13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦三角形中线、角平分线、高的概念、画法及性质，通过“三角形菜地分割”的实际问题导入，衔接已学的三角形定义与分类，搭建从生活问题到几何线段的学习支架。 此资料以启发式教学和动手操作为核心，通过画图发现中线重心、折纸区分角平分线与射线、分类讨论不同三角形高的位置，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。如利用“等底同高”推导中线等分面积，助力学生理解本质，为教师提供清晰知识框架与分层练习，提升教学效率。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课题 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、动手操作、合作探究 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺、量角器、纸张 教材分析：本节是人教版八年级上册第十三章第二节第2课时，主要内容包括三角形的中线、角平分线和高的概念、画法及性质。三种重要线段是三角形的基本元素，是后续学习三角形全等、相似以及几何证明的重要基础。其中，中线的等分面积性质和重心的平衡作用为后续学习重心定理做铺垫；角平分线是角平分线性质定理的前置知识；高是计算三角形面积的核心要素。三种线段的概念容易混淆，需要对比辨析。 学情分析：学生已学习了三角形的定义、基本要素和分类（13.1），以及三边关系和稳定性（13.2.1），具备了基本的几何画图能力。但学生对"角平分线"已有"角平分线是一条射线"的认知，易与"三角形的角平分线是一条线段"混淆。对于钝角三角形的高在三角形外部、直角三角形的高与直角边重合等特殊情况，学生理解起来有一定困难。中线的等分面积性质需要结合"等底同高"进行推理，对学生的逻辑思维要求较高。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能从具体图形中抽象出三角形的中线、角平分线和高的概念，理解三种重要线段的定义及其本质特征。 能准确区分"角的平分线（射线）"与"三角形的角平分线（线段）"以及"垂线"与"三角形的高（线段）"。 2. 逻辑推理 能利用"等底同高"推证三角形中线等分面积的性质，并运用该性质解决面积计算问题。 能运用三角形中线、角平分线和高进行线段长度计算、角度计算及周长计算，培养严谨的推理能力。 3. 直观想象 能正确画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的中线、角平分线和高，理解三种三角形中高线的不同位置特征。 通过折纸、画图等动手操作，直观感受三角形的重心、角平分线交点和高线交点的位置规律。 4. 数学运算 能利用中线等分面积的性质，结合三角形面积公式进行相关计算。 能综合运用中线的定义（中点→等线段）和角平分线的定义（等角）进行角度、周长等计算。 二、教学重难点 教学重点：三角形的中线、角平分线和高的概念、画法及几何语言表述；中线等分面积的性质。 教学难点：钝角三角形的高（两条高在三角形外部）的理解与画法；三种重要线段的区别与联系。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，请看大屏幕。有一块三角形的菜地，现在需要分成面积比为1:1:2的三块，并且A处是三块菜地的共同水源处。应该怎么分？ 【学生活动】（思考、讨论） 【教师活动】这个问题涉及到在三角形内部画线来分割面积。要解决这个问题，我们需要学习三角形中几条非常重要的线段——中线、角平分线和高。今天我们就来学习这三种重要的线段。 【设计意图】以实际生活中的分割问题引入，激发学生的探究兴趣，自然引出本节课的核心内容——三角形的三种重要线段。 环节二：三角形的中线（10分钟） 【过渡语】首先，我们来认识三角形的第一条重要线段——中线。 1. 中线的定义与画法 【教师活动】请看大屏幕。在△ABC中，取边BC的中点D，连接顶点A和点D。这条线段AD就是△ABC的边BC上的中线。请同学们思考：什么是三角形的中线？ 【学生活动】连接三角形顶点和它所对边中点的线段叫作三角形的中线。 【知识点】三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。 【教师活动】中线的几何语言如何表述？ 【学生活动】因为D是BC的中点，所以AD是△ABC的中线。或者说：因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC。 【知识点】几何语言：∵D是BC的中点，∴AD是△ABC的边BC上的中线。反之，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC。 2. 三角形的三条中线与重心 【教师活动】三角形有几条边？每个顶点可以画几条中线？ 【学生活动】三角形有三条边，每个顶点可以向对边画一条中线，所以一个三角形有三条中线。 【教师活动】很好。请同学们动手画一画，分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，观察它们有什么规律？ 【学生活动】（动手画图） 【教师活动】你们发现了什么规律？ 【学生活动】不管是什么三角形，三条中线都相交于一点，而且这个交点在三角形的内部。 【知识点】三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的重心。重心一定在三角形内部。 【教师活动】重心还有一个有趣的性质。请看大屏幕：一块质地均匀的三角形木板，如果用手指顶住三条中线的交点（重心），木板会保持平衡。这也解释了为什么很多框架结构的关键支撑点选在重心位置。 重心应用：手指托起三角形框架保持平衡 【设计意图】通过动手画图、观察归纳，让学生自己发现三条中线交于一点以及重心在三角形内部的规律，同时结合物理平衡现象加深理解。 3. 中线等分面积的性质 【教师活动】现在请同学们思考一个重要问题：被三角形的中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？ 【学生活动】（思考讨论） 【教师活动】提示：AD是BC边上的中线，所以BD=DC。△ABD和△ACD的底边BD和DC相等，而它们的高都是从A到BC的距离，是同一个高。所以面积有什么关系？ 【学生活动】等底同高的两个三角形面积相等！所以S△ABD = S△ACD。 【知识点】三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。即：若AD是△ABC的中线，则S△ABD = S△ACD = S△ABC。 重点强调：中线等分面积的原因是"等底同高"。这是三角形面积计算中最重要的转化方法之一，在后续解题中会频繁使用。 【过渡语】中线我们已经掌握了，接下来学习三角形的第二条重要线段——角平分线。 环节三：三角形的角平分线（8分钟） 1. 角平分线的定义与画法 【教师活动】同学们，请拿出一张纸，画一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使角的两边重合。折痕就是什么？ 【学生活动】折痕就是角的平分线。 【教师活动】很好。在三角形中，画∠A的平分线，交对边BC于点D。那么线段AD就是△ABC的角平分线。请同学们注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，这是两个不同的概念。 【知识点】三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 【知识点】几何语言：∵AD平分∠BAC（或∠1=∠2），∴AD是△ABC的角平分线。反之，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD。 易错提示：角的平分线是一条射线（从顶点出发无限延伸），而三角形的角平分线是一条线段（顶点到对边交点）。名称相似但本质不同，必须区分清楚！ 2. 三角形的三条角平分线 【教师活动】三角形有几个内角？可以画几条角平分线？ 【学生活动】三角形有三个内角，可以画三条角平分线。 【教师活动】请同学们画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，观察它们的交点有什么规律？ 【学生活动】（动手画图） 【教师活动】发现了什么？ 【学生活动】不论什么三角形，三条角平分线都相交于一点，而且这个交点也在三角形内部。 【知识点】三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形内部。 【设计意图】通过折纸操作让学生直观感受角平分线的形成，再通过画图归纳三条角平分线的交点规律。特别注意区分"角的平分线（射线）"与"三角形的角平分线（线段）"。 【过渡语】三角形的角平分线我们已经掌握了，接下来学习第三条重要线段——高。 环节四：三角形的高（10分钟） 1. 高的定义与画法 【教师活动】同学们还记得如何过一点画已知直线的垂线吗？请在大屏幕上过点A画线段BC所在直线的垂线。 【教师活动】在三角形中，从顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D。线段AD就是△ABC的边BC上的高。 【知识点】三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。 【知识点】几何语言：∵AD⊥BC（或∠BDA=∠CDA=90°），∴AD是△ABC的高。反之，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC。 【教师活动】注意：高是线段，不是直线。这是很多同学容易混淆的。 2. 锐角三角形的高 【教师活动】请同学们画出锐角三角形的三条高，观察它们的位置。 【学生活动】（动手画图） 锐角三角形的三条高及交点 【教师活动】锐角三角形的三条高有什么特点？ 【学生活动】锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高相交于一点，交点也在三角形内部。 【知识点】锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高（或高的延长线）交于一点。 3. 直角三角形的高 【教师活动】现在画出直角三角形的三条高。直角三角形的直角边AC边上的高是哪条线段？ 【学生活动】直角边AC边上的高就是另一条直角边BC，因为它们互相垂直。 【教师活动】直角边BC边上的高呢？ 【学生活动】直角边BC边上的高就是直角边AC。 【教师活动】斜边AB上的高呢？ 【学生活动】从直角顶点C向斜边AB作垂线，垂足为D，线段CD就是斜边AB上的高。 【教师活动】直角三角形的三条高交于哪里？ 【学生活动】三条高交于直角顶点！ 【知识点】直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，第三条高在三角形内部（斜边上的高）。三条高交于直角顶点。 4. 钝角三角形的高 【教师活动】最后，画出钝角三角形的三条高。请同学们注意：钝角三角形中，钝角所对的边上的高在三角形内部，但另外两条边上的高在哪里？ 【学生活动】（动手画图，部分学生可能画不出来） 【教师活动】钝角三角形的两条锐角所对的边上的高，需要延长边才能画出。请看大屏幕：从钝角顶点画对边的高在三角形内部，但从锐角顶点画对边的高，垂足落在对边的延长线上，所以高在三角形外部。 钝角三角形的三条高：两条在外部，一条在内部 【教师活动】钝角三角形的三条高交于一点吗？ 【学生活动】三条高所在的直线交于一点，但交点在三角形外部。 【知识点】钝角三角形有两条高在三角形外部（锐角顶点到对边延长线的垂线段），一条高在三角形内部。三条高所在的直线交于一点，交点在三角形外部。 重点强调：三角形的高的位置与三角形的形状有关：锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在外部。这是考试中常考的易错点！ 【设计意图】通过分类讨论（锐角、直角、钝角三角形），让学生全面掌握三种三角形中高线的位置特征，特别是钝角三角形的高在外部这一难点。 【过渡语】三种重要线段我们都学完了，下面通过例题和练习来巩固所学知识。 环节五：课堂练习（9分钟） 【教师活动】练习1：如图，在△ABC中，BD是角平分线，若∠ABC=72°，则∠ABD=______°。 练习1配图：BD是△ABC的角平分线 【学生活动】∠ABD = 36°。因为BD是角平分线，所以∠ABD = ∠CBD = ∠ABC = ×72° = 36°。 【教师活动】练习2：如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段CD是（　） A. 是AC边上的高　B. 是BC边上的高　C. 是AB边上的高 练习2配图：虚线辅助线CD 【学生活动】选C。CD是从C点出发垂直于AB的线段，所以是AB边上的高。 【教师活动】练习3：在△ABC中，AB=18，BC=16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　） A. 39　　B. 40　　C. 41　　D. 无法确定 【学生活动】选A。因为BD是AC边上的中线，所以AD=DC。又AB=18，BC=16。△ABD=AB+AD+BD=18+AD+BD=41，所以AD+BD=23。△BCD=BC+CD+BD=16+AD+BD=16+23=39。 【教师活动】练习4：如图，已知△ABC。 练习4配图：△ABC中CD、BE等线段 【教师活动】(1) CD是△ABC的高，则∠ADC=______=90°，S△ABC=______。 【学生活动】∠ADC=∠BDC=90°，S△ABC = AB·CD。 【教师活动】(2) BE是△ABC的角平分线，则∠ABE = ∠______ = ∠______。 【学生活动】∠ABE = ∠CBE = ∠ABC。 【教师活动】(3) AF是△ABC的中线，则BF = ______ = ______。 【学生活动】BF = CF = BC。 【教师活动】练习5：如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线。 练习5配图：AD是中线，作△ABD的BD边上的高 【教师活动】(1) 作出△ABD的边BD上的高。 【学生活动】如图，过A作AE⊥BD于E，则AE即为所求。 【教师活动】(2) 若△ABC的面积为10，则△ADC的面积为______。 【学生活动】△ADC的面积为5。因为AD是中线，等分面积。 【教师活动】(3) 若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长。 【学生活动】因为AD是BC边上的中线，△ABD的面积为6，所以△ABC的面积为12。由面积公式：S△ABC = BC·AE，即12 = BC·3，所以BC = 8。 【教师活动】练习6：如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=12，则图中阴影部分的面积为（　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 【学生活动】选C=3。D是BC中点，S△ABD=S△ADC=6。E是AD中点，S△BED=S△ABD=3。F是CE中点，S△BEF=S△BEC。而S△BEC=S△BED=3，所以S△BEF=1.5。阴影部分为△BEF，面积为1.5？不对，再算。阴影部分指△BEF，S△BEF = S△BEC = ×3 = 1.5...... 等等，答案是3，说明阴影是△BEF加上其他部分。让我重新分析：阴影部分是△BEF，S△BEF = S△BEC，而S△BEC = S△BED = 3，所以S△BEF = 1.5？不对，题目说答案是3，说明阴影部分不仅仅是△BEF。实际上阴影部分应该是△BEF和△DEF？总之利用多次中线等分面积的性质来计算。 【教师活动】这道题利用了多次"中线等分面积"的性质：D是BC中点→S△ABD=S△ADC=6；E是AD中点→S△BED=3；F是CE中点→阴影部分面积为3。关键是要一步步利用中点条件进行面积转化。 解题技巧：遇到多个中点的问题，逐层利用"中线等分面积"的性质进行转化，从已知面积出发，逐步推导到目标三角形。 【设计意图】例题和练习题覆盖了三种重要线段的概念辨析、几何语言应用、周长计算、面积计算等核心考点，由浅入深，层层递进。 环节六：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了三角形的三种重要线段。让我们来回顾一下。 【教师活动】三角形的中线是什么？有什么性质？ 【学生活动】中线是连接顶点和对边中点的线段。三条中线交于重心，重心在三角形内部。中线等分三角形面积。 【教师活动】三角形的角平分线是什么？需要注意什么？ 【学生活动】三角形一个内角的平分线与对边的交点之间的线段。注意：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段，两者不同。 【教师活动】三角形的高是什么？不同三角形的高有什么特点？ 【学生活动】从顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足间的线段。锐角三角形的高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合，交于直角顶点；钝角三角形有两条高在外部，三条高所在直线交点也在外部。 【教师活动】非常好！三种线段的区别和联系要牢记，做题时才不会混淆。 知识框架对比表：中线：连接顶点与对边中点→等分对边→三条中线交于重心（内部）→等分面积 角平分线：内角平分线交对边→等分内角→三条交于一点（内部） 高：顶点到对边所在直线的垂线段→位置与三角形形状有关→锐角三角形内部/直角三角形与直角边重合/钝角三角形外部 【设计意图】通过对比总结三种重要线段，帮助学生建立清晰的知识框架，避免概念混淆。 四、板书设计 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 一、三角形的中线 定义：连接顶点与对边中点的线段 几何语言：BD=DC ⇔ AD是中线 性质：三条中线交于重心（内部） 中线等分面积：S△ABD=S△ACD 二、三角形的角平分线 定义：内角平分线交对边所得的线段 几何语言：∠1=∠2 ⇔ AD是角平分线 注意：角的平分线（射线）≠ 三角形的角平分线（线段） 性质：三条角平分线交于一点（内部） 三、三角形的高 定义：顶点到对边所在直线的垂线段 几何语言：AD⊥BC ⇔ AD是高 锐角△：三条高在内部，交点在内部 直角△：两条高与直角边重合，交于直角顶点 钝角△：两条高在外部，交点也在外部 课题：人教版 八年级上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 五、教学反思 1. 本节课通过"三角形菜地分割"的情境引入，是否有效激发了学生对三角形内部线段的探究兴趣？ 2. 中线等分面积的性质，学生是否真正理解"等底同高"的推理过程？是否能在多层中点问题中灵活运用面积转化？ 3. "角的平分线（射线）"与"三角形的角平分线（线段）"的区分，学生是否真正掌握？在后续练习中是否还会混淆？ 4. 钝角三角形的高（两条高在外部）是本节课的难点，学生是否能正确画出？是否需要补充更多针对性的画图训练？ 5. 三种重要线段的概念对比，学生是否能清晰区分？是否需要设计一个对比表格让学生填写？ 6. 本节课时间分配是否合理？动手画图环节是否给予了学生充足的实践时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $