精品解析：湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷

湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 实数中无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 综上可知，无理数共有 个． 2. 如图，一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线 与一束经过光心O的光线 相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点 作，利用平行线的性质推出，，再利用角的和差和对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，过点 作， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 3. 如图，直线 ，点 、 在 上，点 在 上，连接 、 ，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等得到，根据角的和差计算得到，，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 4. 如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方， 由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限． 故选：B． 5. 某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ） A. 频数分布直方图中组距是10 B. 本次抽样样本容量是60 C. 这一分数段的频数为18 D. 这次测试及格（不低于60分）率以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和直方图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由直方图得，频数分布直方图中组距为：，故选项A正确，不符合题意； 本次抽样样本容量为：，故选项B不正确，符合题意； 这一分数段的频数为18，，故选项C正确，不符合题意； 这次测试及格(不低于60分)率以上，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 6. 不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次移项、合并同类项、系数化为1即可得． 【详解】解：3x﹣1＞5， 3x＞5+1， 3x＞6， x＞2， 故选A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 7. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个书，不等号方向不变逐项分析，即可求解． 【详解】解：，则，B不符合题意； 则；A不符合题意； 当时，；当时，，C不符合题意； 则；D符合题意； 故选：D． 8. 是下列哪个方程的一个解(　　) A. 3x＋y＝6 B. －2x＋y＝－3 C. 6x＋y＝8 D. －x＋y＝1 【答案】B 【解析】 【分析】把代入下式，是等式左右两边相等即为正确选项. 【详解】把代入－2x＋y＝－3,可得-3=-3.所以答案选B. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，能同时使两个方程左右相等的方程的解就是方程组的解． 9. 已知关于 ， 的方程组，下列结论：①当时， ， 的值互为相反数：②若是方程组的解，则 ；③当 时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，不等式的运用，掌握解二元一次方程组的方法，根据不等式的性质进行求解是解题的关键，把代入方程组求解可判定①；把代入方程组求解，可判定②；把 代入计算即可判定③；用含 的式子表示出 ，再根据不等式的性质可判定④． 【详解】解：当时，方程组为， ⑴⑵得，， 解得，， 把代入⑵得，， 解得，； ∴的值互为相反数，故①正确； 当是方程组的解，则， ∴解⑴得， ； 解⑵得， ；故②正确； 当 时，方程组得， ⑴⑵得，， 解得，， 把代入⑵得，， 解得，， ∴，故③正确； 方程组， ⑴⑵得，， ∵， ∴， 解得，，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个，   故选：D ． 10. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，某施工队计划在小区A处修建一条通向公路 的道路 ，要使路程最短，道路 应与公路 垂直，依据的数学原理是_____________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】此题考查了垂线段的性质，根据题意和垂线段的性质进行解答即可． 【详解】解：某施工队计划在小区A处修建一条通向公路 的道路 ，要使路程最短，道路 应与公路 垂直，依据的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 12. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点 的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出m的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴ ， ∴的算术平方根是2， 故答案为：2． 14. 如图,已知 村庄的坐标为,一辆汽车从原点 出发在 轴上行驶．行驶过程中当汽车离 村最近时,汽车所在的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短知识.根据题意再依据“垂线段最短”定理即可得出本题答案． 【详解】解:∵ 村庄的坐标为,一辆汽车从原点 出发在 轴上行驶, ∴过点 做 轴垂线交 轴与点B,则 即最近路线,即此时B点为离A村最近的坐标, ， ∴汽车所在的坐标为 ． 故答案为: ． 15. 关于 的不等式有正数解， 的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于 的一元一次不等式，即可求出 的取值范围，进而可得 的值，求出 的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为 得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴ 的值可以是 ， 故答案为： ． 16. 已知，则的值等于_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等，根据几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．求出x，y，再代入计算并求出算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）已知，求的平方根． （2）已知为实数，且．求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根、一元一次不等式组，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）先根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得的值，再根据平方根的性质求解即可得； （2）先根据算术平方根的被开方数的非负性可得，代入可求出 的值，再求算术平方根即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 18. 解下列方程组或不等式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键． （1）加减消元法计算求解即可； （2）先去分母、去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， ，得，解得， 将代入①，得，解得 ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 19. 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子 与镜子 互相平行，请判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理由； 【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线 与水平线 的夹角为，问如何放置平面镜 ，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求 与水平线 的夹角）； 【拓展探究】（3）如图4，直线 上有A、C两点，分别引两条射线 、 ，，，射线 、 分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线 从开始转动到首次与射线 重合这个过程中，是否存在某时刻，使得 与 平行？若存在，求出满足条件的时间t． 【答案】（1） ，理由见解析（2）；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到，再由平行线的性质得到 ，，据此求出，即可证明； （2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ； （3）根据平行线的性质得出，列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1） ，理由如下： 由题意得，，， 镜子 与镜子 互相平行， ，， ， ， ； （2），， ， ， ， 当平面镜 与水平线 的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）存在， ， ， ， 解得 ； 当射线 首次与射线 重合时，射线 转动了， ， ∵，符合题意， 射线 从开始转动到首次与射线 重合这个过程中，当 时， 与 平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 20. 已知在网格坐标系中，将 进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表： 变换前 变换后 （1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出； （2）若是 内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ； （3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ． 【答案】（1）, 如图，如图所示： （2） （3）平行四边形；20 【解析】 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，平行四边形的判定与性质； （1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可； （2）由平移的性质可得答案； （3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可； 【小问1详解】 解：∵，； ∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是 内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为； 【小问3详解】 解：由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形的面积为； 21. 解方程和不等式组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）去括号，移项，使用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先分别解出每个一元一次不等式，再求其公共部分，作为不等式组的解集． 【详解】（1） 所以或 所以 （2） 解：由①得 由②得 所以不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一元二次方程，一元一次不等式组的解法，熟知以上解法是解题的关键． 22. 随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）请将条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度． （3）学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （4）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？ 【答案】（1） 条形图补全如下： （2） （3） （4）估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图数据统计问题，补全条形统计图，求圆心角度数，平均数，众数，中位数定义，根据样本估算总体等． （1）根据条形统计图和扇形统计图先求出总人数，再利用占比计算出“AI综合技能”数据，继而补全图形即可； （2）利用“AI轨迹普及”的人数除以总人数即为占比，先求出“AI创新挑战”的占比后再乘以即可； （3）先计算总分数再除以总人数即可为平均分，先将分数进行排序后即可求出中位数，观察表格人数最多的即为分数的众数； （4）根据“AI创新挑战”的占比，再乘以总人数即为答案． 【小问1详解】 解：∵总人数为：（人）， ∵“AI综合技能”占比， ∴“AI综合技能”人数：（人）， 【小问2详解】 解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为： 人， 由（1）知：总人数为 人， ∴“AI轨迹普及”的百分比：， ∵“AI创新挑战”人数为人， ∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵根据图表可得： 平均数为：（分）， ∵共有人数：， ∴中位数为第和分数的平均数，即：（分）， ∵ 分人数最多，即 分为众数， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵该校学生的总人数是1200人， ∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人）， 答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人． 23. 某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：包） 总费用（单位：元） 红色气球 黄色气球 3 4 85 2 3 60 （1）红色气球、黄色气球每包各是多少元？ （2）该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？ 【答案】（1）红色气球每包为元，黄色气球每包为 元 （2）该中学至少可以购买 包黄色气球 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设红色气球每包为 元，黄色气球每包为 元，利用总价 单价 数量，结合表格中的数据，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买黄色气球为 包，则购买红色气球为包，利用总价=单价×数量，结合总价不超过元，可列出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设红色气球每包为 元，黄色气球每包为 元， 根据题意得：， 解得： 答：红色气球每包为元，黄色气球每包为 元； 【小问2详解】 解：设购买黄色气球为 包，则购买红色气球为包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为 ， 答：该中学至少可以购买 包黄色气球． 24. 如图 ，点 是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点 向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转；当转到 位置时，再从 的位置弹回，继续转向 位置， ，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转： 第 步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ， ． 例如：当 时，，，， 的位置如图 所示，其中 恰好落在 上，； 当 时，，，， 的位置如图 所示， 其中第 步旋转到 后弹回，即 ，而 恰好与 重合． 解决如下问题： （1）若 ，在图 中借助量角器画出 ，，其中 的度数是 ． （2）若 ，且 所在的射线平分 ，在如图 中画出 ，，， 并求出 的值． （3）若 ，且 ，则对应的 值是 ． （4）当 所在的射线是 （，， 是正整数，且 与 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角 （ 的度数为正整数，且 ），旋转是否可以停止？写出你的探究思路． 【答案】（1） （2） （3）或或 （4）对于 时，不能停止，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可； （4）无论 为多少度，旋转很多次，总会出一次是是的角平分线，但当度时，只有两条射线，不会出现是是的角平分线，所以旋转会中止． 