精品解析：湖南衡阳县2025-2026学年下学期期末质量监测题八年级数学

衡阳县2026年上学期期末质量监测试题 八年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，24小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上作答，答案写在试题卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的诗《苔》．苔花的花粉直径约为．用科学记数法表示0.0000076的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 3. 气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（ ） A. 1号培养室 B. 2号培养室 C. 3号培养室 D. 4号培养室 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵要使上海青快速生长，需要选择平均生长速度更大的培养室，即平均数更大的培养室；要使上海青稳定生长，需要选择生长波动更小的培养室，即方差更小的培养室， 根据表格数据可知，四个培养室中，3号培养室的平均数最大，且方差最小，符合要求， ∴应选择3号培养室． 4. 解分式方程 去分母后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程去分母，先将原方程的分母统一，找出最简公分母，给方程两边同时乘以最简公分母去掉分母，整理后对比选项得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以最简公分母， 得． 5. 如图，在中，，，，的周长是（ ） A. 20.5 B. 27 C. 28 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出、长，从而求出的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， 、， 的周长为． 6. 鄂尔多斯市某煤电化工产业园引进、两种智能搬运机器人转运煤炭原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运煤炭所用时间与型机器人搬运煤炭所用时间相等．设型机器人每小时搬运煤炭，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“型机器人搬运煤炭所用时间与型机器人搬运煤炭所用时间相等．”这一等量关系，先表示出两种机器人的工作效率和工作时间，即可列出正确方程． 【详解】解：设型机器人每小时搬运煤炭，根据题意得： ． 7. 一次函数的图象不过第三象限，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数定义确定一次项系数不为0，再结合图象不经过第三象限的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， 一次项系数，得， ∵一次函数的图象不过第三象限，满足条件， 可得不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 综上得． 8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，掌握数形结合思想是解题的关键．图象在图象下方部分对应的x的值取值范围即为所求． 【详解】解：与的图象交于A、B两点，点B的横坐标为2， 点A的横坐标为， 由图可得，当或时，图象在图象的下方， 当时，x的取值范围是或， 故选A． 9. 如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，于点，则的长为（） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，，再由勾股定理在中求得，因此根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， ∴在中，， ∵，即， ∴． 10. 如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，当函数表达式为分式时，需满足分式的分母不为0，据此计算求解． 【详解】解：由分式有意义的条件可得． ． 解得． 12. 点在轴上，则点的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】在x轴上的点的纵坐标为0，据此求出a的值，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 13. 一组数据3，5，2，x，7的平均数是4，则x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，解题的关键是根据平均数的定义构建方程解决问题．根据平均数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意知， 解得：． 故答案为：3． 14. 关于x的方程有增根，则m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：原方程变形为 ， 方程两边同乘去分母得：， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 将代入上述整式方程得：， 整理得， 解得． 15. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴与的面积相等， 即． 又∵， ∴ 解得：， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 16. 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 三、解答题（本大题8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 19. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用可证得，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论； （2）根据平行四边形对角线相互平分和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知y与成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 根据与成正比例设出函数解析式，代入已知的x，y值求出比例系数，即可得到y关于x的函数表达式； （2） 将点P的坐标代入求得的函数解析式，解方程即可得到m的值； 【小问1详解】 解： ∵与成正比例， ∴设， ∵当时， ， ∴， 解得：， ∴， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得函数表达式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 整理得， 解得． 21. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 22. 炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了七、八年级学生“六不两会”的防溺水安全知识竞赛，从中各随机选出名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，成绩均不低于分，用表示，共分成四个等级：D．；C．；B．；A．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：81，82，83，86，87，87，89． 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，70，71，73，77，80，82，83，84，86，88，90，92，92，92，92，93，94，96，97． 七年级抽取的学生竞赛成绩扇形图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85 91 八年级 85 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级在此次防溺水安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生，请估计该校七、八年级参加此次防溺水知识竞赛成绩为等级的学生共有多少人． 【答案】（1）；； （2）八年级在此次防溺水安全知识竞赛中的成绩较好， 理由：七八年级平均分相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级 （3）人 【解析】 【分析】（1）先求出七年级学生的竞赛成绩在组和组的人数，然后根据中位数和众数的定义即可得、的值；再用减去其他三个等级所占的百分比即可得的值； （2）从平均数、中位数与众数的角度进行分析即可得； （3）分别利用该校七、八年级参加了此次防溺水安全知识竞赛的总人数乘以对应年级参加此次防溺水安全知识竞赛成绩为等级的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩在组和组的人数为（名）， 七年级学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，位于第和第个数据是、， 中位数； 八年级名学生的竞赛成绩中出现了次，出现的次数最多， ； 七年级学生的竞赛成绩在组的人数为名， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计该校七、八年级参加此次防溺水安全知识竞赛成绩为等级的学生共有（人）． 23. 树立文明新风尚，某区投入一批资金计划购买甲、乙两种道旁装饰性垃圾桶．已知购买10个甲种垃圾桶、20个乙种垃圾桶需8000元，购买20个甲种垃圾桶、30个乙种垃圾桶需13000元． （1）求甲、乙两种垃圾桶每个各多少元． （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，所需总资金为y元，请列出y（元）与x（个）之间的函数关系式． （3）在（2）中，若购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，请你设计购买这批垃圾桶花费最少的方案，最少花费是多少？ 【答案】（1）甲种垃圾桶每个200元，乙种垃圾桶每个300元； （2）； （3）购买甲种垃圾桶100个，乙种垃圾桶300个，最少花费为元； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一次函数，不等式的实际应用问题，根据实际问题找到对应的等量关系是解题的关键． （1）设甲种垃圾桶每个m元，乙种垃圾桶每个n元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，则购买乙种垃圾桶个，根据总资金等于两种垃圾桶的价格之和即可列出函数关系式； （3）根据购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，列出不等关系式，求出甲种垃圾桶的取值范围，再结合总资金函数关系式求出最小值即可； 【小问1详解】 设甲种垃圾桶每个m元，乙种垃圾桶每个n元， 由题意，得， 解得． 答：甲种垃圾桶每个200元，乙种垃圾桶每个300元． 【小问2详解】 若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，则购买乙种垃圾桶个， 所需总资金为． 【小问3详解】 由题意得，解得． 在中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当x取100时，y最小． 此时． 故花费最少的方案是购买甲种垃圾桶100个，乙种垃圾桶300个，最少花费为元． 24. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2、3，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B， （1）直接写出 ， ；在第二象限构造等腰直角，使得，则点E的坐标为 ； （2）如图3，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图4，直线分别交x轴和y轴于A、B两点，平面直角坐标系上是否存在点C，使以为腰的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，2； （2） （3）存在，点C点的坐标为或或或； 【解析】 【分析】（1）先求出、两点的坐标，可得、的长；过点作轴于点，证明，即可求出点E的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得出，再利用待定系数法求解即可； （3）先求出、两点的坐标，可得、的长，再分四种情况讨论，利用“k型全等”求解即可． 【小问1详解】 解：直线分别与y轴，x轴交于点A、B， 令，则；令，则，解得：， ，， ，； 如图，过点作轴于点， ， ， 等腰直角，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点E的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设的函数表达式为， 将点、代入得： ，解得：， 的函数表达式为； 【小问3详解】 解：存在， 直线分别交x轴和y轴于A、B两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， ①当，时，如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ，， ， 点C点的坐标为； ②当，时，如图，过点作直线轴，过点、分别作直线，直线交轴于点， 由平行线间的距离相等可得，，，， 由“k型全等”可证， ，， ，， 点C点的坐标为； ③当，时，如图，过点作轴于点， 由“k型全等”可证， ，， ， 点C点的坐标为； ④当，时，如图，过点作轴于点， 由“k型全等”可证， ，， ， 点C点的坐标为； 综上可知，点C点的坐标为或或或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2026年上学期期末质量监测试题 八年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，24小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上作答，答案写在试题卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的诗《苔》．苔花的花粉直径约为．用科学记数法表示0.0000076的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 3. 气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（ ） A. 1号培养室 B. 2号培养室 C. 3号培养室 D. 4号培养室 4. 解分式方程 去分母后的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，的周长是（ ） A. 20.5 B. 27 C. 28 D. 41 6. 鄂尔多斯市某煤电化工产业园引进、两种智能搬运机器人转运煤炭原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运煤炭所用时间与型机器人搬运煤炭所用时间相等．设型机器人每小时搬运煤炭，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象不过第三象限，则（ ） A. B. 或 C. D. 8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，于点，则的长为（） A. 3 B. 5 C. D. 10. 如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是_____． 12. 点在轴上，则点的坐标为_____ 13. 一组数据3，5，2，x，7的平均数是4，则x的值为________． 14. 关于x的方程有增根，则m的值是__________． 15. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 16. 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 三、解答题（本大题8小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 20. 已知y与成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． 21. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 22. 炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了七、八年级学生“六不两会”的防溺水安全知识竞赛，从中各随机选出名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，成绩均不低于分，用表示，共分成四个等级：D．；C．；B．；A．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：81，82，83，86，87，87，89． 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，70，71，73，77，80，82，83，84，86，88，90，92，92，92，92，93，94，96，97． 七年级抽取的学生竞赛成绩扇形图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85 91 八年级 85 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级在此次防溺水安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生，请估计该校七、八年级参加此次防溺水知识竞赛成绩为等级的学生共有多少人． 23. 树立文明新风尚，某区投入一批资金计划购买甲、乙两种道旁装饰性垃圾桶．已知购买10个甲种垃圾桶、20个乙种垃圾桶需8000元，购买20个甲种垃圾桶、30个乙种垃圾桶需13000元． （1）求甲、乙两种垃圾桶每个各多少元． （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，所需总资金为y元，请列出y（元）与x（个）之间的函数关系式． （3）在（2）中，若购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，请你设计购买这批垃圾桶花费最少的方案，最少花费是多少？ 24. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2、3，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B， （1）直接写出 ， ；在第二象限构造等腰直角，使得，则点E的坐标为 ； （2）如图3，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图4，直线分别交x轴和y轴于A、B两点，平面直角坐标系上是否存在点C，使以为腰的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $