5.4.3追及、盈不足和等积变形问题-课件-2026-2027学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程应用，涵盖追及、盈不足、等积变形及增长率、销售利润等问题。通过商品促销价格表讨论导入，以企业生产总值案例衔接增长率知识点，构建从生活实例到数学抽象的学习支架，帮助学生掌握不同情境下的等量关系建立方法。 其亮点在于融合数学思维与现实应用，通过“盈利与亏损对比”“曹冲称象跨学科题”等实例，培养学生推理意识和几何直观。结合《算法统宗》古题渗透文化，分层练习（选择、填空、解答）强化模型意识，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

冀教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 5.4.3追及、盈不足和等积变形问题 第五章 一元一次方程 冀教版七年级上册5.4.3 追及、盈不足和等积变形问题专项练习题 核心知识点回顾 一、追及问题（行程同向问题） 1. 适用场景：同向行驶，快的追慢的。 2. 核心等量关系：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离（路程差） 3. 变形公式：速度差 × 追及时间 = 路程差 4. 关键：同时出发，追及时两人运动时间相等。 二、盈不足问题（分配问题） 1. 适用场景：物品分配，分多了（盈）、分少了（不足）。 2. 核心等量关系：物品总数不变 3. 通用思路：设人数/份数为x，两种分配方式列出的总量相等列方程。 三、等积变形问题 1. 核心思想：形状改变，体积（面积）不变。 2. 常用公式：长方体体积=长×宽×高；正方体体积=棱长³；圆柱体体积小学简化公式可用底面积×高。 3. 等量关系：变形前体积 = 变形后体积 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 同向追及问题，正确的等量关系是（） A. 快者路程+慢者路程=总路程 B. 快者路程−慢者路程=路程差 C. 快者速度−慢者速度=路程差 D. 慢者路程−快者路程=路程差 2. 把若干苹果分给同学，每人分3个剩2个；每人分4个缺3个，设同学有x人，苹果总数不变可列方程（） A. $$3x-2=4x+3$$ B. $$3x+2=4x-3$$ C. $$3x+2=4x+3$$ D. $$3x-2=4x-3$$ 3. 一块橡皮泥捏成长方体再捏成正方体，不变的量是（） A. 形状 B. 体积 C. 表面积 D. 棱长 4. 甲速度8m/s，乙速度6m/s，乙先出发10秒，甲同向追赶，核心路程差为（） A. 80m B. 60m C. 20m D. 10m 5. 长方形铁丝围成正方形，解题依据是（） A. 面积不变 B. 周长不变 C. 体积不变 D. 边长不变 二、填空题（每题4分，共32分） 1. 追及问题核心：快者路程 − 慢者路程 = ________。 2. 盈不足问题解题关键：________的数量始终不变。 3. 等积变形问题核心原理：形状改变，________不变。 4. 小明每秒跑7米，小红每秒跑5米，两人同向同时出发，________秒后两人相差20米。 5. 一批本子分给学生，每人分5本余4本，若学生有x人，本子总数为________。 6. 一根铁丝围成长8cm、宽4cm的长方形，周长是________cm，改围成正方形，边长为________cm。 7. 每人分4颗糖少5颗，设人数为x，糖果总数可表示为________。 8. 追及问题中，速度差×________=路程差。 三、解答题（共48分） 1. （16分）追及问题： 甲乙两人在同一条跑道上同向跑步，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑180米，乙先跑40米后，甲开始追赶，几分钟后甲追上乙？ 2. （16分）盈不足问题： 把一批练习本分给班级同学，如果每人分4本，剩余12本；如果每人分6本，缺少18本。这个班级有多少名学生？练习本有多少本？ 3. （16分）等积变形问题： 一个长10cm、宽8cm、高5cm的长方体铁块，熔化后重新铸造成一个正方体（无损耗），求正方体的棱长（只需要列方程求解）。 参考答案及详细解析 一、选择题 1.B 解析：同向追及，路程差值等于初始距离，快减慢。 2.B 解析：盈加、不足减，总量相等：$$3x+2=4x-3$$。 3.B 解析：橡皮泥塑形问题，体积恒定，形状、表面积改变。 4.B 解析：路程差为乙先走的路程：$$6\times10=60$$m。 5.B 解析：铁丝围图形，铁丝长度不变，即周长不变。 二、填空题 1.路程差（初始距离） 2.物品总数 3.体积（面积/周长） 4.10 5.$$5x+4$$ 6.24、6 7.$$4x-5$$ 8.追及时间 三、解答题 1.解：设$$x$$分钟后甲追上乙。 追及时：甲路程−乙路程=初始路程差 列方程：$$200x-180x=40$$ 合并同类项：$$20x=40$$ 解得：$$x=2$$ 答：2分钟后甲追上乙。 2.解：设班级有$$x$$名学生。 根据练习本总数不变列方程： $$4x+12=6x-18$$ 移项合并：$$2x=30$$，解得$$x=15$$ 练习本数量：$$4\times15+12=72$$（本） 答：班级有15名学生，练习本有72本。 3.解：设正方体棱长为$$x$$ cm。 变形前后体积相等：正方体体积=长方体体积 列方程：$$x^3=10\times8\times5$$ 化简：$$x^3=400$$，解得$$x=\sqrt[3]{400}$$ 答：正方体棱长为$$\sqrt[3]{400}$$cm。 观察下列各图，小组讨论图中这些数据对我们生活的影响. 5折酬宾 课堂导入 全品初中 某企业2022年的生产总值为95 930万元，比2021年增长了7.3％．那么2021年该企业的生产总值为多少万元？(精确到1万元) 思考： （1）本题具体的等量关系是什么？ 2021年生产总值+2022年比2021年增长的产值=2022年的生产总值. （2）抽象的等量关系是什么？ 原有数量＋增长数量=现有数量 一起探究 新知探究 知识点1 增长率问题 2021年的生产总值 2021年～2022年间增长的产值 2022年的生产总值 x (3)设该企业2021年的生产总值为x万元，填表： 7.3%x 95 930 (4)列出的方程是 x+7.3%x=95 930. (5)请解这个方程 x≈89 404元. 增长率问题中常见的等量关系： 原量×（1+增长率）=增长后的量 原量×（1-减少率）=减少后的量 新知探究 知识点1 增长率问题 高利息 ? “存款利率问题” 例1 某期3年期国债，年利率为2.8%；这期国债发行时，3年期定期存款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来存3年期定期存款比买这期国债到期后可多得利息48元，那么这笔钱为多少元？ 【分析】利息＝本金×年利率×年数； 解：设这笔钱是x元.依题意，得 x×3.0%×3-x×2.8%×3=48. 解得 x=8 000. 答：这笔钱是8 000元. 储蓄问题中常见的等量关系： 本金×利率×时间=利息 本金+利息=本息和 新知探究 知识点1 增长率问题 例2 玻璃厂熔炼玻璃液，由石英砂和长石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？ 解：设需石英砂x吨，则长石粉为(3.2-x)吨. 依题意，得 x×99%+（3.2-x）×67%=3.2×70%. 解得x=0.3， 所以3.2-x=3.2-0.3=2.9（吨）. 答：需石英砂0.3吨，长石粉为2.9吨. 浓度问题中常见的等量关系： 浓度=溶质质量÷溶液质量×100% 新知探究 知识点1 增长率问题 跳楼价 ? “销售中的利润问题” 问题1 根据所学知识，完成下列内容： （1）商品原价200元，九折出售，售价是 元； （2）商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元. 利润率是 ；　 （3）某商品原来每件零售价是a元， 现在每件降价10%，降价后每件零售价是 元； （4）某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元； （5）某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是 　元.　　　　　　　　 180 30 20％ 0.9a 1.25a 17 新知探究 知识点2 销售问题 销售问题中常见的等量关系： 1.售价、进价、利润的关系： 利润= 实际售价—进价（或成本） 2.进价、利润、利润率的关系： 利润率=利润÷进价×100% 3.标价、折扣数、售价关系 ： 售价= 标价×（折扣数÷10） 4.售价、进价、利润率的关系： 售价= 进价×（1+利润率） 新知探究 知识点2 销售问题 经济类问题主要体现为三大类：①销售利润问题．②优惠(促销)问题．③存贷问题．这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程． (1)销售利润问题：利润＝销售价(收入)－成本(进价)；利润率＝利润÷成本． 实际销售价＝标价×折扣率． (2)优惠(促销)问题：一般从“什么情况下效果一样分析起”． (3)存贷问题：利息＝本金×利率×期数；本息和(本利)＝本金＋利息． 问题2 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？或是不盈不亏? 1.你估计盈亏情况是怎样的？ A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏 新知探究 知识点2 销售问题 2.销售的盈亏决定于什么？ 120 ＞ 总成本 120 ＜ 总成本 120 ＝ 总成本 盈 利 亏 损 不盈不亏 销售的盈亏取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系. 新知探究 知识点2 销售问题 3.两件衣服的成本各是多少元？ 盈利的一件 解：设盈利25%的衣服进价是 x 元， 依题意,得x＋0.25 x＝60. 解得 x＝48. 亏损的一件 设亏损 25%的衣服进价是 y元， 依题意,得y－0.25y＝60. 解得 y＝80. 两件衣服总成本：48＋80＝128 元； 因为120－128＝－8元； 所以卖这两件衣服共亏损了8元. 这个结论与你的猜想一致吗？ 新知探究 知识点2 销售问题 知识点1 盈亏问题 1. 《算法统宗》是中国古代数学名著，是 明代数学家程大位著.《算法统宗》中记载了这样—个题目： 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两 分之少半斤.其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两， 则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1 斤 两，故有“半斤八两”这个成语）.下列说法中错误的是 ( ) 中考考法 14 A. 设这群人人数为，则可列方程为 B. 设所分银子的数量为两，则可列方程为 C. 这群人人数为6 D. 所分银子的数量为46两 √ 中考考法 15 【点拨】设这群人人数为 ，根据题意列方程得 ，故A符合题意；设所分银子的数量为 两， 则可列方程为 ，故B不符合题意；由 ，得 ，所以这群人人数为6，故C不符 合题意；所分银子的数量为 （两），故D不符 合题意.故选A. 中考考法 16 2. [邢台期末] 学校举办秋季田径运动会，七（1）班班委会 为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶， 则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶.问该班有多少人参 加比赛?每箱饮料有多少瓶? 【解】设该班有 人参加比赛， 由题意得，，解得 ， 每箱饮料有 （瓶）， 答：该班有40人参加比赛，每箱饮料有12瓶. 中考考法 17 知识点2 形积变化问题 3. 用一根铁丝围成一个三边长度都是 的三角形，如果 将其改围成一个正方形，则这个正方形的面积为( ) B A. B. C. D. 中考考法 18 4. 现有一把无刻度 的直尺和四块一样的矩形纸片，已知 纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片 和直尺按如图所示的方式摆放在桌面 上，则根据图中给出的数据可知直尺 的长度是( ) D A. B. C. D. 中考考法 19 【点拨】设矩形纸片的宽为，则长为 .根据题意， 得，解得 .所以 ，即直尺的长度是 . 中考考法 20 5. 一根内径为 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中 的水逐渐滴入一个内径为、高为 的圆柱形玻璃杯 中，当玻璃杯装满水时，试管中水的高度下降了_____ . 12.8 【点拨】设试管中水的高度下降了 .根据题意，得 ,解得 .所以高度下降了 . 中考考法 21 6. 有一块棱长为 的正方体钢坯，若将它锻造成横截面 是 的长方体钢材，求锻成的钢材的高. 【解】设锻成的钢材的高为 . 根据题意，得 , 解得 . 故锻成的钢材的高为 . 中考考法 22 7. “曹冲称象”是广泛流传的故事.按照曹冲的方法， 先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然 后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3名搬运工 （每名搬运工的体重均为 ），这时水位恰好到达标记位 置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1名搬运工，水 位也恰好到达标记位置，则象的体重为_____ . 2.58 中考考法 23 【点拨】设1块条形石的质量为 .根据题意,得 ，解得 ， ， 即象的体重为 . 中考考法 24 8. 如图，一个瓶子的容积为 ，瓶内装着一些溶液.当瓶 子正放时，瓶内溶液的高度为 ，将瓶子倒放时，空余 部分的高度为 ，现把溶液全部倒在一个底面直径为 的圆柱形杯子里. 中考考法 25 （1）瓶内溶液的体积是多少？ 【解】 , 设瓶内溶液的体积为 .根据题意，得 ，解得 . 答：瓶内溶液的体积是 . 中考考法 26 （2）圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留 ） 设圆柱形杯子溶液的高度是 , 则，解得 . 答：圆柱形杯子溶液的高度是 . 中考考法 27 列一元一次方程解决百分率、销售问题 百分率问题 销售问题 储蓄问题 增长率问题 利润=售价-进价 售价=标价×（折扣÷10） 浓度问题 利润率=利润÷进价 课堂小结 $