3.3 数量之间的关系-课件-2026-2027学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“数量之间的关系”，涵盖变量与常量、自变量与因变量及数量关系表达等核心知识点，通过回顾路程公式、圆周长公式等旧知，过渡到用代数式表示数式、数阵、图形规律，搭建从基础概念到规律探究的学习支架。 其亮点在于结合日历数阵、三角形小棒等生活实例引导学生观察数量关系，培养数学眼光，通过归纳“观察、比较、猜想、表示、验证”的探索步骤发展推理意识，用代数式精确表达规律强化数学语言。学生能提升抽象能力和应用意识，教师可获得结构化资源，便于实施探究式教学。

冀教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 3.3 数量之间的关系 第三章 代数式 冀教版七年级上册3.3 数量之间的关系专项练习题 核心知识点回顾：1. 变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。2. 自变量与因变量：主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量，因变量随自变量的变化而变化。3. 数量关系表达：可通过代数式、表格、文字描述三种方式表示两个量之间的对应关系，能根据自变量的值求出对应的因变量的值。4. 核心应用：掌握生活中行程、价格、几何公式、增减变化等常见数量变化规律。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在路程公式$$s=vt$$中，当速度v保持不变时，变量是（） A.$$s、v$$ B. $$s、t$$ C. $$v、t$$ D. 只有$$v$$ 2. 圆的周长公式$$C=2\pi r$$中，常量是（） A. $$C、r$$ B. $$2、\pi$$ C. $$2、r$$ D. $$\pi、r$$ 3. 下列关于自变量和因变量的说法正确的是（） A. 因变量主动变化 B. 自变量随因变量变化 C. 因变量随自变量变化 D. 两个量无变化关系 4. 购买单价为5元的笔记本，购买数量x本，总费用y元，自变量是（） A. x B. y C. 5 D. 无自变量 5. 水温随加热时间的变化而升高，下列判断正确的是（） A. 水温是自变量 B. 加热时间是自变量 C. 时间是因变量 D. 无变量 二、填空题（每题4分，共32分） 1. 在一个变化过程中，数值变化的量叫________，数值不变的量叫________。 2. 因变量随________的变化而变化。 3. 长方形面积$$S=ab$$，长a固定不变，变化的量是________，常量是________。 4. 已知关系式$$y=3x+2$$，自变量是________，因变量是________。 5. 汽车匀速行驶，速度不变，行驶路程随时间增加而________。 6. 若$$y=2x-1$$，当$$x=3$$时，$$y=$$________。 7. 一棵树初始高1.2米，每年长高0.3米，x年后树高y米，关系式为________。 8. 已知$$y=5x$$，当$$y=20$$时，$$x=$$________。 三、解答题（共48分） 1. （16分）判断下列问题中的常量与变量： （1）电费单价0.5元/度，用电量x度，总电费y元； （2）三角形面积公式$$S=\frac{1}{2}ah$$，底边长a固定，高h变化。 2. （16分）根据数量关系式计算求值： （1）已知$$y=4x-3$$，分别求$$x=2$$、$$x=5$$时y的值； （2）已知$$y=10-2x$$，当$$y=4$$时，求自变量x的值。 3. （16分）实际应用写关系式： 某水果店售卖橘子，每千克6元，购买数量为x千克，应付总价为y元。 （1）写出y与x之间的数量关系式； （2）指出关系式中的自变量、因变量和常量； （3）购买8千克橘子，应付多少元？ 参考答案及简单解析 一、选择题 1.B 解析：速度不变为常量，路程随时间变化，s、t是变量。 2.B 解析：2和π为固定数值，是常量；C、r随变化改变，是变量。 3.C 解析：自变量主动变化，因变量随自变量变化而变化。 4.A 解析：购买数量x主动变化，是自变量，总费用y是因变量。 5.B 解析：加热时间主动变化是自变量，水温随之变化是因变量。 二、填空题 1.变量、常量 2.自变量 3.S、b；a 4.x、y 5.增加 6.5 7.$$y=1.2+0.3x$$ 8.4 三、解答题 1.解：（1）常量：0.5；变量：x、y； （2）常量：$$\frac{1}{2}$$、a；变量：S、h。 2.解：（1）当$$x=2$$时，$$y=4\times2-3=5$$；当$$x=5$$时，$$y=4\times5-3=17$$； （2）代入得$$4=10-2x$$，解得$$x=3$$。 3.解：（1）数量关系式：$$y=6x$$； （2）自变量：x，因变量：y，常量：6； （3）当$$x=8$$时，$$y=6\times8=48$$（元）。答：应付48元。 观察下列等式： 1×3=22-1；2×4=32-1；3×5=42-1；…… 请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律. 观察每个等式的特征，这些等式可以改写成： 1×（2+1）=（1+1）2-1；2×(2+2)=（2+1）2-1；3×(2+3)=（3+1）2-1；…… 用n表示自然数，则规律是：n(n+2)=(n+1)2-1. 新知探究 知识点1 用代数式表示数的变化规律 用代数式表示数的变化规律 1.数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; 2.数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； 3.若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律. 新知探究 知识点1 用代数式表示数的变化规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1.请找出同一直线上相邻数之间的关系: （1）横行三个相邻数的关系； （2）竖列三个相邻数的关系. 后者比前者多1. 用代数式表示为：a-1,a,a+1 下者比上者多7. 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 一起探究: 用代数式表示为：b-7,b,b+7 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (3) 左上右下对角线上三个相邻数; （4）左下右上对角线上三个相邻数. 左上者比右下者多8. 用代数式表示为：c-8,c,c+8 右上者比左下者多6. 用代数式表示为：d-6,d,d+6 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日历中相邻三数之间有什么相等关系？ 同一直线上无论位置怎样的相邻三个数， 首尾两数之和= 2×中间数. 问题1 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 a-1,a,a+1 (1)水平相邻的三个数 (2) 竖直相邻的三个数 b-7,b,b+7 (3) 斜下相邻的三个数 c-8,c,c+8 (4)斜上相邻的三个数 d-6,d,d+6 (a-1) +(a+1)=2a. (b-7) +(b+7)=2b. (c-8)+(c+8)=2c. (d-6)+(d+6)=2d. 用代数式表示为： 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日历中3×3方框内九数之和与方框中正中间的数有何等量关系？ 2+3+4+9+10+11+16+17+18=90=9×10. 九数之和=9 × 中间数 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 这个关系在其它方框中成立吗? 8+9+10+15+16+17+22+23+24=144=9×16. 成立! 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观察、比较 成立 得出结论 不成立 头 回 新 重 索 探 归 纳: 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 图3-2-3是由点组成的n行n列的方阵，图3-2-4是由每条边上n个点围成的空心方阵． 1. 图3-2-3方阵的总点数为多少？ 2. 图3-2-4方阵的总点数是什么？ 观察与思考 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 1. 图3-2-3方阵的总点数为多少？ 2. 图3-2-4方阵的总点数是什么 ？ n行n列的实心方阵的点数为n×n= 由每条边上n个点围成的空心方阵的总点数等于n×n实心方阵的点数减去（n-2）×（n-2）实心方阵的点数的差为 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 方法1 如图（1）每边n个点，4个边共4n个点，减去重复计算的4个点，方阵的总点数为4n-4. 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 列代数式表示空心方阵的点数，引导学生归纳概括不同方法的要点，体会形式不同的代数式表达的同一个量.采用了分类法. 方法2：如图（2）将点阵分成不重叠的4组，每组有(n-1)个点，方阵的总点数为4（n-1）. 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 新知探究 方法3：如图（3）将点阵分成不重叠的4组，其中两组各有n个点，另两组各有(n-2）个点，方阵的总点数为2n＋2（n-2）． 新知探究 知识点2 用代数式表示数阵的变化规律 用小棒按下图的方式搭三角形. 三角形 个数 1 2 3 4 5 … n 小棒 根数 … 填写下表: 新知探究 知识点3 用代数式表示图形的变化规律 3 +2 +2 +2 +2 +2 1+2 三角形个数 火柴棒根数 1 2 3 4 5 … … n 3=1+2 5=1+2+2 7=1+2+2+2 9=1+2+2+2+2 11=1+2+2+2+2+2 2n+1=1+2+2+2+2+ +2 新知探究 知识点3 用代数式表示图形的变化规律 用代数式表示图形的变化规律： 1.通过列表，将每个图形所研究的量利用表格的反映出来，然后根据数字变化获取规律； 2.直接观察出图形之间的位置变化或数量变化，获取规律. 知识点3 用代数式表示图形的变化规律 新知探究 知识点1 数式的变化规律 1. 按规律排列的一组数据：,,□,,, ,其中□内应填的 数是( ) D A. B. C. D. 中考考法 19 2. 把自然数按如图的方式进行排列，按照这样的规律推断， 从2 025到 ，箭头的方向应是( ) B A. B. C. D. 中考考法 20 【点拨】由题图可知，每4个数为一个循环组进行循环， 是第2 026个自然数.因为 ,所以 2 025在第2个位置，即1的位置，所以从2 025到2 027应为 即箭头方向为 .故选B. 中考考法 21 3. 将从1开始的连续自然数按如图 所示的方式排列：则2 026在第____行. 46 【点拨】因为 ,所以2 026在第46行. 中考考法 22 知识点2 图形的变化规律 4. 小明用长度相同的木棒按如图所示的规律拼摆图形，则第 个图形所需木棒的根数可表示为( ) B A. B. C. D. 中考考法 23 【点拨】由题中所给图形可知，第1个图形所需木棒的根数 为 ；第2个图形所需木棒的根数为 ；第3个图形所需木棒的根数为 ； ，所以第 个图形所需木棒的根数为 .故选B. 中考考法 24 5. [邢台期末] 为庆祝国庆节，嘉淇用大小相等的五角星按一 定规律摆出如下图所示的图案，则第15个图案五角星的颗数 为( ) C A. 44 B. 45 C. 46 D. 48 中考考法 25 【点拨】第1个图案中有4颗五角星，第2个图案中有7颗五角 星，第3个图案中有10颗五角星，第4个图案中有13颗五角 星， ，故第个图案中有颗五角星.当 时， ，故选C. 中考考法 26 6. 如图，第1个图中，将正方形取上下对边中点连线后，再 取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中 的右下方正方形继续按第1个图的方式进行操作; ，按此规 律操作下去，则第 个图中正方形的个数是_______ （用含 的代数式表示）. 中考考法 27 7. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个 点，第2个图形中共有12个点，第3个图形中共有24个点， ， 按此规律，第100个图形中共有________个点. 20 200 中考考法 28 【点拨】由题图知，第1个图形中 共有 （个）点，第2个 图形中共有 （个）点，第3个图形中共有 （个） 点， ，所以可推导一般性规律为第 个图形中共有 个点，所以第100个图形中共有 （个）点. 中考考法 29 8. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和 正三角形拼接而成的，第1个图案有4个三角形，第2个图案 有7个三角形，第3个图案有10个三角形， ，依此规律，第 2 027个图案中的三角形有( ) C A. 7 082个 B. 6 092个 C. 6 082个 D. 6 072个 中考考法 30 【点拨】由题图可知，第1个图案中三角形的个数为 ；第2个图案中三角形的个数为 ； 第3个图案中三角形的个数为； ，所以第 个图案中三角形的个数为.当 时， ，即第2 027个图案中的三角 形有6 082个.故选C. 中考考法 31 9. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要 工具”.如图，烷烃中甲烷的化学式是 ，乙烷的化学式是 ，丙烷的化学式是设碳原子（C）的数目为 （ 为正整数），则它们的化学式都可用式子_________来表示. 中考考法 32 10. [石家庄新华区期末] 如图所示，各正方形中的四个数 之间都具有同一种规律，按此规律得出 的值为_____. -112 中考考法 33 【点拨】由题图可知，右上角的数：, , , , ,则 ；左下角的 数：, , , , ,则 ;右下角的数： , , , , ,则 ,所以 . 中考考法 34 11. 如图，将图①中的平行四边形剪开得到图②，图②中 共有4个平行四边形；将图②中的1个平行四边形剪开得到图 ③,图③中共有7个平行四边形， ，如此剪下去，请结合图 形解决问题. 中考考法 35 （1）按图示规律填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 平行四边形个数 1 4 7 ____ ____ … 10 13 （2）按照这种方式剪下去，则图 中共有_________个平 行四边形; 中考考法 36 （3）按照这种方式剪下去，则图 中共有_______个平行 四边形. 6 079 中考考法 37 用代数式表示规律 表示图形的规律 表示数阵的规律 表示数的规律 $