【小问1详解】 解：如图所示．， 【小问2详解】 解：如图所示． ， ，． 平分， ，解得：． 【小问3详解】 解：∵，， ①当时， I），如图， ∴， ∴； II），如图， ∴ ∴； ②当时，则弹回，如图， ∴ ∴ 综上，若 ，且 ，则对应的 值是或或． 【小问4详解】 解：对于角 不能停止．理由如下： 无论 为多少度，旋转过若干次后，一定会出现是是的角平分线，所以旋转会停止． 但特殊的，当 为时，第一次旋转，，第二次旋转时，与重合，第三次旋转，又与重合，第四次旋转时，又与重合，依此类推，旋转的终边只会出现“与重合”或“与重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现是是的角平分线这种情况，旋转不会停止． 【点睛】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． 25. 规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． （1）已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； （2）已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． （3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 【答案】（1）点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点” （2）2m−n的平方根为±4 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】(1 )根据“理想点"定义进行判断即可； (2)根据题意求出m和n的值，进一步求解即可； (3)解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可． 【小问1详解】 ， ∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”． 【小问2详解】 把代入方程，得，又∵ 解得， 因为为非负整数，所以 【小问3详解】 由题意得，解得 ∵x是整数， ∵y是整数，或 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 所以点P的坐标为 【点睛】本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 实数中无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图，一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线 相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线 ，点 、 在 上，点 在 上，连接 、 ，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ） A. 频数分布直方图中组距是10 B. 本次抽样样本容量是60 C. 这一分数段的频数为18 D. 这次测试及格（不低于60分）率以上 6. 不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 是下列哪个方程的一个解(　　) A. 3x＋y＝6 B. －2x＋y＝－3 C. 6x＋y＝8 D. －x＋y＝1 9. 已知关于， 的方程组，下列结论：①当时，， 的值互为相反数：②若是方程组的解，则 ；③当 时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，某施工队计划在小区A处修建一条通向公路 的道路 ，要使路程最短，道路 应与公路 垂直，依据的数学原理是_____________． 12. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点 的坐标为______ 13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是______． 14. 如图,已知 村庄的坐标为,一辆汽车从原点 出发在轴上行驶．行驶过程中当汽车离 村最近时,汽车所在的坐标为______． 15. 关于的不等式有正数解， 的值可以是______（写出一个即可）． 16. 已知，则的值等于_______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）已知，求的平方根． （2）已知为实数，且．求的值． 18. 解下列方程组或不等式． （1）； （2）． 19. 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子 与镜子 互相平行，请判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理由； 【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线 与水平线 的夹角为，问如何放置平面镜 ，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求 与水平线 的夹角）； 【拓展探究】（3）如图4，直线 上有A、C两点，分别引两条射线 、 ，，，射线 、 分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线 从开始转动到首次与射线 重合这个过程中，是否存在某时刻，使得 与 平行？若存在，求出满足条件的时间t． 20. 已知在网格坐标系中，将 进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表： 变换前 变换后 （1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出； （2）若是 内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ； （3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ． 21. 解方程和不等式组： （1） （2） 22. 随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）请将条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度． （3）学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （4）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？ 23. 某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：包） 总费用（单位：元） 红色气球 黄色气球 3 4 85 2 3 60 （1）红色气球、黄色气球每包各是多少元？ （2）该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？ 24. 如图 ，点 是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点 向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转；当转到 位置时，再从 的位置弹回，继续转向 位置， ，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转： 第 步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ， ． 例如：当 时，，，， 的位置如图 所示，其中 恰好落在 上，； 当 时，，，， 的位置如图 所示， 其中第 步旋转到 后弹回，即 ，而 恰好与 重合． 解决如下问题： （1）若 ，在图 中借助量角器画出 ，，其中 的度数是 ． （2）若 ，且 所在的射线平分 ，在如图 中画出 ，，， 并求出 的值． （3）若 ，且 ，则对应的 值是 ． （4）当 所在的射线是 （ ，， 是正整数，且 与 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角 （ 的度数为正整数，且 ），旋转是否可以停止？写出你的探究思路． 25. 规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． （1）已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； （2）已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． （3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $