13.3.1 课时2 直角三角形的性质与判定 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦直角三角形的性质（两锐角互余）与判定（两角互余为直角三角形），通过动态演示点在射线上移动形成不同三角形，直观衔接三角形内角和定理，搭建从一般到特殊的学习支架。 以启发式、探究式教学和变式训练为特色，通过例1（1）（2）及例2变式归纳“8字形”余角模型，培养逻辑推理与数学抽象能力，动态演示增强直观想象。助力学生掌握互逆关系与推理方法，提升教师教学效率与学生几何思维。

13.3.1 三角形的内角 课时2 直角三角形的性质与判定 课题 13.3.1 三角形的内角（课时2） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、探究式学习、变式训练 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺 教材分析：本节是人教版八年级上册第十三章第三节第2课时，在学习了三角形内角和定理（课时1）的基础上，进一步研究直角三角形的性质（两个锐角互余）和判定（有两个角互余的三角形是直角三角形）。直角三角形的性质和判定互逆，体现了数学中"性质与判定"的对称美。本节课通过动态演示（点在射线上移动形成不同类型三角形）引入，再通过多个变式例题归纳"同角的余角相等"这一基本图形模型，培养学生从特殊到一般的归纳能力。 学情分析：学生已掌握三角形内角和定理（∠A+∠B+∠C=180°），具备从内角和定理推导直角三角形性质（∠A+∠B=90°）的知识基础。但"性质"与"判定"的区别与联系（互逆关系）需要教师明确点拨。例题中涉及"同角的余角相等"这一推理模型，部分学生可能不熟悉，需要通过变式训练逐步建立。判定中的互余条件（∠A+∠B=90°）与内角和定理的结合使用，需要学生灵活运用。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能从三角形内角和定理出发，推导出直角三角形的性质——两个锐角互余，并用数学符号语言表述。 能由"两个锐角互余"反推出三角形是直角三角形，理解性质与判定的互逆关系。 2. 逻辑推理 能运用"同角的余角相等"（或"等角的余角相等"）进行推理，在复杂图形中建立角度相等关系。 能从多个变式例题中归纳出基本图形模型（"8字形"余角模型），实现从特殊到一般的归纳推理。 3. 直观想象 通过动态演示（点在射线上移动）直观感受三角形类型的变化，理解直角三角形是"特殊位置"下的三角形。 能识别复杂图形中的直角三角形和余角关系，建立几何直观与代数推理之间的联系。 4. 数学运算 能运用直角三角形的性质（两锐角互余）进行角度计算，解决求角问题。 能综合利用直角三角形的性质、平行线的性质、对顶角相等、邻补角互补等知识进行综合运算。 二、教学重难点 教学重点：直角三角形的性质（两个锐角互余）和判定（有两个角互余的三角形是直角三角形）及其应用。 教学难点：运用"同角的余角相等"进行推理，在复杂图形中建立角度关系；性质与判定的互逆关系的理解。 三、教学过程 环节一：情境导入（4分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了三角形内角和定理，证明了任意三角形的三个内角和等于180°。今天，我们来看一个动态演示：点C在射线BC上移动，移动过程中会形成不同类型的三角形。请同学们观察，随着点C的移动，三角形的内角大小发生了什么变化？ 【教师活动】当点C移动到某个特殊位置时，∠C恰好等于90°，此时三角形变成了什么三角形？ 【学生活动】直角三角形！ 【教师活动】那么，直角三角形除了具有一般三角形的性质（内角和180°）外，还有什么特殊的性质呢？如果已知一个三角形有两个角互余，能否判定它是直角三角形？这就是我们今天要学习的内容。 【设计意图】通过动态演示让学生直观感受三角形类型的变化，发现直角三角形是"特殊位置"下的三角形，自然引出直角三角形的性质和判定这两个核心问题。 【过渡语】先来探究第一个问题：直角三角形的两个锐角之间有什么关系？ 环节二：直角三角形的性质——两个锐角互余（12分钟） 1. 性质的推导 【教师活动】如图，在直角△ABC中，∠C=90°。根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C等于多少？ 【学生活动】∠A+∠B+∠C=180°。 【教师活动】将∠C=90°代入，得到什么？ 【学生活动】∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°。 【教师活动】∠A+∠B=90°说明什么？ 【学生活动】说明∠A和∠B互为余角，即直角三角形的两个锐角互余。 【知识点】直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 【知识点】几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。 重点强调：在直角三角形中，只要知道一个锐角的度数，就可以用90°减去它得到另一个锐角的度数。这比用180°减去两个角更方便。 2. 例题精讲——同角的余角相等 【教师活动】下面我们通过例题来探究直角三角形的性质在复杂图形中的应用。 【教师活动】例1(1)：如图①，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ 【教师活动】请同学们思考：∠B=∠C=90°，那么在Rt△AOB和Rt△COD中，∠A和∠D分别与谁互余？ 【学生活动】在Rt△AOB中，∠A+∠AOB=90°；在Rt△COD中，∠D+∠COD=90°。 【教师活动】∠AOB和∠COD有什么关系？ 【学生活动】∠AOB=∠COD（对顶角相等）。 【教师活动】所以∠A和∠D有什么关系？ 【学生活动】∠A=∠D。因为∠A=90°-∠AOB，∠D=90°-∠COD，而∠AOB=∠COD，所以∠A=∠D。 【教师活动】这就是"同角的余角相等"的应用——∠AOB和∠COD是对顶角（相等），∠A和∠D分别是它们的余角，所以∠A=∠D。 【教师活动】这道题还有另一种解法：∠B=∠C=90°，利用平行线的判定和性质。因为∠B=∠C=90°，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行），因此∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。两种方法都能得出相同结论。 【知识点】例1(1)结论：当∠B=∠C=90°时，∠A=∠D。推理依据：同角的余角相等（或平行线的性质）。 【教师活动】例1(2)：如图②，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由。 【教师活动】图②与图①有哪些共同点与不同点？ 【学生活动】共同点：都有两个直角，都有一组对顶角。不同点：直角的标注位置不同——图①中∠B=∠C=90°，图②中∠B=∠D=90°。 【教师活动】很好！请同学们类比图①的方法，推导∠A与∠C的关系。 【学生活动】在Rt△AOB中，∠A+∠AOB=90°；在Rt△COD中，∠C+∠COD=90°。因为∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以∠A=∠C。 【教师活动】完全正确！图①和图②虽然直角的标注位置不同，但推理方法完全相同——都是利用"同角的余角相等"（或"等角的余角相等"）。 【知识点】例1(2)结论：当∠B=∠D=90°时，∠A=∠C。核心推理方法：同角的余角相等。 3. 例2——变式训练 【教师活动】例2：如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 【教师活动】在Rt△ACE中，∠CAE和谁互余？ 【学生活动】∠CAE+∠AEC=90°。 【教师活动】在Rt△BDE中，∠DBE和谁互余？ 【学生活动】∠DBE+∠BED=90°。 【教师活动】∠AEC和∠BED有什么关系？ 【学生活动】∠AEC=∠BED（对顶角相等）。 【教师活动】所以∠CAE与∠DBE有什么关系？ 【学生活动】∠CAE=∠DBE。因为∠CAE=90°-∠AEC，∠DBE=90°-∠BED，而∠AEC=∠BED。 【知识点】例2结论：∠CAE=∠DBE。推理依据：同角的余角相等（等角的余角相等）。 4. 基本图形归纳 【教师活动】通过例1和例2，我们看了多个类似的图形。现在请同学们观察，这些图形有什么共同特征？ 【学生活动】都有一个"8字形"结构——两条线段相交，而且有两个直角。 【教师活动】很好！这个基本图形可以归纳为：两个直角三角形含有一组对顶角（或一组公共角），则另一组锐角相等。用数学语言表述：若∠B=∠C=90°（或∠B=∠D=90°），则∠A=∠D（或∠A=∠C）。 【知识点】基本图形模型：在两个直角三角形中，如果含有一组对顶角（或公共角），则另一组锐角相等。核心依据：同角的余角相等。 【设计意图】通过三个变式例题（例1(1)、例1(2)、例2），让学生逐步掌握"同角的余角相等"这一推理方法，并从特殊到一般归纳出基本图形模型，培养学生的模型观念。 【过渡语】我们还可以在练习之后进一步追问：这几道题的共同结论是什么？同学们已经发现了，只要两个三角形中有两个直角且一组对顶角相等，另一组锐角就一定相等。这就是我们刚才归纳的基本模型。在后续学习中，遇到这种图形，可以直接运用这个结论。 【过渡语】性质我们已经掌握，那么反过来想：如果一个三角形有两个角互余，它一定是直角三角形吗？ 环节三：直角三角形的判定（10分钟） 1. 判定的推导 【教师活动】如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 【教师活动】由三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C等于多少？ 【学生活动】∠A+∠B+∠C=180°。 【教师活动】已知∠A+∠B=90°，代入得到什么？ 【学生活动】90°+∠C=180°，所以∠C=90°。 【教师活动】∠C=90°说明什么？ 【学生活动】说明△ABC是直角三角形！ 【教师活动】所以，我们得到了直角三角形的判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【知识点】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【知识点】几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形（∠C=90°）。 理解要点：性质与判定是互逆的：性质是"已知直角三角形→两个锐角互余"，判定是"已知两个角互余→直角三角形"。两者互为逆命题，且都成立。 2. 性质与判定的对比 【教师活动】同学们，我们来对比一下直角三角形的性质和判定，它们之间有什么关系？ 【学生活动】性质是说"直角三角形中两个锐角互余"，判定是说"两个角互余的三角形是直角三角形"。它们互为逆命题。 【教师活动】很好！性质是"从直角三角形出发，推出角的关系"，判定是"从角的关系出发，推出三角形是直角三角形"。在解题时，要根据题目条件选择使用性质还是判定。 判断技巧：题目说"已知△ABC是直角三角形"→用性质（两锐角互余）；题目说"已知∠A+∠B=90°"→用判定（△ABC是直角三角形）。 【教师活动】在解题时，如何区分使用性质还是判定？请同学们看一个例子：如果在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C=？这是用性质还是判定？ 【学生活动】已知∠A+∠B=90°，根据判定，△ABC是直角三角形，∠C=90°。这是用判定。 【教师活动】很好。反过来，如果已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=？ 【学生活动】直接用性质，∠B=90°-30°=60°。 【教师活动】大家对性质和判定的使用已经很清楚了。记住：从条件出发判断——条件给的是直角，就用性质求角；条件给的是角的关系，就用判定推直角。 【设计意图】通过对比性质与判定，帮助学生理解两者的互逆关系，避免在解题中混淆使用。同时强化"性质→已知直角推角的关系，判定→已知角的关系推直角"的解题思路。 【过渡语】性质和判定我们都掌握了，现在通过练习题来检验学习效果。 环节四：课堂练习（12分钟） 【教师活动】练习1：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE相交于点F，∠A与∠BFC有什么关系？为什么？ 【教师活动】CD⊥AB，BE⊥AC，说明图中出现了几个直角三角形？ 【学生活动】出现了两个直角三角形：Rt△ABE和Rt△BDF（或Rt△ACD）。 【教师活动】在Rt△ABE中，∠ABE和∠A互余；在Rt△BDF中，∠ABE和∠DFB互余。所以∠A和∠DFB有什么关系？ 【学生活动】∠A=∠DFB（同角的余角相等）。 【教师活动】∠DFB和∠BFC有什么关系？ 【学生活动】∠DFB+∠BFC=180°（邻补角互补）。 【教师活动】所以∠A和∠BFC有什么关系？ 【学生活动】∠A+∠BFC=180°。 【知识点】练习1结论：∠A+∠BFC=180°。推理过程：∠A=∠DFB（同角的余角相等），∠DFB+∠BFC=180°（邻补角），∴∠A+∠BFC=180°。 【教师活动】练习2：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=160°，则∠B的度数为______。 练习2配图：∠C=90°，DE∥AB，∠CDE=160° 【教师活动】∠CDE=160°，∠CDE和∠ADE是什么关系？ 【学生活动】∠CDE和∠ADE是邻补角，所以∠ADE=180°-160°=20°。 【教师活动】DE∥AB，∠ADE和∠A是什么关系？ 【学生活动】∠ADE=∠A=20°（两直线平行，同位角相等）。 【教师活动】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，∠B=？ 【学生活动】∠B=90°-∠A=90°-20°=70°。 【教师活动】也可以延长ED交BC于F，利用平行线性质。∠B=∠DFC=70°。两种方法结果一致。 【教师活动】练习3：具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　） A. ∠A+∠B=∠C　　B. ∠A-∠B=∠C　　C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3　　D. ∠A=∠B=3∠C 【学生活动】选D。A选项：∠A+∠B=∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°得2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形。B选项：∠A-∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，代入内角和得2∠A=180°，∠A=90°，是直角三角形。C选项：设∠A=k，∠B=2k，∠C=3k，则6k=180°，k=30°，∠C=90°，是直角三角形。D选项：∠A=∠B=3∠C，设∠C=k，则∠A=3k，∠B=3k，3k+3k+k=180°，k=°，∠C=°，不是90°，所以不是直角三角形。 【教师活动】练习4：如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角有（　） A. ∠B　　B. ∠A　　C. ∠BCD和∠A　　D. ∠BCD 【学生活动】选C。因为∠ACB=90°，所以∠1+∠BCD=90°。又因为CD⊥AB，所以∠BDC=90°，∠B+∠BCD=90°，所以∠B=∠1。在Rt△ADC中，∠A+∠1=90°。所以与∠1互余的角有∠BCD和∠A。 【教师活动】练习5：如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数。 【教师活动】∠AFD=158°，∠AFD和∠DFC是什么关系？ 【学生活动】∠AFD+∠DFC=180°，所以∠DFC=180°-158°=22°。 【教师活动】FD⊥BC，所以在Rt△FDC中，∠DFC和∠C有什么关系？ 【学生活动】∠DFC+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）。 【教师活动】DE⊥AB，所以在Rt△BED中，∠B和∠BDE有什么关系？ 【学生活动】∠B+∠BDE=90°。 【教师活动】已知∠B=∠C，结合∠DFC+∠C=90°和∠B+∠BDE=90°，能推出什么？ 【学生活动】∠BDE=∠DFC=22°。 【教师活动】∠BDE和∠EDF是什么关系？ 【学生活动】∠BDE+∠EDF=90°（因为FD⊥BC，即∠FDC=90°，而∠BDE+∠EDF=∠FDC=90°）。所以∠EDF=90°-22°=68°。 解题思路：复杂图形中求角度的一般步骤：①标出所有的直角（找垂直条件）；②利用直角三角形的性质（两锐角互余）建立等量关系；③利用"同角的余角相等"或"等角的余角相等"进行角度转化；④利用三角形内角和、邻补角等基本关系求最终结果。 【设计意图】五道练习题由浅入深，覆盖了性质应用（练习2、4）、判定应用（练习3）、同角余角相等（练习1、5）、综合推理（练习5）等核心考点，全面检验学生对本课知识点的掌握程度。 环节五：课堂小结（5分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了直角三角形的性质和判定。让我们来回顾一下。 【教师活动】直角三角形的性质是什么？ 【学生活动】直角三角形的两个锐角互余。即：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 【教师活动】直角三角形的判定是什么？ 【学生活动】有两个角互余的三角形是直角三角形。即：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则∠C=90°，△ABC是直角三角形。 【教师活动】性质和判定之间是什么关系？ 【学生活动】它们是互逆的——性质是从直角三角形推出角的关系，判定是从角的关系推出直角三角形。 【教师活动】在复杂图形中，我们常用什么方法证明两个角相等？ 【学生活动】利用"同角的余角相等"或"等角的余角相等"。 【教师活动】很好！这些方法在后续几何证明中会频繁使用，请同学们务必熟练掌握。 知识框架：1. 直角三角形的性质：两个锐角互余（∠A+∠B=90°） 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 3. 性质与判定的关系：互逆 4. 核心推理方法：同角的余角相等（等角的余角相等） 5. 基本图形模型：两个直角三角形含对顶角→另一组锐角相等 【设计意图】通过回顾总结，帮助学生梳理性质与判定的互逆关系，强化"同角的余角相等"这一核心推理方法。 四、板书设计 13.3.1 三角形的内角（课时2） 直角三角形的性质与判定 一、直角三角形的性质 两个锐角互余 几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90° 推导：∠A+∠B+∠C=180°→∠A+∠B=90° 二、直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90° 性质与判定互逆：性质(直角→互余) ⇔ 判定(互余→直角) 三、核心推理方法 同角的余角相等（等角的余角相等） 基本图形：两个直角三角形含对顶角→另一组锐角相等 例：∠B=∠C=90°→∠A=∠D 课题：人教版 八年级上册 13.3.1 课时2 直角三角形的性质与判定 五、教学反思 1. 动态演示（点C在射线BC上移动）是否有效帮助学生理解直角三角形是"特殊位置"下的三角形？学生是否能自主发现∠C=90°时∠A+∠B=90°？ 2. "同角的余角相等"这一推理方法，学生是否真正理解？在例1变式（图①→图②）中，学生是否能独立完成类比推理？ 3. 性质与判定的互逆关系，学生是否能清晰区分？在解题中是否会出现"用性质做判定"或"用判定做性质"的混淆？ 4. 基本图形模型（两个直角三角形含对顶角）的归纳，学生是否能从多个例题中自主发现规律？是否需要补充更多变式练习？ 5. 练习5（综合题）的难度是否适中？学生是否能独立完成"∠B=∠C→∠BDE=∠DFC"的推理链？ 6. 本节课教学时间分配是否合理？例题讲解与练习的时间比例是否恰当？ 学科网（北京）股份有限公司 $