精品解析：北京市朝阳区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试卷 2025.7 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，可求值. 【详解】. 故选：A. 2. 在平面四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量加法法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 3. 某学校高一年级由名男同学和名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样可求得男同学应抽取的人数. 【详解】设男同学应抽取的人数为，由分层抽样可得，解得. 故选：C. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求得，可求. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 解得，所以. 故选：A. 5. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的平移法则逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故D正确. 故选：D. 6. 设l是一条直线，，是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 8. 如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，证明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又为的中点，故时，满足要求. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 要使，其中平面，故需平面， 连接，则平面，故只需， 又为的中点，故时，满足要求. 故选：C. 9. 已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案； 【详解】因为，所以， 又的图象如图所示， 因为关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根， 则，解得，所以的最大整数值为. 故选：B. 10. 青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 又，，， 所以，令，则， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：B 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 若函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简，代入即可求值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12. 已知复数，则______；______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式以及共轭复数的概念求解. 【详解】,故，， 故答案为：， 13. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为，则四棱锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过作平面于，过作于，连接，可得为平面PAB和底面ABCD所成的角，进而可得，可求体积. 【详解】过作平面于，过作于，连接， 因为平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为平面PAB和底面ABCD所成的角，所以， 所以，，所以， 又因为是等边三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 14. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是______. 【答案】## 【解析】 【详解】由可得， 由平方可得， ， 因此， 由于，故， 故答案为： 15. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为______. 【答案】2π 【解析】 【分析】由题意得出是的最小值，是的最大值，因此的最小值是半个周期．求出函数的周期即可得． 【详解】实数，使得对任意实数，都有， 则是的最小值，是的最大值， 因此的最小值是半个周期．而函数的周期是， 所以． 故答案为：． 16. 如图、点E，H，G，F是矩形ABCD中DC，CB，BA，AD边的中点，依次沿FE，EH，HG，GF，EG折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，给出下面四个结论： ①三棱锥是正四面体； ②二面角为直二面角； ③三棱锥的表面积为； ④三棱锥的体积为． 其中正确结论的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意作出三棱锥，计算各边的长度，即可根据正四面体的性质求解①，根据等腰三角形的几何性质可得，即可由二面角的定义，体积公式，表面积公式求解②③④. 【详解】由题意可知三棱锥如图所示， 由于,, 故三棱锥不是正四面体，①错误， 取中点为，连接,由于，故, 故为二面角的平面角， ,,故②正确， 由于，平面，故平面， 则三棱锥的体积为 , 表面积为；③④正确， 故答案为：②③④ 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角大小； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的坐标运算即可求解， （2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． 【小问2详解】 由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． 【小问3详解】 由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 18. 在中，若． （1）求B； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①；条件②的周长为；条件③BC边的中线的长度为， 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得答案； （2）若选择条件①，由边长不确定可得答案；若选择条件②，由正弦定理求出，再由可得答案；若选择条件③：设为边上的中线，由余弦定理、正弦定理、面积公式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理， 所以． 因为，所以． 所以，即． 因为，所以； 【小问2详解】 若选择条件①， 由（1）可得，则．三角形存在但不唯一确定； 若选择条件②， 由（1）可得， 所以． 由正弦定理，所以． 所以的周长为，． 所以． 所以的面积为； 若选择条件③， 由（1）可得， 所以． 设为边上的中线，， 在中，由余弦定理， 所以， 解得，则由正弦定理得， 所以的面积. 19. 某学校为了解本学期学生平均每天的课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机抽取了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如下： （1）估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数） （2）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外阅读时间相互独立.从该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内的概率； （3）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.学校根据学生的课外阅读时间情况将学生分为“阅读积极分子”和“阅读待提高者”.规定平均每天课外阅读时间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，少于40分钟的学生为“阅读待提高者”.现在有两种奖励方案： 方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者”每人奖励一本价值8元的书籍； 方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍.已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低. 【答案】（1）36.7 （2）0.24 （3）方案一所需费用较低． 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义可求解； （2）不妨设随机抽取的两人分别为甲、乙，设“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件，“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件，“乙平均每天课外阅读时间在内”为事件，“乙平均每天课外阅读时间在内”为事件，以频率作为概率，利用求解即可； （3）样本中“阅读积极分子”的频率为，进而求得总体中“阅读积极分子”的人数的估计值，进而计算两种情况下的奖励费用，比较可得结论. 小问1详解】 由图数据可知，学生平均每天阅读时间的各区间的频率依次为；0.1，0.14，0.26，0.3，0.2， 因此第70百分位数必在区间内，设该数为， 则有， 解得． 【小问2详解】 不妨设随机抽取的两人分别为甲、乙 设“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件， “甲平均每天课外阅读时间在内”为事件， “乙平均每天课外阅读时间在内”为事件， “乙平均每天课外阅读时间在内”为事件， “两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内”为事件． 由课外阅读时间在内的频率为0.5，在内的频率为0.24． 故与可估计为0.5，与可估计为0.24． 则 由互斥，及相互独立，相互独立， 可得 所以可估计为． 【小问3详解】 由题意可知，样本中“阅读积极分子”的频率为， 故总体中“阅读积极分子”的人数可估计为， 则“阅读待提高者”人数可估计为800． 方案一：奖励费用为元. 方案二：奖励费用为元. 所以方案一所需费用较低. 20. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为BC，的中点，平面ADE与棱相交于点F． （1）求证：； （2）若． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求点B到平面ADE的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行可得，进而可得，可求值； （2）（ⅰ）取的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，可得，进而得平面，进而可得平面，可证结论．（ⅱ）利用等体积法可求点到平面的距离. 【小问1详解】 取的中点，连接， 在三棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以， 又因为侧面是平行四边形，且， 分别是的中点， 所以， 所以， 所以四边形平行四边形， 所以，所以， 因为为的中点． 所以为的中点， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）取的中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 又因为侧面为正方形，所以． 又平面， 所以平面，所以． 又，所以， 因为，则平面， 所以． 由平面平面， 所以．又， 所以平面． 又， 所以平面．又平面， 所以平面平面． （ⅱ）因为平面， 所以． 在平面内的射影分别为， 因为，且， 所以在中，． 所以． 设点到平面的距离为， 由，可得． 所以，即点到平面的距离为． 21. 已知是个非负实数组成的行列的数表，其中且．记第行中所有数的最大值为，第行第一个等于的项为，第列中所有数的最大值为.设中有个数位于第列，且这个数之和为（规定：若，则）． （1）当时，若，求的值； （2）求证：若，则；若，则； （3）当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数阵可求得的值； （2）分，两种情况，结合题意求解； （3）根据题意取，计算可得，进而证明即可. 【小问1详解】 由题意得：，，，． 所以． 【小问2详解】 当时，设中位于第列的这个数分别为． 由于为第列所有数的最大值，所以均不超过． 所以．所以． 当时，同理，由于为第列所有数的最大值， 所以均不超过． 所以．所以． 【小问3详解】 取， 可得． 下面证明的最大值为． 不妨设大于， 由（2）可知 ． 所以 ． 又由基本不等式可知，当时． 又因为，所以． 所以． 所以． 因为，且， 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试卷 2025.7 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 在平面四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 某学校高一年级由名男同学和名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 若函数，则______． 12. 已知复数，则______；______． 13. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为，则四棱锥的体积为______． 14. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是______. 15. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为______. 16. 如图、点E，H，G，F是矩形ABCD中DC，CB，BA，AD边的中点，依次沿FE，EH，HG，GF，EG折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，给出下面四个结论： ①三棱锥是正四面体； ②二面角为直二面角； ③三棱锥的表面积为； ④三棱锥的体积为． 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 18. 在中，若． （1）求B； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①；条件②的周长为；条件③BC边的中线的长度为， 19. 某学校为了解本学期学生平均每天课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机抽取了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如下： （1）估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数） （2）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外阅读时间相互独立.从该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内的概率； （3）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.学校根据学生的课外阅读时间情况将学生分为“阅读积极分子”和“阅读待提高者”.规定平均每天课外阅读时间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，少于40分钟的学生为“阅读待提高者”.现在有两种奖励方案： 方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者”每人奖励一本价值8元的书籍； 方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍.已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低. 20. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为BC，的中点，平面ADE与棱相交于点F． （1）求证：； （2）若． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求点B到平面ADE的距离. 21. 已知是个非负实数组成行列的数表，其中且．记第行中所有数的最大值为，第行第一个等于的项为，第列中所有数的最大值为.设中有个数位于第列，且这个数之和为（规定：若，则）． （1）当时，若，求的值； （2）求证：若，则；若，则； （3）当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $