动，则的最大值是 A．2 B． C． D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．（集团校自创题） 12．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则________；与夹角的余弦值是________． 13．在中，，．若有两个解，则的一个取值为________． 14．2025年下半年，某地区规模以上工业原油日均产量（单位：万吨）和日均加工量（单位：万吨）如下表所示．设工业原油日均产量的方差为，工业原油日均加工量的方差为，则______（填“>”“<”或“=”）． 时间 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日均产量 58.5 58.9 59.2 58.1 58.8 57.4 日均加工量 203.4 204.7 209.0 208.6 202.8 201.5 15．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为梯形，，，，，，则该四棱锥的体积为________． 16．如图，一个封闭的直三棱柱容器中，，，．初始时底面水平放置，向容器内注入一些水，水面所在平面与下底面的距离为3，现以直线为旋转轴，将容器缓慢逆时针旋转，旋转过程中水不溢出．给出下列四个结论： ①水面形状始终为轴对称图形，且存在对称轴与始终垂直； ②当水面所在平面恰好经过棱时，水面的面积为； ③当水面是正三角形时，容器恰好旋转了； ④在逆时针旋转的过程中，水面的面积越来越大． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． 18．（本小题13分） 在中，，，且． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得存在，求的值及的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题14分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 甲地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 乙地区：73 83 64 55 91 47 55 74 65 82 93 49 67 85 75 57 58 76 66 85 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为以下三个等级： 满意度评分 低于70分 不低于70分且低于90分 不低于90分 满意度等级 1级 2级 3级 甲、乙两地区用户的评分结果相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）求甲地区调查的20个用户的满意度评分的第80百分位数； （Ⅱ）从甲、乙两地区各随机抽取1个用户，估计甲地区用户的满意度等级高于乙地区用户的满意度等级的概率； （Ⅲ）记甲地区调查的20个用户的满意度评分的均值为，乙地区调查的20个用户的满意度评分的均值为，如果从甲地区调查的20个用户中抽取2个用户，他们的评分分别为64和76，将这2个用户加入到乙地区调查的20个用户中，记这22个用户对产品的满意度评分的均值为，试比较，和的大小．（结论不要求证明） 20．（本小题15分） 如图，在正方体中，已知E，F，G，H分别是棱，，，的中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）空间中的动点P满足平面，且，当的周长最小时，直接写出此时的值． 21．（本小题15分） 已知集合．对于，， 定义，之间的方距为．设集合 ，且． （Ⅰ）当时，中任意两个不同元素之间的方矩为2，若，写出中其余元素； （Ⅱ）是否存在集合，使得集合中有三个元素，，，满足， ，都是奇数？若存在，写出一个集合，若不存在，说明理由； （Ⅲ）当时，记中所有两个不同元素之间的方距的平均值为，求的最大值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 学科网（北京）股份有限公司 $