河南南阳市2025-2026学年高二下学期期终质量评估数学试题

2026年春期高中二年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 4,请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 恕 符合题目要求的、 1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,6,7},则A∩(CuB) A.{2,6} B.(2,4) C.{4,6} D.{3,4} 已知条件p:士<1,9：>1，则g是p的 2. 杯 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设a,b是正数，且a°=b,b=3a,则a= 洲 A.√2 B.2 C.5 D.3 4（必修一P41改编)已知关于x的一元二次不等式ax十bx+1>0的解集为(-弓，子。 则a十b= A.-13 B.13 C.-11 D.11 5.（选择性必修二P19改编)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3十a1s=40,则S,= A.310 B.320 C.330 D.340 6.(选择性必修二P82改编)函数f(x)=x3-2x2+5,x∈[-2,2]的值域为 A[-1,9 B.[-11,5] C.,5] D.[-11,4] 7.(必修一P31改编)某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为4800m3,深为3m, 如果该池底的造价为200元/m2,池壁的造价为100元/m2,则该储水池的最低总造价为 A.36.4万元 B.36.6万元 C.36.8万元 D.37万元 高二数学第1页（共4页） 8.过点(0，m)与曲线y=1-二相切的直线恰有3条，则实数m的取值范围为 A1-4,1) B[1-,1)、c.1-,) D.[1-2,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的有 A.若2x-1=15,则x=16 B.若a十a1=3,则a克-a量=1 C.loga9Xlog,32-5 D.1g25+lg2lg50+(1g2)2=2 10.如图，直线y=kx(k∈R)与函数f(x)=log8x的图象交于A(x1,f(x1),B(x2,f(x2) (x1<x2)两点，分别过A,B作y轴的平行线与函数g(x)=log2x的图象交于C,D两 点，则 )y4 1 A.实数k的取值范围为(0,3en2） D y=logx B.O,C,D三点必在同一条直线上 y=logx C.若BC∥x轴，则x2=3x1 D.若BC∥x轴，则x1=√3 1.已知函数f(r)=a心+x一1，其中aR,则下列说法正确的有 A.若a≥0，则f(x)在(2，十∞)上单调递减 B,若一<a<0,则f()在(-©，2)上单调递减 C若a=一日，则fx)在R上单调递增 D.若a<-,则fx)在(2，十∞)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(选择性必修二P76改编)曲线y=1+ln(3x一2)在x=1处的切线方程为 13.等比数列{an}满足a1=2,a2十a3=12,则a5= 14.已知函数f(x)=e-x一2，若Vx∈(0，十∞)，(x一λ)f(x)十x十1>0，则整数λ的最 大值为 高二数学第2页（共4页） ※※※※※ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.（本小题满分17分) ※※ ※※兴 ※※※※※ 15.(本小题满分13分) 数列{a,}的前n项和为S,且a=8,S.=2(n-1 ※ 2an+2. (1)设m∈R,函数f(x)=x2-5x+m的两个不同零点都在区间(0，+∞)内，求实数m ※※※※※ (1)求a1,a3} ※※※※※ 的取值范围； ※※ ※※ (2)证明：数列号}是等比数列，并求a: ※※※※※ (2)正数x,y满足x+4y=1,求+的最小值。 (3)设6，=1og2a中，数列{6，}的前n项和为T.,求使T,≤2026成立的最大正整数n %%%%X an ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ 16.(本小题满分15分) ※※※※※ %% 已知函数f(x)=ax-2+1nx在x=1和x=号处取得极值。 ※※※※※ ※※※※※ (1)求实数a,b的值； 19.(本小题满分17分) (2)若3x∈[片，2]，使不等式f(x)≤c成立，求实数c的取值范围。 已知函数f(x)=a(x-上)-1nx,a≥0. x ※※※ %%%% (1)当a>2时，试证明：函数f(x)存在唯一零点，并求出该零点； XXXXX ※※※ (2)当a=1时，设an=f(n2),n∈N,且数列{an}的前n项和为S.， ※※※※※ ※※ % ※※※※※ 求证：①a,≥1- ※※※※※ 17.（本小题满分15分) ②nSn≥(n-1)2 (选择性必修二P46改编)等差数列{an}的公差为d(d∈Z),前n项和为Sm,等比数列 ※※※※※ ※※※※※ {bn}的公比为g.已知a1=b1,b2=2,q=d.S1o=100, ※※※※※ (1)求数列{an}和{bn}的通项公式， ※※兴 ※※※※※ ※※※ ※※ (2)若数列c.满足c-会，求数列c,的前n项和T… ※※※※※ ※※※※※ ※※ ※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ %%%% ※※※※※ %X 高二数学第3页（共4页) 高二数学第4页（共4页） ※※※※※2026年春期高中二年级期终质量评估 数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 5 6 8 答案 A C A D B A 1.解析： C,B=2,4,5放An(C,B)={2,4.故选B, 2.解析：p化为x>1或x<0,故9是p的充分不必要条件，故选A. 3.解析：由题知a3a=3)2,∴.a2a=3,.a2=3,a=√3，故选C. 11b ④解析：由思知，了1是+bx+1=0的两个根，放 3a且a<0 34a a=-12 “b=-1’故a+b=-13,故选A 5.解折：S,=17a+a2-17a+4)-17×20=340枚选D 2 2 6解折：f'(四=3x-4r=3(x-专 由f()>0得f(x)在[-2,0)和(4,2]单调递增， 由f()<0得f)在(0,4)单调递减， 又-=-1l/-0=5Q=5051做a 7.解析：设池底宽为xm,则池底长为1600。 故总造价f)=(K+1600)x6×100+1600×200 ≥2W1600×6×100+1600×200=368000(元) 当且仅当x=1600 即x=40时等号成立. 故该储水池的最低造价为368000元即36.8万元，故选C 8解折：设切点为山习y,放’e之-m e。一整理得m=1一 -1- 股g)1由题知=m与=9有三个不同交息 g)=）,由g)>0,得)在(-w,0和(2，+n)单调递增 ex 由（田<0，得g⊙在(0,2）单调递减，又g(0)=Lg(2)=1-号 4 故m∈1-号，)， 故选A. e 二、选择题 题号 9 10 11 答案 AD ABCD ACD 9.解析：对于A,x4=8,x4=2,x=16. 故A正确： 对于B,(a2-a=-2-a=1..a-a=1. 故B错误； f于chs,9loe32=le,3×o8:2-8,3x5a2 3 故C错误； 对于D,1g25+1g21g50+lg2 =21g5+lg2(1+lg5)+lg22 21g 5+lg 2+1g 21g 5+1g 2 21g 5+1g 2+1g 2(1g 5+1g 2) =21g5+2lg2 =2 故D正确； 综上，答案为AD. 10.解析：对于A,设直线y=与函数f(x)=1oggx的图象相切于点(x,1og8x), f"()= 1.1og8x= xo1n8 X ,n8 ..logs xo1n8=1 .lnxo=1.∴x=e ·切线斜率k=f(@)= 1 eln8 3eln2 .0<k< 3eln2 故A正确； -2- 对于B,设C(x1,1og2x),D(x,1og2x2), :0,4,B共线ko4=kof)-f),即l0g8当_1g85 X :1g五_1og五，kc=koDO,C,D共线，故B正确： x 对于C、D,.BC‖x轴 ..f(x2)=g(x),logx=l0gx10gx=3l0g2=l0g2x x3=x1 又由B可知，log,=1ogx_31og2x X 3 3=3. x=(V3)=33=3x 故C、D均正确 综上，答案为ABCD. 1.解析：f0N=二r+(2a-0x+2--(x-2)(am+1) ex 对于A,若a=0,则由f"(x)>0得x<2,由f"(x)<0得x>2,则f(x)在(-w,2)上单调 递增，在(2，+0)上单调递减， 若a>0,则由f()>0得-<x<2,由f(3<0得x<-1或x>2, a 则f在()上单调遥烟，在(-”，之21四上卓词流减， 故A正确： a 对于B,若- a<0,则由f)>0作x<2减>-则f9在(m.2)上单调道地. 1 a 故B错误； 对于C,若a=- ,则由f'(x)≥0对Vx∈R恒成立，则f(x)在R上单调递增，故C正确： 2 对于D,若a<- 则由f)0海x<-或>2则/)在2+)上单词道格， 1 a 故D正确； 综上，答案为ACD. -3- 三、填空题 12.y=3x-2(说明：填3x-y-2=0也得分，其它形式均不给分)13.32或16214.2 3 12解析：设f=1+h(3x-2),则f()=3x2f0=3,又f0=l 故所求切线方程为y-1=3(x-),即y=3x-2 故答案为y=3x-2(说明：填3x-y-2=0也得分，其它形式均不给分) 13.解析：设公比为q,则a4q+4q=12,又4=2∴.q+q-6=0,.q=2或-3 故4，=49=32或162，故答案为32或162. 14解析（一：f(=e-1∴re(0,+o0),(c-(e-)+x+1>0,即 <x++ e*-1 令g0-+则的C-”2 (e"-1)2 又由于f'(x)=e-1>0,∴.f(x)在(0，+o)单调递增. f①)=e'-1-2=e-3<0 f(2)=e2-2-2=e2-4>0, .3x∈(1,2)，使得f(x)=eo-x-2=0,即e=x+2. 由g(x)=0,得x=x 当0<x<x时，g(x)<0, 当x>x时，g'(x)>0, 故函数g(x)在(0，x)上单调递减，在(x+o)上单调递增， [g(=g(x)=+。+ =x十 +1 e6-1 (x+2)-13 .元<[g(]mn=x+l, 又2<x+1<3.元≤2 即整数2的最大值为2.故答案为2. 解析（二）：f'(x)=e-1, -4- 故x∈(0，+o),(x-2)(e-1)+x+1>0,即(x-2)ex+元+1>0 令g(x)=(x-2)e+2+1,x∈(0，+o),则g'(x)=(x+1-)e ①当2≤1时，g'(x)>0恒成立，g(x)在(0，+o)上单调递增 又g(0)=1>0,符合题意 ②当2>1时，由g(x)>0得x>-1,由g(x)<0得0<x<元-1 .g(x)在(0，九-1D上单调递减，在(2-1，+0)上单调递增 故g(w)mm=g(-1)=-e21+元+1>0 设G(2)=-e21+元+1,1>1，G'(2)=-e2-1+1<0恒成立 .G(2)在(1，+w)单调递减，又G(2)=-e+3>0,G(3)=-e2+4<0 .元∈Z,故元∈(1,2] 综上，入∈(0,2]，故ax=2 四、解答题 15.解析：(1)由题知m=-x2+5x在区间(0，+o)内有两个不等实根. 令0=-r+5=6c-+5, 4 则g①)在(0，)单调递增，在(，+0)单调递减， 又g0-心g号-空，放实数m们取值世为0草。 4 6分 (2).x>0,y>0,且x+4y=1 }--51￥2512 4y.=9, x V x V 10分 1 4y_x x= 当且仅当 xy,即 3 时，取“=“号. ..12分 x+4y=1y= 6 ,1,1 ∴.二+二的最小值是9. x y .13分 -5- b.1 16.解：(1)函数f(的定义域为(0，十0)，f'(x)=a+ x+ …2分 :(d)在1，处取得极值， ∴f'①)-0，f(份)-0， 4分 a=- 2 日+的+20 解得 b=-3 .6分 (2)若3x∈ 使得不等式f()≤c成立，则只需c≥[f(x]mn f()= 2 1,12x2-3x+1(2x-10(x-1) 33+元 .8分 3x2 3x2 当》时，因0，商酸单消说 当合1]年.690.数：山*福路 当x∈(1,2)时，()<0，函数f单调递减， .11分 ·(在2处取得极小值， 即r月导吃专m,又a=名n2 6 .13分 ∴[f)]m=f(2). .14分 c2[f1-2+n2 6 7 .实数c的取值范围是[-二+l1n2,+o) 6 15分 10a+45d=100 bg=2 2a+9d=20 a=1 17.解：（1)由题意有， b=a ,即 lad=2 解得}d=2 4分 g=d {9=2 故a.=2n-1,bn=2w1. 6分 (2)由(1)可知：a.=2n-1,b,=2-1,故cm= 2n-1 2- 8分 1是x12 21，① 9分 -6- -@ 1.35.79 2” 11分 @@可得=2+片1 222++ 1-2-1-3-2+3 2- 2n 2 13分 故7=6-21+3 2-1 15分 18.解：(1)当n=1时，得4=2： …1分 4 当n=3时，S,=34+2因为4，=8， 4 所以2+8+a30+2,4=24 …2分 (2)当n23时，Sm1 20m-2）a1+2 .4分 n-1 2n-1)。20n-2 -a n-1 2a1,整理得n-2a=20m-2 -a= n-1 -C-1 7分 n≥3，n-2≠0，故=201， n n-1 8分 又4=24 9分 21 数列4)是以4=2为首项，以2为公比的等比数列 .4=2,a=n2". 10分 n 3)由(2)可知，么，=1og,+少：2 n+1 n.2n =1+1og2 .11分 n :7,=0+log:2)+01og2+0+kg:9+++1g:” 4 34 n+1、 =n+log3(2×。×。×.-× 23 n 14分 =n+l0g2(n+1) 因为数列{T,}为递增数列， 且T015=2015+1og22016∈(2025,2026)， T016=2016+1og22017∈(2026,2027) 16分 使Tn≤2026成立的最大正整数n=2015. .17分 19解：(1)因为)=(ax,a≥0， 1分 -7- 所以正数0的定义该为@+o小，f)=a1+)是 令t=1t>0),则g0=am2-t+a. 1 因为a≥2，所以A=(-1-4=1-4r≤0恒成立， 所以8(t)≥0恒成立，即f"(x)≥0恒成立， 所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. 4分 因为0=a-}-1-0, 所以函数f(x)存在唯一零点，且零点为1. 6分 (2)证明：①先证明x-nx≥1. 令=x-nx-10x>0,则n0W=1-1-->0, 所以当x∈(0,1)时，h(x)<0,当x∈1，+o)时，h()>0, 所以函数(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以h(x)n=hI)=0,所以h(x)≥h①)=0，即x-hx≥1. 9分 当a=1时网=x名如. 因为-nx1,所以-所以)1是 Xad所以a17 .11分 ②当n≥2时，由放缩法得n2>n(n-1), 所以是 1 13分 1 由(i)知4≥1- .14分 所以当2时，及=4+++a>4-小[作引合引-（片月别 =a-n(-月-心-1.血 n 即S>0n-1)2. 16分 又当n=1时，S=0=1-1)2=0,满足Sn≥(n-1)2, 所以n≥0-成立 17分 -8-