3.4.2列关系式求值 课件 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“列关系式求值”核心知识点，通过卡车耗油问题导入，先复习代数式表示剩余油量，再以x=12时油量为负的矛盾引出取值需符合实际，为数量关系认识搭建学习支架。 其亮点在于以生活实例为线索，通过步行上学、耕地耗油等情境引导学生用数学眼光发现数量关系，培养抽象能力。结合填表计算、分析取值合理性发展推理意识，用代数式表达关系体现模型观念，助力学生发展应用意识，也为教师提供分层教学资源提升效率。

冀教（2024）版数学7年级上册 第三章 代数式 3.4.2列关系式求值 学习目标 在解决实际问题的过程中,初步感受两个数量之间的对应关系,进一步发展符号意识. # 幻灯片分页内容：3.4.2 列关系式求值 ## 第1页：导入——从“情境”到“计算”的完整链条 - 回顾旧知：我们已经掌握“列代数式表示数量关系”和“求代数式的值”（举例：列代数式3x+2，当x=5时求值17） - 提问：如果遇到实际问题，先列出表示数量关系的关系式，再代入数值计算，该如何操作？ - 情境问题：小明家离学校1200米，他每分钟走v米，走了t分钟后，离学校还有多少米？当v=60，t=15时，离学校的距离是多少？ - 引出主题：今天我们学习“列关系式求值”，核心是“先列关系式（表示数量关系），再代入求值（解决具体问题）”，形成完整的解题流程 ## 第2页：核心流程——列关系式求值的“四步走” - 第一步：审题分析——找出已知量、未知量，明确数量之间的逻辑关系（和差倍分、公式、生活规律等） - 第二步：设字母——用字母表示未知的变量（明确字母含义，方便列关系式） - 第三步：列关系式——根据数量关系，列出含字母的等式（即关系式，区别于单纯代数式，更强调等量关系） - 第四步：代入求值——将已知的变量数值代入关系式，按运算顺序计算结果 - 示范：解决导入问题 1. 审题：总路程1200米，速度v米/分，时间t分钟，已走路程=vt，剩余路程=总路程-已走路程 2. 设字母：v=速度，t=时间，剩余路程为s 3. 列关系式：s=1200 - vt 4. 代入求值：当v=60，t=15时，s=1200 - 60×15=1200-900=300（米） ## 第3页：类型1——生活情境中的和差倍分关系 - 例题1：年龄问题 今年爸爸35岁，儿子y岁，再过5年，爸爸比儿子大多少岁？当y=8时，求这个年龄差 1. 列关系式：年龄差始终不变，为35 - y（再过5年，爸爸35+5岁，儿子y+5岁，差仍为35 - y） 2. 代入求值：当y=8时，35 - 8=27（岁） - 例题2：价格优惠问题 某商品原价a元，春节促销打8折后再减20元，最终售价为多少元？当a=300时，求最终售价 1. 列关系式：8折=0.8a，再减20元，售价y=0.8a - 20 2. 代入求值：当a=300时，y=0.8×300 - 20=240-20=220（元） - 即时练习：小明有x元零花钱，花掉的钱比剩下的2倍多3元，花掉的钱是多少？当x=21时，花掉多少元？（关系式：2(x - 花掉的钱)+3=花掉的钱→花掉的钱=(2x - 3)/3；代入x=21，得(42-3)/3=13元） ## 第4页：类型2——公式类关系式（几何、行程、工程） - 例题3：几何公式 长方体的体积公式为V=abc（a=长，b=宽，c=高），当a=5厘米，b=3厘米，c=2厘米时，求体积 1. 列关系式：V=abc（直接使用公式作为关系式） 2. 代入求值：V=5×3×2=30（立方厘米） - 例题4：行程公式（相遇问题） 甲、乙两车从相距s千米的两地相向而行，甲速度v₁千米/时，乙速度v₂千米/时，相遇时间t= s÷(v₁+v₂)。当s=300，v₁=60，v₂=40时，求相遇时间 1. 列关系式：t= s/(v₁+v₂) 2. 代入求值：t=300/(60+40)=3（小时） - 例题5：工程公式 工作总量=工作效率×工作时间，甲每天做a个零件，乙每天做b个零件，两人合作完成n个零件需要的时间t= n/(a+b)。当n=180，a=25，b=20时，求时间 1. 列关系式：t= n/(a+b) 2. 代入求值：t=180/(25+20)=4（天） ## 第5页：类型3——含分情况讨论的关系式 - 例题6：阶梯收费问题（生活中常见，需分区间列关系式） 某市居民电费收费标准：每月用电量不超过100度，每度0.5元；超过100度的部分，每度0.6元。设用电量为x度，电费为y元 1. 分情况列关系式： - 当x≤100时，y=0.5x - 当x>100时，y=0.5×100 + 0.6(x-100)=0.6x - 10 2. 代入求值： - 当x=80时（x≤100），y=0.5×80=40（元） - 当x=150时（x>100），y=0.6×150 - 10=90-10=80（元） - 关键：分情况讨论的核心是找到“分界点”（如100度），分别列出不同区间的关系式，再根据已知数值判断所属区间，代入对应关系式计算 ## 第6页：易错点突破——分情况与单位陷阱 - 易错点1：分情况时混淆区间范围 - 问题：阶梯水费，不超过20吨每吨2元，超过20吨部分每吨3元，当x=20时，用哪个关系式？