精品解析：江西宜春市宜丰县宜丰中学2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

2025－2026（下）高二期末质量检测数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据全称命题否定的规则，即命题的否定是. 3. 下列结论正确的是（　　） A. 当且时， B. 当时， C. 当，的最小值为2 D. 当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断，若不成立则举反例即可. 【详解】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的零点存在定理，即可判断. 【详解】根据题意，令，，则， 根据指数函数的图象性质，可知在内单调递减， 根据一次函数的图象性质，可知在内单调递减， 所以为上的减函数， 又，， 所以的零点所在区间是. 故选：D 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得. 【详解】根据题意，， 因函数为上的增函数，由于，因此，即， 又因为，而， 函数为上的增函数，由，可得，即， 综上可得，. 6. 若函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 方程有两个相等的实数根 D. 方程的两根是， 【答案】CD 【解析】 【分析】由图象可计算出，再逐项计算即可得. 【详解】由图可得，解得，即； 对A：由，则，故A错误； 对B：，故B错误； 对C： ， 则方程有两个相等的实数根，故C正确； 对D：， 解得，，故D正确. 故选：CD. 10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确； 因为为上的奇函数，所以，所以， 又当时，，其图象对称轴为直线， 结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确； 因为，，，， 则， 所以 ，故C不正确； 当时，，， 由，得， 其在上单调递减，所以D正确. 11. 已知数列中各项均不为0，函数的两个极值点为，且，则（ ） A. B. 当时，数列的前2026项之和为 C. 当时，数列的通项公式 D. 当时，若数列，则的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件结合极值点的定义可求即可判断，对于B，当时由递推关系求数列的前几项，再结合数列的周期性利用分组求和法求前项的和即可判断，对于C，将代入递推关系化简即可证明数列是等差数列，结合等差数列通项公式求结论，对于D，利用裂项相消法求的前项和即可判断. 【详解】对于A，因为数列各项均不为零，为函数的两个极值点， 所以的解为，故A正确； 对于B，当时，， 所以有， ， . 所以此时该数列的周期为6，则， 所以的前2026项和为 ，故B正确； 对于C，当时，由，得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以的前项和为 ，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，由于，， 所以曲线在处的切线方程为，即． 13. 设函数，是二次函数.若的值域是，则的值域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，由函数的值域是，，根据图象求的取值范围，结合是二次函数得出答案. 【详解】因为， 作出函数图象如图， 又因为函数的值域是，， 所以，或或 因为函数是二次函数， 所以，与不可能同时存在，且存在一个， 所以，， 故答案为：. 14. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立， 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 四、解答题（77分） 15. 已知集合，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件，得到为的真子集，从而得到不等式组，求出答案； （2）分和两种情况，得到不等关系，求出答案 【小问1详解】 ， 故等价于，解得， 故， ，是的充分不必要条件，故为的真子集， 故或，解得； 【小问2详解】 为真命题，若，则，解得， 若，需满足或， 解得或， 综上，实数的取值范围是或. 16. 已知等比数列的公比，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案； （2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求； （3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 , 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以. 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 17. 已知函数，其中且． （1）设． ①若，求的值； ②若，求的最小值． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】(1) ①由得，代入表达式即可；②写出的表达式，利配方法求其最小值即可； (2) 当分别讨论分析即可. 【小问1详解】 时，， ①由得， ． ② ， 时，，即时，； 【小问2详解】 当时，的值域为，不符合条件， ，且解得， ，即实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求函数在的最值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为. （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值； （2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性； （3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定的取值范围. 【小问1详解】 ，则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 ，则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值； 即 有2个零点，，即. 令，则； 在上单调递增. 又， 时，； ，得； 即的取值范围为. 19. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”. （1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； （2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； （3）已知，且集合A为“完美集”，求A. 【答案】（1）－2 （2） 设数列的公比为q，依题意， ，， 因为集合A为“完美集”，所以， 整理得，解得，不符题意， 所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果. （2）根据“完美集”的定义得到等式，解得，不符合题意，得到结果. （3）根据题干，设，若集合A为“完美集”， 则，再对n分情况讨论即可. 【小问1详解】 依题意，， ，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，若集合A为“完美集”， 则， 易知，，，当时，， 当时，显然不符题意； 当时，不妨设，，故，所以； 当时，因为，所以，符合题意； 当时，，不符题意； 综上，或. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运 算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息 的迁移，达到灵活解题的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026（下）高二期末质量检测数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论正确的是（　　） A. 当且时， B. 当时， C. 当，的最小值为2 D. 当时，的最小值为2 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象关于点对称，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 方程有两个相等的实数根 D. 方程的两根是， 10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 11. 已知数列中各项均不为0，函数的两个极值点为，且，则（ ） A. B. 当时，数列的前2026项之和为 C. 当时，数列的通项公式 D. 当时，若数列，则的前项和为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为______． 13. 设函数，是二次函数.若的值域是，则的值域是_____. 14. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 四、解答题（77分） 15. 已知集合，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 16. 已知等比数列的公比，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数，其中且． （1）设． ①若，求的值； ②若，求的最小值． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，求函数在的最值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 19. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”. （1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； （2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； （3）已知，且集合A为“完美集”，求A. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $