第06讲 三角形全等的判定（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第06讲 三角形全等的判定 （5大考点12大题型） 学习目标 1. 理解并掌握五种常见的证明全等三角形的方式；（重点难点） 2. 能够根据题目的已知条件选择合适的证明方法.（重点难点） 考点整理 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意： （1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形． （2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定． （3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA． 反例：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和． 【题型1 用SAS证明三角形全等】21题型归纳 1．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 2．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 3．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵两根钢条的中点连在一起， 又∵， ， ， 故判定的理由是边角边． 4．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 【题型2 用SAS间接证明三角形全等】 5．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 6．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 7．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 8．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 【题型3 全等的性质和SAS综合】 9．的边上有三点、、，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，，，进而得到四边形周长，计算即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形周长 ． 10．如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（     ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，   ， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴只需知道的长度即可求得的面积． 11．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边. 12．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 【题型4 用AAS（或ASA）证明三角形全等】 13．下列说法不正确的是（    ） A．全等三角形的对应边相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】解：根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，周长相等，因此选项A、C的说法正确，不符合题意； ∵面积相等的两个三角形，边和角不一定对应相等，例如底为4高为3的三角形和底为6高为2的三角形面积相等，但不全等，∴选项B的说法错误，符合题意； ∵有两角和一边对应相等的两个三角形，若边是两角的夹边，符合判定定理，若边是一角的对边，符合判定定理，都可以判定两个三角形全等，∴选项D的说法正确，不符合题意． 14．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 15．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 16．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 【题型5 全等的性质和AAS（或ASA）综合】 17．如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出对应边，，利用高度关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 设点距离水平台的高度为， 点距离水平台的高度为， ， 点距离水平台的高度为． 18．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系． 【详解】解：延长、交于点， 由图甲可知，、，由图乙可知，、， 、， 在和中， ， ， 、 、， ， 、， ， ． 19．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，，，证明，得出，结合题意确定，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵梓青（右）离地面的高度是， ∴ ∴， ∴米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 20．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 【题型6 用SSS证明三角形全等】 21．如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 22．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 23．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 24．如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图过程证明，从而得到，进而判断，最后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【题型7 用SSS间接证明三角形全等】 25．如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 26．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知，， ∴， 故①正确； 由题意知：，且， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②知，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选：B． 27．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 28．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【题型8 全等的性质和SSS综合】 29．按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 30．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 31．如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出对应角相等，结合平角定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 点在上， ， ， ， ， 在中，． 32．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，则由作图可得，，证明，再根据全等三角形性质求解． 【详解】解：如图，连接，，， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴． 【题型9 用HL证明三角形全等】 33．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 34．如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 35．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 36．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 【题型10 全等的性质和HL综合】 37．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 38．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 39．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可证明，则，因此． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 40．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【答案】A 【分析】连接，证明出，得到，即可得到点一定在的平分线上． 【详解】解：如图，连接 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴点一定在的平分线上． 【题型11 添加条件使得三角形全等】 41．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 42．如图，已知平分，点、分别在射线、上，如果添加一个条件，即可推出，那么下列条件不能得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断能否推出，可根据已知条件平分，结合各选项所给条件，看能否证明和全等，若全等则可推出． 【详解】解：∵平分，点、分别在射线、上， ∴在和中，，， 选项A：若，则不能推出， ∴不能得出，符合题意； 选项B：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 选项C：在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 选项D：在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意． 43．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，； B选项，当时，不能判定； C选项，当时，； D选项，当时，． 44．如图，已知，，下列哪个条件不能判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐条验证． 【详解】解：A、，符合，能判定； B、由，则，符合，能判定； C、，不是三角形两边及夹角对应相等，不能判定； D、，得出，符合，能判定． 【题型12 灵活选用判定方法证明全等】 45．下列说法中，错误的是（    ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，需逐一判断每个选项是否能判定两个三角形全等，找出错误的说法． 【详解】解：A．两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等，符合全等三角形的判定定理，可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； B．两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等时，高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，能得到不全等的两个三角形，因此不能判定两个三角形全等，该说法错误，符合题意； C．两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等，可通过延长中线构造全等，推导出第三边对应相等，根据可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； D．两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等，可通过证明包含该角平分线的小三角形符合AAS判定定理全等，进而推导出原三角形全等，该说法正确，不符合题意． 46．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 47．如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 48．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 49．下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【详解】解：A.∵ 只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，说法缺少前提条件， ∴ 该说法错误； B.∵ 这是平行公理，内容正确， ∴ 该说法正确； C.∵ 全等三角形要求至少有一组对应边相等，三个角对应相等只能保证三角形形状相同，大小不一定相等，不一定全等， ∴ 该说法错误； D.∵ 该结论只有在同一平面内才成立，说法缺少“同一平面内”的前提条件， ∴ 该说法错误． 50．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 三角形全等的判定 （5大考点12大题型） 学习目标 1. 理解并掌握五种常见的证明全等三角形的方式；（重点难点） 2. 能够根据题目的已知条件选择合适的证明方法.（重点难点） 考点整理 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意： （1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形． （2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定． （3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA． 反例：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和． 【题型1 用SAS证明三角形全等】21题型归纳 1．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 4．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【题型2 用SAS间接证明三角形全等】 5．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 6．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 7．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【题型3 全等的性质和SAS综合】 9．的边上有三点、、，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形周长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（     ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 11．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 12．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【题型4 用AAS（或ASA）证明三角形全等】 13．下列说法不正确的是（    ） A．全等三角形的对应边相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 14．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 15．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 16．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 全等的性质和AAS（或ASA）综合】 17．如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 18．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 19．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是（     ） A． B． C． D． 20．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【题型6 用SSS证明三角形全等】 21．如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 22．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 23．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型7 用SSS间接证明三角形全等】 25．如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 26．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 27．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 28．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型8 全等的性质和SSS综合】 29．按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 30．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 31．如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【题型9 用HL证明三角形全等】 33．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 34．如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 35．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 36．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【题型10 全等的性质和HL综合】 37．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【题型11 添加条件使得三角形全等】 41．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 42．如图，已知平分，点、分别在射线、上，如果添加一个条件，即可推出，那么下列条件不能得到的是（ ） A． B． C． D． 43．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 44．如图，已知，，下列哪个条件不能判定（    ） A． B． C． D． 【题型12 灵活选用判定方法证明全等】 45．下列说法中，错误的是（    ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等的两个三角形全等 46．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 48．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 49．下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 50．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $