第05讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习跟踪训练） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学暑假专项训练，聚焦一元二次方程根与系数关系，通过分层题型构建从直接应用到参数综合的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数式求值|5题|直接应用韦达定理求两根和差、积及代数式值|基础概念应用，建立定理与代数式的关联| |解与关系综合|5题|结合方程解代入与韦达定理综合求值|知识交叉应用，强化方程解的定义与定理结合| |构造方程|4题|根据根的定义构造方程求代数式值|逆向思维训练，深化根与方程的对应关系| |参数求解|6题|由两根关系列方程求参数值|定量计算，培养方程思想与推理能力| |参数范围|5题|结合判别式与韦达定理确定参数范围|定性分析，建立根的性质与参数的逻辑链条| |课后巩固|20题|涵盖各类题型变式，强化综合应用|知识体系复盘，提升解题迁移能力|

第05讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 由根与系数关系求代数式的值】 1．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 2．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 3．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 4．若方程的两个根是，，则的值为________． 5．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【题型2 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 6．已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 7．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 8．已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为______． 9．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 11．已知，，且，则_____． 12．若实数a，b满足等式，，则________． 13．两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 14．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【题型4 由两根关系式求参数的值】 15．已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 16．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 17．已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为0，求的值以及另一个根． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20．已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【题型5 根据根的情况确定参数范围】 21．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 22．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 23．已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 24．已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若为正整数，同时方程的两个根均为整数，求的值． 25．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知1是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根； (3)若方程的两个实数根是，且，求k的值． 课后作业 1．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．设，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 4．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 7．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 9．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 10．已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 12．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 13．已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 14．已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 16．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)直接写出实数的取值范围： (2)若，求的值及两实根的值． 17．关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根； (2)若，分别是方程的两个实数根，且，求m的值． 18．已知关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求实数k的值． 19．阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 20．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例： 第1个方程：，方程的两个根分别是，；； 第2个方程：，方程的两个根分别是，；； 第3个方程：，方程的两个根分别是，；； 第4个方程：，方程的两个根分别是，；； 上述各方程都是“邻根方程”． (1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程________； (2)请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (3)若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求以这两个根为两条直角边的直角三角形的斜边长是多少． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 由根与系数关系求代数式的值】 1．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 2．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 3．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 4．若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 5．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 【题型2 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 6．已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 【答案】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，对所求代数式变形后整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴． ∵一元二次方程的两根为， ∴． ∴． 7．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 8．已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据根与系数的关系有：，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴， ∴． 9．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 11．已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 12．若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 13．两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 14．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 【题型4 由两根关系式求参数的值】 15．已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 16．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 17．已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据根与系数的关系得，，然后将原式变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得，， ， 的值为4． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为0，求的值以及另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根为 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）设方程的另一个根为，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：方程变形为， ， ． ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：方程变形为，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得． ，另一个根为． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为16或14 【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0； （）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况． 【详解】（1）证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 【点睛】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论． 20．已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或； ∵是一个矩形的两边长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型5 根据根的情况确定参数范围】 21．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ． 22．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 23．已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【答案】(1)1 (2)，3，6， 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，解题的关键是根据根的判别式列出相关不等式． （1）根据二次项系数，结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其最小整数值即可； （2）先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而得到x的所有可能整数解，继而求出对应a值，即可得解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键． 【详解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根， ，且． 解得：， 的最小整数值是1； （2）解：将原方程变形为． 则，， 由于a是正整数， ，即，． ，． ． 当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1． ，3，6，． 依题意得，当时，有两个整数根，2； 当，6，时，方程只有一个整数根， 综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根． 24．已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若为正整数，同时方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 证明：关于的方程， ∴ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，结合题意判定即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或， 解得，或． 25．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知1是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根； (3)若方程的两个实数根是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 (3)不存在满足条件的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用根的判别式证明方程根的情况即可； （2）利用根的定义可求得的值，然后代入方程求解即可； （3）利用根与系数的关系式得到，然后再运用完全平方公式转化后，将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，代入方程可得， ∴，即，即方程的另一个根为3． （3）解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， ∵， ∴方程无实数解，即不存在满足条件的值． 课后作业 1．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 2．设，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 3．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 4．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 6．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 7．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可． 【详解】解：设方程两根为，， ∵方程两根互为相反数， ∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴， 解得：，即， ∵要使方程有两个实根， ∴判别式，即， 代入得：， ∴，即， ∵，， ∴． 8．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 9．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 10．已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 12．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 13．已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先，根据一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为，得，再将点代入中，即可得出k的值． 【详解】解：设方程的两根分别为，则， ， 点在正比例函数的图象上， 将点代入，得 ． 14．已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，． 方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系得：，． 计算：． 计算：． 计算：． 计算：，． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 16．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)直接写出实数的取值范围： (2)若，求的值及两实根的值． 【答案】(1)或 (2)的值为5，的值为2，的值为3 【分析】（1）根据题意得到，进而建立关于k的不等式组，解出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，推导出，得到，将代入，得到，即，求出，则，，即可解答． 【详解】（1）解：∵关于的方程0有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ， ∴或 解得或． （2）解：∵关于的方程0有两个不相等的实数根， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∵， ∴将代入得 ， 展开并移项整理，得 ， ， ， ， ∵恒成立， ∴，即， 将代入，得 ， ∴， ∵，满足k的取值范围， ∴符合题意． 答：的值为5，的值为2，的值为3． 17．关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根； (2)若，分别是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)的值为，另一个根为； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可； （2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程得，， 解得 设另一个根为，则， 解得 ∴的值为，另一个根为； （2）解：由题意得：， 同时满足即， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得． 18．已知关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 19．阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； （2）解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 20．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例： 第1个方程：，方程的两个根分别是，；； 第2个方程：，方程的两个根分别是，；； 第3个方程：，方程的两个根分别是，；； 第4个方程：，方程的两个根分别是，；； 上述各方程都是“邻根方程”． (1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程________； (2)请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (3)若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求以这两个根为两条直角边的直角三角形的斜边长是多少． 【答案】(1) (2)是“邻根方程” (3)5或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解一元二次方程，勾股定理，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“邻根方程”的定义． （1）根据规律可得到两个根分别是，的一元二次方程； （2）解出方程的两个根即可判断； （3）先求出方程的根，再根据“邻根方程”的定义求出m的值，再分情况利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知： 两个根分别是，的一元二次方程为， 即， 故答案为：； （2）， ， ， 是“邻根方程”． （3）， ， ， 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 解得：或， ①当时，方程的两个根为和， 方程两根为直角三角形的两条边， 若4和3为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：； ②当时，方程的两个根为和， 方程两根为直角三角形的两条边， 若4和5为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：； 综上所述：此三角形的第三边长为5或． 试卷第30页，共30页 试卷第29页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $