河南南阳市2025-2026学年高一下学期期终质量评估数学试题

2026年春期高一期终质量评估 数学参考答案及评分细则 评分说明： 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制定相应的评分细则： 一、选择题： 二、选择题： 题号1 6 8 10 11 答案 A D BCD AD ACD 11. 【详解】对于A:由△ABC是锐角三角形知任意两角之和都大于 ,所以A+B> 即A>-B 2 而A, -B∈ 正弦函数在 0, 单调递增，所以sinA>sin 2 -B=cosB.同理：sinB>cosC, 2 sinC>cosA,三式相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.故A正确： 对于B:若A或B是直角，则sinA≠cosB.故B错误； 对于C:在△ABC中，对于C。=上=3b,由正弦定理得： cosB sinC cosA 2a 2sinA sinC 3sin B 所以cosB=2sinA>0,cosA=3sinB>0,所以角A、B均为锐角： cosC=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-6sin Asin B+sin Asin B=-5sin Asin B<0, 所以角C为钝角.故C正确： 对于D:由A=2C,sinB=2sinC得sin(A+C)=sin(2C+C）=sin2 Ccos C+cos2 Csin C=2simC,化 简得：2 sinCcos2C+cos2 CsinC=2sinC.因为C∈(0，)，所以sinC≠0，所以2cos2C+cos2C=2, 即asC-子又4=2C,所以+c,印2C1C<:用Ceg所以enC=5,则cg 3 420B由a2得：c行，b4 3· 在M△C中，设西圆半径为r,则a+c-b2+BNB=13-VB,面 2 2 53 Shonc-ra=r=3-v3 3 ,故D正确 三、填空题12、500 13、V6元 14、v10 14.【详解】（方法一）由2+cos2A+cos2B=2sin2C得 2+2cos2 A-1+2cos2 B-1=2cos24+2cos2 B=2sin2 C,cos4+cos2 B=sin2C=sin2(+B) 1 又sin(A+B)=sin2Acos2B+cos2 Asin2B+2 sin Acos Bcos Asin B,所以 cos2A+cos2B=sin2Acos2B+cos2 Asin2B+2 sin Acos Bcos Asin B,移向合并得： 2cos2 Acos2 B-2sin Acos Bcos Asin B=2 cos Bcos A(cos Bcos A-sin Asin B)= 2cos B cos Acos(4+B)=-2cos Acos BcosC=0,E cosAcos BcosC=0, AB.AC>0,则cosA>0,所以cos BcosC=0, ①当coSB=0时B=T,cosA=sinC所以 cosA+2cosB+3cosC=cosA+3cosC=sinC+3cosC=0sin(C+p),其中tanp=3,所以当C+p=7时， coSA+2c0sB+3cosC取得最大值为10 ②当coC=0时C=行：csA=mB所以 cosA+2cosB+3cosC=cosA+2 cos Bsin B+2cosB=V5sin(B+ay)其中tana=2,所以当B+a=号时， coSA+2cosB+3cosC取得最大值为√5 由①②知c0SA+2c0sB+3c0sC的最大值为V10. (方法二)由2+cos2A+cos2B=2sinC得：cos2A+cos2B+cos2C=-1, 所以2cos2A-1+2cos(B+C)cos(B-C)=-1,即2cos2A-2 cos Acos(B-C)=0. 因为A为锐角，则cosA>0,所以cosA=cos(B-C). 因为A,B,C为三角形的内角，所以A=B-C或A=C-B. 由A+B+C=元，所以B=或C= 2 以下略 四、解答题 1.解由号5=sa1m0,物：5+-后c小行+如0.-分 +c0s0=0 2 因为5+52为纯虚数，所以 )+sin0≠0，解得：2=2T 3 …6分 θ∈[0，π] (2)(方法一)由= 生.与=cw0+im0,得：的-传w9-n0-传caw8-号m0小.-8分 所以2 …13分 2 (方法二) …13分 2 …8分 2( 4 因为2=cosB+isin0,所以 2122= …12分 2 所以2上 2 …13分 16.解：(1)证明：（方法一）连接AC交AC1于E,连接DB. …1分 因为三棱柱ABC-ABC1为正三棱柱，所以A4CC为矩形，所以E为AC的中点. 因为点D为BC的中点，所以DE/IAB, …4分 因为DEC平面ACD,ABC平面ACD,所以AB/I平面ACD. …6分 A, B B E D (方法二)取BC1的中点F,连接AF,BF,可以证明平面AFB/1平面AC1D,即可得到AB11平面AC1D. (2)(方法一)设点B到平面ACD距离为h.连接BC· …7分 在正三棱柱ABC-AB,C1中，由AB=2,A4=3,点D为BC的中点， 则Sn方0cG=BCAM=2 …9分 因为AD⊥BC,AD⊥CC,BCnCC=C,所以AD⊥平面BCC,B,则 …11分 22 因为AD=V3,CD=√CD2+CC=VP+32=10, …13分 2 6 又因为AcD=Ac,所以B0h=5,解得：h=30 6 2 10 所以点B到平面4CD的距离为30 …15分 10 (方法二)因为点D为BC的中点，所以点B到平面ACD距离等于点C到平面ACD距离.…7分 A 由正三棱柱ABC-ABC1中，点D为BC的中点，则AD⊥BC,AD⊥CC,由 BCOCG=C,可得：AD⊥平面BCC,B,所以平面AC,D⊥平面BCC,B. 过C作CF⊥CD于F,则CF⊥平面AC,D,所以CF即为C到平面ACD距离 …10分 在Rt△CCD中，由CD=1,CC=3,则CD=√CD+CC=P+3=10. 又因为CF.CD=CD.CC,所以CF-3C,所以点B到平面4CD的距离为3 …15分 10 10 17.解：(1)由m= 2+ n=(a,1),且m/m得：c=2 asin B+T 6 …1分 由E弦定理得：血C=2m4snB+看 …3分 因为A+B+C=元，所以sinC=sin(A+B),所以sin(A+B)=2 sin Asin B+ π 6 整理化简得：cos Asin B=√3 sin Asin B. …6分 因为B∈(Q,,所以s如B≠0，所以cosA-V5smA,所以tmA- 3 …7分 因为A∈(0，m),所以A= 6 …8分 (2)因为△ABC的面积为V3,所以5aAc=)besin A=bc=V5,所以bc=4W5.…10分 2 4 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A得：22=b2+c2-√5bc,所以b2+c2=16,…12分 4 所以b+c=VB+c2+2bc=V16+85=2+25=2+25.…14分 所以△ABC的周长为a+b+c=4+25.15分 (没有化成最简结果，答案是2+√16+8√3的扣1分) 18、解：(1)由图知- π ,得：0=1，即f)=c0s(x+0.…1分 因为0<p<π，所以k=0,p= …3分 6 所以f)=co+6 …4分 2仿法-)由)知f-ca+】 -引m-引 …5分 后列后眉到 …6分 图为m+君)子+到m到】 所以-f到fξ2a …7分 所以g(x)在[0，上的值域为[-2，] …10分 （6,则 （方法=)由(1)知f)=cox+ cosx …5分 2 sinx …6分 g+-V5sin.x-coo.x--2c0x-3 …7分 因为0≤x≤π， 所以g(x)在[0，π上的值域为[-2,1] …10分 附：化简后得到g(x)=-2sinx+ 求解正确也给分， 6 coSx, …11分 则(9=c0s3xr+cos2x,由和差化积得：M)=2c035c0 …12分 2 2 令h)=0即2cosc 8cos0,则c087=0或co,=0. …13分 2 当co 5X=0时， 及a,长，即r贺，ez 因为-元<t<0,所以-<交+2证<0，化简得：6<2k<-1,k∈Z, 55 期&=2.=经孩=-1，x-君 …15分 5 当c0s=0时，S=T+m,k∈Z,即x=元+2m,k∈Z,因为-元<x<0,所以-<元+2<0， 22 化简得：-2<2k<-1,k∈Z,此时k不存在，即c0s=0无解. …16分 故h(y)在(-元，0)上的零点之和为- 3π， 4π …17分 19.解：(1)在四棱锥E-ABCD中，侧棱长均为2，AB/1CD,AB=1, AD=BC=CD=2.所以△ADE,△CDE,△BCE均为边长为2的等边三角形. (方法一)分别取CE,DE的中点F,G,连接AG,BF,FG,则 AG⊥DE,BF⊥CE. …2分 因为AB号DC,GDC,所以ABG,所以四边形ABG为平行四边形，所以AG/BF: 因为AG⊥DE,所以BF⊥DE. …3分 又因为DE∩CE=E,CEc平面CDE,DEC平面CDE,所以BF⊥平面CDE.·4分 因为BFC平面BCE,所以平面CDE⊥平面BCE. …5分 6 (方法二)取CE的中点F,连接BF,DF,BD. 因为△CDE,△BCE为边长为2的等边三角形，所以BF⊥CE,DF⊥CE,且 BP=DP=2x55,所以∠BFD为二面角B-CE-D的平面角. …2分 2 在等腰梯形ABCD中，过A,B分别作AM,BN垂直CD于M,N,因为AB=1,AD=BC=CD=2, 所以CN=DM=,所以cosC=、I BC 4 E△BCD中，由余弦定理得：BD°=BC+CD-2 BCxCDxcosC,即BD°=2+2-2×2x2X6. 所以BD=√6 在△BDF中，BF=DF=V3,BD=√6，所以BF2+DF2=BD,所以∠BFD=90°，…4分 所以二面角B-CE-D为直二面角，所以平面CDE⊥平面BCE.…5分 E M N D (方法三)也可以延长CB,DA交于H,连接EH,由BC=BH=BE证明出 EH⊥CE,同理可得EH⊥DE,即可证明EH⊥平面CDE,由EHC平面BCE,即可证明平面CDE⊥平 面BCE. (2)分别取CD,AB的中点I,J,连接EI,IJ,EJ. 因为△CDE为等边三角形，四边形ABCD为等腰梯形， 所以EI⊥CD,W⊥CD,所以∠EIJ为二面角A-CD-E的平面角.…7分 因为△CDE的边长为2，所以EI=√3， 答腰梯形ABCD中，因为AB=1,4D=BC=CD=2,所以W=2-2 在△=1加=朗-2，所以--周西 在△BW中，BI=5,J=B=5,设∠BW=0,由余弦定理得： > cos0= EI2+12-EJ +〉 2 2 5 2×EI×J 2x3xv15 所以二面角4-CD-B的平面角的余弦值为5 …10分 d (3)记直线BP与平面ADE所成角为，设点B到平面ADE的距离为d,则sina= BP 要使直线BP与平面ADE所成角最大，则只需要sina最大，即BP最小， 由(I)方法1知：AG/IBF,BF⊥平面CDE,则AG⊥平面CDE.过F作FK⊥DE 于K, G 因为FKC平面CDE,所以AG⊥FK.因为AGDE=G,所以FK⊥平面ADE. 又因为AG/BF,AGC平面ADE,BF丈平面ADE,所以BF//平面ADE, 所以点B到平面ADE距离等于点F到平面ADE距离，即为FK, 在等边△CDE中，F为CE中点，CE=2,所以d==EF.sin∠CDE=l×sin60°= …13分 2 由BF⊥平面CDE,DEC平面CDE,则BF⊥DE,因为FK⊥DE,FKBE=F, 所以DE⊥平面BFK,因为BKC平面BFK,所以BK⊥DE,所以BP取最小值时，点P与K重合. 连接CG,在等边△CDE中，G为DE中点，则CG⊥DE,因为FK⊥DE,F为CE中点， 所以K是EG的中点，即K是DE靠近点E的四等分点， 所以当点P在线段DE靠近点E的四等分点处时，直线BP与平面ADB所成角最大.I5分 在等边△CDB,等边△BCE中，F为CE中点，CE=2, 则BF=BCsm∠BC7-2xsim60=V5,KT-EF.sin∠CDZ=1xn60-5 3 则在Rt△BFK中，BK=VBF2+FK + FK 2 所以sina= 25 2 综上所述：当点P在线段DE靠近点E的四等分点处时，直线BP与平面ADE所成角最大， 其正弦值为 √5 …17分 5 附：用等体积法求出d-5也给分. 22026年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效， 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 4,请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效， 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损， 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 救 1.cos210°的值为 2 D 2 爱 1 2.在复平面内，复数x=一1-对应的点位于 : A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（北师大版必修2P217T2)若一个水平放置的等边三角形的边长为2，则其斜二测直观图 的面积为 A.3 B. 2 C. D.6 4,在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角C= 3,a=4,c= 2,则6= 3 A B.2 c号 D.3 5.已知l,m,n为三条不同的直线，a,3为两个不同平面，则下列说法正确的是 A.若m∥n,nca,则m∥a B.若m⊥n,m⊥a,n∥B,则a⊥B C.若l⊥m,l⊥n,且lCa,mCβ，nCB则a⊥3 D.若m⊥a,n⊥B,且l∥m,l∥n,则a∥p 6.已知点（需，0）同时是函数y=awr与y=cox的对称中心，则u的最小正整数值为 A.5 B.4 C.3 D.2 高一数学第1页（共4页) 7.如图，在△ABC中，A市=号A花，F为线段BC上的-点，AF门BD=E,若E为AF的中 点则器 A号 B. 5 D 8.已知sin(a十23)+2sina=0,且tan(a十)=1，则tan3的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则 A.a=bl B.a与b夹角为妥 C.(2a-b)⊥b D.b在a上的投影向量为a 10.(北师大版必修2P249T8)如图所示的圆锥PO中，PO=√3，⊙O的直径AB=2,点C 在AB上，且∠CAB=30°，点D为AC中点，则 A.AC⊥平面POD B.圆锥的侧面积为π C.异面直线OD与PC的夹角为60° D.PD与平面ABC夹角的正弦值为2y 13 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若△ABC是锐角三角形，则sinA十sinB+sinC>cosA十cosB十cosC B.若△ABC是直角三角形，则sinA=cosB C若22-C=g,则△ABC是纯角三角形 D.当a=2,sinB=2sinC,A=2C时，若0为△ABC的内心，则△B0C的面积为3-3 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(北师大版必修2P129T5)一个物体在大小为50N的力F的作用下产生大小为20m的 位移s,且力F与s的夹角为60°，则力F所做的功W= J. 高一数学第2页（共4页） 13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2， √3，则此球的体积为 14.在△ABC中，角A为锐角，若2+cos2A十cos2B=2sinC,则cosA+2cosB+3cosC的最 大值为 四、解答题：本大题共5小题，共计77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知复数=1生，=c0s0叶isin9.0e[o, (1)若名1十2为纯虚数，求0的值； (2)求|z1z2. 16.(15分) (北师大版必修2P237T4)已知正三棱柱ABC一A1B1C1,AB=2,AA1=3,D为BC的 中点. (1)求证：A1B∥平面AC1D; (2)求点B到平面AC1D的距离， 17.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,向量m=(c,2sin(B+若)，n=(a,1), 且m∥n. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√3，求△ABC的周长， 高一数学第3页（共4页) ※※※※※ 18.(17分) ※兴※※※ ※※※兴※ 已知f(x)=cos(wx十p)(w>0,0<p<π)的部分图像如图所示. ※※X※※ ※必兴※必 (1)求f(x)解析式； ※※※兴※ ※※※※※ (2)若g(x)=f(x+)-f(答-x),求g(x)在[0，]上的值域； ※※※※※ 必※※※※ ※※※兴※ (3)若把f(x)图像向右平移个单位后得到函数p(x)的图像，设h(x)=p(3x)十p(2x),求 米※※※※ ※※※※※ ※※必※※ h(x)在（一π，0）上的零点之和. ※※兴兴※ ※※※※※ ※※※※※ ※必※※必 肉※※※※※ ※必※兴※ ※※必※※ ※※※※※ ※※※※※ :※※※※※ :※※※※※ :※※※※※ ※兴※兴※ ※兴※※※ ※必※※※ 必※※※※ ※※※※※ 19.(17分) 必※※※※ 必※※※※ 在四棱锥E-ABCD中，侧棱长均为2，AB∥CD,AB=1,AD=BC=CD=2. 些※※※※※ 必※※※※ (1)求证：平面CDE⊥平面BCE; ※※X※※ ※※必※※ (2)求二面角A一CD一E的平面角的余弦值； 兴※※※兴 ※※※※※ (3)若点P是线段DE上的动点，问：点P在何处时，直线BP与平面ADE所成角最大？ 兴兴必※※ :※※※※※ 并求出最大角的正弦值。 ※※必※※ ※※※※※ E ※※X※※ ※※※※※ ※※※兴※ ※※※※※ :※※※※※ 席※※※※※ ※※※※※ ※兴※※※ ※※※必※ ※※※※必 ※※※兴※ ※※※※※ ：※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※米※ ※兴※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ 高一数学第4页（共4页） ※※※※※ ※※※必※