（x=20属于“不超过20吨”，用y=2x，而非y=2×20+3(x-20)） - 易错点2：单位不统一导致错误 - 问题：甲速度5米/秒，乙速度18千米/时，求相遇时间（先统一单位：18千米/时=5米/秒，再列关系式） - 易错点3：列关系式时运算顺序错误 - 错误：“x的3倍与y的和的一半”列成3x + y/2（正确：(3x + y)/2） - 易错点4：代入分情况关系式时选错区间 - 错误：x=120度代入电费关系式y=0.5x（正确：x>100，代入y=0.6x-10） ## 第7页：课堂练习——分层挑战 - 基础题： 1. 正方形的周长C=4a，当a=6.5厘米时，求周长（答案：4×6.5=26厘米） 2. 某文具店笔记本单价5元，买x本送1本（x≥3），当x=4时，实际每本单价是多少？（关系式：总价=5x，实际数量=x+1，单价=5x/(x+1)；代入x=4，得20/5=4元） - 提高题： 1. 阶梯停车费：1小时内收费5元，超过1小时每半小时收费2元（不足半小时按半小时算），当停车2.3小时时，收费多少？（关系式：1小时内y=5；超过1小时，时间按“进一法”取半小时整数倍，2.3小时=1小时+3个半小时，y=5+2×3=11元） - 拓展题： 某工厂生产一批产品，固定成本2000元，每件产品变动成本3元，售价8元，求利润L与产量n的关系式，并当n=1000时求利润（利润=总售价-总成本，关系式L=8n - (2000 + 3n)=5n - 2000；代入n=1000，得5000-2000=3000元） ## 第8页：课堂小结 - 核心流程：审题分析→设字母→列关系式→代入求值 - 常见类型：和差倍分、公式类、分情况讨论（阶梯收费等） - 关键技巧：分情况讨论找分界点，公式类直接套用关系式，单位统一后再计算 - 核心价值：将实际问题转化为数学关系式，通过代入求值解决具体问题，体现数学的实用性 - 提问：今天你学会“列关系式再求值”的完整流程了吗？遇到分情况的问题，你会如何判断区间并列出对应关系式？ 学习目标 一辆卡车在行驶时平均每小时耗油8L，行驶前油箱中有油80L. （1）用代数式表示行驶xh后，油箱中的剩余油量Q= L； （2）计算行驶2h，5h，8h后，油箱中的剩余油量； （3）这里，能求x=12h时，油箱中的剩余油量Q的值吗？ (80-8x) 解：（2）当x=2时，Q=80-8×2=64（L）； 当x=5时，Q=80-8×5=40（L）； 当x=8时，Q=80-8×8=16（L）. （3）当x=12时，Q=80-8×12=-16（L）， 因为-16＜0，不符合实际， 所以不能求当x=12时，油箱中剩余油量Q的值. 课堂导入 情景导入 小亮家到学校的路程为1 280m.他每天步行上学，速度约是80m/min.我们用t(min)表示小亮从离开家开始的步行时间， (m)表示离开家的路程， (m)表示距学校的路程． (1)写出用t分别表示 和 的代数式： =_________, = . 80t 1 280-80t 新知探究 知识点 数量关系的认识 做一做 探究新知 t/min 0 4 5.5 10 12.5 16 /m /m (2)根据具体的t 值，计算 和 的值，并填写下表： 0 1280 320 960 440 840 800 480 1000 280 1280 0 新知探究 知识点 数量关系的认识 探究新知 (3)当t=7时，请你比较小亮离开家的路程与离学 校的路程哪个远． 此时，小亮离学校的路程远． 新知探究 知识点 数量关系的认识 探究新知 问题1 表格中的 和 在同时间对应的数量关系有 什么特点？ 两个数量之和等于小亮到家的距离 问题2 通过这个表格，是否可以计算出任何一个时间中小亮的位置情况？ 可以 新知探究 知识点 数量关系的认识 探究新知 某农场购买了一台新型拖拉机用来耕地．为了测试耕地时的耗油量，用它试耕了三块地，其面积分别为0.4公顷，0.6公顷和1公顷．油量表的指针变化情况如图所示(油表中的一个大格表示10升油)． 新知探究 知识点 数量关系的认识 一起探究 探究新知 (1)根据油量表指针的变化，估算耕地0.4公顷，0.6公顷，1公顷的耗油量(升)，与同学交流，并将结果填入表中． 耕地面积／公顷 0.4 0.6 1 耗油量／升 10 15 25 (2)如果设耕地a (公顷)耗油量为b(升)，列代数式表示a和b之间的关系． 每耕1公顷地，耗油量为25升, 因此，b=25a. 新知探究 知识点 数量关系的认识 探究新知 (3)根据所列的关系式，求解下列问题： ①耕地面积为0.5公顷，2公顷时，耗油量分别是多少？ ②如果两次耕地耗油量分别是12升和40升，那么所耕地的面积分别是多少公顷？ 解：①当a=0.5时，b=25×0.5=12.5（升）； 当a=2时，b=25×2=50（升）. ②当b=12时，a=12÷25=0.48（升）； 当b=40时，a=40÷25=1.6（升）. 新知探究 知识点 数量关系的认识 探究新知 1.本探究问题的核心代数式是什么？ b=25a 2.列出这个代数式的主要依据是什么？ 根据本题图所给出的数据 3.根据所列出的代数式可以解决哪些相关问题？ 如耕多少地耗油多少，根据耗油的数量判断耕地的数量等 新知探究 知识点 数量关系的认识 探究新知 1.树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：(树苗原高100厘米) （1）用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度an； （2）生长了11年的树的高度是多少？ 年数/n 高度/厘米 1 100+5 2 100+10 3 100+15 4 100+20 … … （1）an=100+5n . 解： （2）an=100+5n=100+5×11=155（厘米） . 随堂练习 课堂练习 2.某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10%.如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值能达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？ 解：由题意可得，今年的年产值为 a(1+10%)亿元， 所以明年的年产值为 a(1+10%)(1+10%)=1.21a（亿元）. 若去年的年产值为2亿元，则明年的年产值为 1.21a=1.21×2=2.42（亿元）. 答：该企业明年的年产值将能达到1.21a亿元.由去年的年产 值是2亿元，可以预测明年的年产值是2.42亿元. 随堂练习 课堂练习 3.某人到泉州市移动通讯营业厅办理手机通话业务，营业员给他提供了两种办理方式： 甲方案：月租9元，每分钟通话费0.2元； 乙方案：月租0元，每分钟通话费0.3元． （1）若此人每月平均通话x分钟，则两种方式的收费各是多少元？（用含x的代数式表示） （2）此人每月平均通话10小时，选择哪种方式比较划算？试说明理由． （1）甲方案的收费是(9+0.2x)元；乙方案的收费是0.3x元. 解： （2）因为10小时=600分钟， 所以甲方案的收费：9+0.2×600=129（元）； 乙方案的收费：0.3×600=180（元）. 因为 129＜180，所以甲方案比较划算. 随堂练习 课堂练习 知识点 列关系式求值 1.一辆汽车油箱内有56升汽油.从某地出发，平均每行驶1千米，耗油 0.07升.设油箱内剩油量为（升），行驶路程为 （千米）. （1）与 的关系式为________________； （2）这辆汽车行驶350千米时，剩油_____升. 31.5 返回 考试考法 15 2.装卸工人往一辆大型运货车上装载一批货物，装完货物所需时间 （分钟）与每分钟装载的质量 （吨）如表所示. 分钟 8 6 12 24 吨 3 4 2 1 （1）装完货物所需时间与每分钟装载的质量之间的关系式为_________； （2）如果装完这批货物所需时间为5分钟，平均每分钟装载____吨货物. 4.8 返回 考试考法 16 3.（8分）如图①所示是某款手机后置摄像头， 图②为示意图，此圆形影像设计可以在不同场 景下拍摄出更加清晰，自然的照片，其中大圆 的半径为,4个半径为 的高清圆形镜头分布在 大圆里面，可以更好地提升主板的利用率. （1）图②中阴影部分的面积为____________； 考试考法 17 （2）当,时，求图②中阴影部分的面积 取 . 解：当，， 时， 原式 . 答：题图②中阴影部分的面积为 . 返回 考试考法 18 4.（8分）［2025保定期中］声音在空气中传播的速度和气温 存在如 下的关系. 0 1 2 3 4 5 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）声音在空气中的传播速度与气温 的关系式可以表示为 _______________. 考试考法 19 （2）某日的气温为，小乐看到烟花燃放 后才听到声响，则小乐 与燃放烟花所在地大约相距多远？ 解：由（1），可知，当 时， ， 所以小乐与燃放烟花所在地大约相距 . 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距 . 返回 考试考法 20 5.（8分）小明以如图①的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度 与纸杯的个数 之间的关系如下表所示. 1 2 3 4 … 9 9.5 10 10.5 … （1）求与 之间的关系式. 解： . 考试考法 21 （2）该型号纸杯有15个装、20个装、25个装共三种包装，均把纸杯叠 放成一叠进行包装，图②是某品牌饮水机的储藏柜示意图，储藏柜的高 度是 ，则该储藏柜能放得下（杯口向上）这三种包装中的哪种包 装的纸杯（直接写结果）. 解：15个装和20个装的纸杯. 点拨：当时，,当 时，,当 时， .因为， ，所以 该储藏柜能放得下15个装和20个装的纸杯. 返回 考试考法 22 列代数式解决实际问题： 1.通过生活中的数量关系可以列出代数式，通过列出的代数式可以解决生活中的数量关系问题. 2.代数式里的字母可取不同的值,但是所取的数值不能使代数式或它表示的实际问题失去意义. 课堂小结 谢谢观看！ $