13.3.2三角形的外角（1课时）教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形外角的定义、性质及应用，以故宫角楼木结构中的三角形结构为情境导入，通过复习三角形内角和定理，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生从生活实例抽象出数学问题。 资料亮点在于融合思政教育与学科知识，借助《九章算术》等古代数学成就培养文化自信，通过“观察—猜想—验证—证明”过程提升逻辑推理和几何直观素养，采用情境教学法和分层作业设计，助力学生发展应用意识，为教师提供思政融合的实用教学范例。

《13.3.1三角形的外角（1课时）》教学设计 库尔勒市第二中学 郭娟娟 课题 13.3.1三角形的内角和外角（第一课时） 版本 人教版 授课时间 2025.9.10 课时安排 1 课时 一、教学内容 分析 13.3.1三角形外角一课是人教版八年级上册《三角形第十三章的核心知识,主要内容是三角形外角的概念、性质的三角形的分类。学生在上一节课中通过度量、剪拼来感知“三角形内角和为180°”,并通过简单的逻辑推理来完成三角形内角和定理的证明,同时用三角形内角和定理来解决一些实际问题,为本节课的学习打下了基础。三角形外角是平面几何中从“直观感知”到“逻辑证明”的关键过渡内容,在整个初中几何系统中起着承上启下的作用,学生在学习中要完成三种语言的衔接,增强学生的抽象概括能力,增强学生的几何直观、逻辑推理能力。 二、学情分析 这节课在知识基础方面,学生已经学习了三角形的基本概念、平角定义、顶角和邻补角、平行线的性质和判定,小学阶段学生对三角形内角和为180°的知识已经通过剪拼得到,只是缺乏严谨的证明,上节课学生重构了平面几何图形的研究路径;在能力特点上,学生初步具备动手操作和观察猜想的能力,但逻辑推理和规范书写证明过程的能力还需要加强,对“辅助线”的增加思路还比较生疏;认识上的困难主要体现在认识“添加辅助线的必要性”、“借助平行线转化角的方法”、规范完成证明步骤等方面;在情感特点上,学生对动手操作、生活实例等情境有较强的兴趣,所以在教学中适合采用实验探究和逻辑推理相结合的方式,在直观体验和思维提升两方面兼顾。 三、素养目标 1.掌握三角形外角的定义，能够通过逻辑推理证明其性质，能规范书写证明步骤，能运用三角形外角、性质解决角度计算、简单几何证明问题。 2.通过数学活动“观察 — 猜想 — 验证 — 证明” 形成平面图形的过程，提升学生逻辑推理能力和几何直观素养。 3.感受数学的严谨，体会数学思维的提升，激发学生对平面几何图形的研究，结合《九章算术》中的研究成就，增强学生文化认同感。 四、思政育人融入分析 本节课的思政育人将从多维度自然融入教学：通过介绍《九章算术》中三角形内角和的应用、刘徽的割补术等我国古代数学成就，以及古希腊欧几里得的经典证明，和学生一起讲中外数学史，感受数学文化的魅力，提升少年强则国强的意识；借助 “从直观猜想到严谨证明” 的完整探究流程，引导学生认识到数学结论的科学性源于逻辑验证，培养实事求是、精益求精的科学精神；通过动手剪拼、自主探究多种证明方法的活动，鼓励学生勇于探索、大胆尝试，着力培养实践操作能力与创新意识；同时结合建筑、测量等生活中的数学实例，让学生直观体会数学的实用价值，树立用数学解决实际问题的意识，进而激发主动学习的内在动力。 五、教学重难 点 教学重点 三角形外角的定义、性质及应用 教学难点 数学知识与思政的融合 六、教学方法与手段 教学方法：情境教学法、问题探究法 教学手段：多媒体课件、直尺、量角器 七、教学过程设计 教师活动 学生活动 预设意图 教学反思 1、 复习回顾 1.三角形的内角是什么?它的内角和等于多少呢? 2.△ABC中,如果A=80°,B=52°,则C=__ 2、 情境引入：故宫角楼中的三角形结构 同学们，这是故宫的角楼，它造型精巧、历经数百年风雨依然稳固。大家有没有想过，支撑起这样复杂屋顶的木结构，是如何做到既美观又坚固的？ 故宫角楼的木结构中，大量使用了三角形桁架和斗拱结构，利用三角形支撑起精巧的多层飞檐。当屋顶受到重力或风力时，三角形桁架的外角会将力分解并传递到相邻的构件上。在角楼的转角处，抹角梁与正身梁、山面梁相交，形成了一个三角形。这个三角形的外角角度直接影响了力的分配方向，工匠通过精确控制外角的度数，让屋顶的重量均匀地分散到四周的立柱上。 大家看，抹角梁与正身梁的夹角是 45°，与山面梁的夹角也是 45°，而正身梁和山面梁是垂直的。当我们把正身梁延长，抹角梁与这条延长线的夹角就是外角，它多少度？“这个 外角，和三角形内部的两个不相邻的内角（45° 和 90°）之间，有没有什么数学关系呢？” 3、 知识点1 三角形的外角及性质 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 问题1：△ABC如图所示，请画出△ABC的所有外角，指出来有哪几个. 问题2：△ABC的6个外角有什么关系? 在图中，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角∠A，∠B之间有什么大小关系？ 归纳：三角形的外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 大家看，抹角梁与正身梁的夹角是 45°，与山面梁的夹角也是 45°，而正身梁和山面梁是垂直的。当我们把正身梁延长，抹角梁与这条延长线的夹角就是外角，它是 135°。“这个 135° 的外角，和三角形内部的两个不相邻的内角（45° 和 90°）之间，有没有什么数学关系呢？” “我国古代工匠在建造角楼时，虽然没有系统的数学理论，但他们通过长期实践，精准地运用了三角形外角的性质来控制力的传递，要使角楼既美观又稳固，不仅需要高超的建筑技术，更需要文化知识的支撑。今天，我们就用现代数学的眼光，来揭开这个古老智慧背后的数学原理。 练一练 1.如图，口答： （1）∠1 = + ； （2）∠2 = + ． 练一练 2.如图，说出图形中∠1 的度数． 例1 如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求：(1) ∠B的度数；(2) ∠BFD的度数； 4、 知识点2 三角形按角的大小分类 谈一谈：一个三角形的内角最多有几个锐角，几个直角，几个钝角？ 问题4：按照三角形角的大小，三角形可以分为几类？按照边的大小呢？ 请你试着对三角形进行分类 5、 课堂小结 同学们,这节课我们学习了三角外角的知识,更在探究中触摸到了数学的多重魅力——从九章算术的古老智慧到欧几里得的经典推理,我们感受到了中外数学文化的传承与碰撞,这是属于我们的文化自信;建筑、测量中的实例也让我们明白,数学从来就不是书本上的抽象符号,而是服务于生活,解决问题的实用工具。 我希望你们带着今天的收获,在今后的数学习中,不仅要保持勇于探索的好奇心,更要坚持严谨治学的态度;既懂得继承先贤的智慧,又勇于开拓自己的思想。下课！ 6、 布置作业 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固外角概念和性质的基本应用； 2. 拓展作业：观察生活中的建筑（如桥梁、屋顶、钢架），找出其中的三角形外角结构，尝试用本节课知识分析其受力原理； 3. 思政作业：查阅我国古代数学或建筑的相关资料（如《九章算术》、赵州桥），简单记录其中的数学智慧。 学生回答，回忆小学剪拼、度量的方法，思考 “如何严谨证明”；明确本节课学习目标。 欣赏故宫之美，了解有关隼牟结构的相关结构。 将物体抽象为三角形，思考用三角形的知识解决问题，发现超出现有知识范围 学生初步猜想外角的性质 认识外角，掌握外角的特征。 学生进行辨析：△ABC的外角的判断，需要考察是否具备两个特征：①在三角形外部；②与三角形的一边相邻，与另一边的延长线组成。 动手画一画：三角形有6个外角，因为对顶角相等，有3组外角相等。 预设学生可能会思考位置关系和数量关系。猜想：结合角楼的实例，学生已猜想“外角=不相邻两内角和” 回归角楼实例：验证角楼中三角形外角135°=45°+90°，印证性质的正确性，讲解：“古代工匠虽无系统的数学理论，却通过实践精准运用了这一性质，这是中华民族的智慧结晶。” 结合简单图形，学生快速说出外角等于哪两个内角的和，巩固性质1 学生说出∠1的度数（30°+60°、35°+60°等），强化角度计算能力 先利用△ABC的外角性质求∠B，再利用△BEF的外角性质求∠BFD 学生简单交流后，得出三角形按角的大小可以分为：锐角三角形（三个锐角）、直角三角形（一直两锐）、钝角三角形（一钝两锐） 学生快速判断给定角度的三角形类型，巩固分类知识 总结知识层面，方法层面和其他方面的收获 巩固旧知，为三角形的外角概念、性质推导做好铺垫，实现知识的自然衔接。 通过故宫角楼实例，让学生感受我国古代工匠的智慧，初步建立“数学源于生活、服务生活”的认知，增强文化自信。 通过探究平面几何图形的特征和大小，对物体进行数学抽象，培养学生的几何直观素养 类比三角形的内角，对三角形的外角进行定义，抓住图形特征，用三种语言进行描述 对三角形的外角进行可行性的比较和度量，分析并获得三角形的外角的性质，从而找到引入问题的本质是求三角形的外角的大小。 对学生进行启发，引导学生思考和研究三角形的外角与三角形内角（一个内角、两个内角、三个内角）的数量关系，促进学生的思维的提升，培养学生多角度思考的数学习惯 通过简单逻辑推理培养学生“重证据、讲逻辑”的数学态度；结合古代工匠的建筑成果，渗透“实践是真理的验金石”的观念。 分层练习，从基础到综合，让学生熟练运用外角性质，培养数学应用能力，同时在规范解题中巩固严谨的学习态度。 将三角形外角的性质与三角形分类结合，实现知识的融会贯通，形成完整的知识体系。 掌握了三角形外角的知识，从故宫角楼中感受到了我国古代建筑的数学智慧。古代工匠用精益求精的态度造就了建筑奇迹，希望同学们在今后的数学学习中，也能保持严谨求实的科学态度。 分层作业兼顾全体学生，拓展作业让数学回归生活，思政作业进一步培养学生的文化自信和探究精神。 本节课以故宫角楼这一极具文化底蕴的本土建筑为思政切入点，巧妙将古代工匠的营造智慧与三角形外角的数学知识深度融合。通过展示角楼木结构中抹角梁、正身梁形成的三角形模型，让学生直观感受数学在传统建筑中的实际应用，不仅能够激发了学生的学习新方向，更让学生在具体的场景中感受中华建筑的美和其中的数学文化，切实提升学生对数学知识的应用意识，这种将本土文化与学科知识结合的教学方式值得延续，后续教学中可进一步挖掘如赵州桥、苏州园林等蕴含数学原理的本土案例，让思政教育更贴合生活实际。 三角形外角性质的证明是本节课的核心难点，教学中通过师生共同分析、分步推导的方式，借助邻补角关系与三角形内角和定理完成逻辑论证，大部分学生能够跟上推理节奏，理解证明的核心思路。但仍有少数学生在逻辑链条衔接、几何语言表达方面存在不足，后续需针对性设计梯度化推理练习题，从简单的步骤补全到完整的证明书写，逐步强化这部分学生的逻辑推理能力，同时可通过小组互助讲解的形式，帮助学生深化理解。 本节课的思政教育与数学知识融合较为自然，未出现生硬说教、贴标签的形式化问题。从角楼实例导入渗透工匠精神，到推理过程中培养严谨求实的科学态度，再到课堂小结中升华文化自信，思政融合教学过程，努力促成知识传授与价值引领的同频共振。后续可继续围绕 “科学精神、工匠精神、文化自信” 三大核心，设计更多沉浸式教学环节，让思政教育融入新知探究、习题训练、作业拓展等各个方面，实现全方位育人。 分层作业的设计充分兼顾了不同层次学生的学习需求，基础作业聚焦外角概念与性质的巩固应用，确保全体学生掌握核心知识；拓展作业与思政作业则引导学生观察生活中的数学、查阅古代数学文化资料，有效培养了学生的实践探究能力与综合素养。后续需重点关注学生拓展作业与思政作业的完成情况，通过课堂分享、书面点评等方式及时反馈，鼓励学生在实践中运用数学知识，在探究中传承文化精神，让作业成为连接课堂与生活、知识与素养的重要纽带。 六、板书设计 13.3.2三角形外角 一、复习回顾 三角形内角：相邻两边组成的角；三角形内角和=180° 二、三角形的外角 1. 定义：三角形一边与另一边延长线组成的角 2. 性质 ① 等于与它不相邻的两个内角的和 三、三角形按角分类 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 1 学科网（北京）股份有限公司 686 学科网（北京）股份有限公司 $