3.1.2 第2课时 分段函数-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

058 》跟踪训练3 (1)已知函数f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的 解析式； 2)已知f-）=+,求f(x (3)已知2f()+3f）=3x(x0),求f(). 随堂检测重反馈 1.下表给出函数y=f(x),则f[f(1)]等于 x 1 2 5 4 5 y 4 5 3 2 A.1 B.2 C.4 D.5 2.如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A,B,C的坐标分别是(0,4)，（2,0)， ↑A 1--F7C (6,4),则f[f(2)]= 1-米1 A.0 B.2 0123456x C.4 D.6 3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)= 4.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数 关系为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] 第2课时 分段函数 教材梳理 明要点 巴情境导入 国家电网是按不同的时间段来定电价的；居民用水是按用水量的多 少阶梯收费的.电价与时间的关系，水价与用水量的关系是函数关系吗？ [提示] 如何表示呢？ [提示] 是函数关系，可用分 白新知初探 段函数来表示. 知识点分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函 数为分段两数像y,=00这样的丽旋就是分段西威 分段函数是一个函数，而不是几个函数；定义域、值域分别是各段函数的定 义域、值域的并集：各段函数的定义域的交集是空集. .059 ©预习自测 1.(多选)下列给出的式子是分段函数的是 |x2+1,1≤x≤5， A.f(x)= B.f(x)= x+1,x≥4， 2x,x<1 1x2,x≤4 2x+3,1≤x≤5， x2+3,x<0, C.f(x)= x2,x≤1 D.f(x)= x-1,x≥5 2.已知f(x)= x+4(x<0),则ff(-3)]的值为 x-4(x>0), 题型探究提技能 题型一 分段函数的求值问题 x+2(x≤-1)， [方法总结1] 例1 已知函数f(x)=x2(-1<x<2), 求分段函数函数值的 2x(x≥2). 方法 (1)求f(-4),f(3),f[f(-2)]; 1.先确定要求值的自 (2)若f(a)=10,求a的值 >[方法总结1] 变量属于哪一段区间； 2.然后代入该段的解 析式求值，直到求出 值为止.当出现 f时x]的形式时，应 从内到外依次求值. 》跟踪训练1 x+1,x≤-2， 已知函数f(x)=3x+5,-2<x<2, 2x-1,x≥2， ()求f(-5)1)f-): (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 060 题型二 分段函数的图象及应用 [方法总结2] 2.已知函数f(x)=1+)-(-2<x≤2). 2 根据绝对值的意.义去掉 → 绝对值符号，即可将函 分段函数图象的画法 (1)用分段函数的形式表示函数f(x); 数转化为分段函数 1.整段作图分段取：先 (2)画出函数f(x)的图象； 不考虑定义域的限制， (3)写出函数f(x)的值域. ●[方法总结2] 用虚线分别作出各段 图象，再用实线保留定 义域内的图象； 2端点实虚要明确：一 定要明确区间端点是 否包含在内，作图时要 特别注意接点处点的 虚实，保证不重不漏 )跟踪训练2 -2x+1(x<1), 已知函数f(x)=x-2x(x≥1). (1)画出函数的图象； (2)若f(x)=1,求x的值， 题型三分段函数的应用问题 3.某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用 ↑/元 [方法总结3] 电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民89 利用分段函数求解实 每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图65 际应用题的策略 1.首要条件：把文字 象是一条折线（如图所示)，根据图象解下列 100130x/度 问题： 语言转换为数学语言； (1)求y关于x的函数关系式； 2.解题关键：建立恰 (2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准： 当的分段函数模型； (3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费 3.思想方法：解题过 程中运用分类讨论的 105元，则该用户该月用了多少度电？ >[方法总结3] 思想方法， ●061 》跟踪训练3 近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华 为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G, 然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下纪录，海外增长 同样强劲.今年，我国的华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年 利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固 定成本250万元，每生产x(千部)手机，需另投人成本R(x)万元，且R(x) 10x2+100x,0<x<30, 601x+1000-7250,*≥30，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且 全年内生产的手机当年能全部销售完， (1)求出2023年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式； (利润=销售额-成本) (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 随堂检测 重反馈 1.函数f(x)=|x-1I的图象是 y -101 A 2.已知f(x)={ x+1(x≤1)， -x+3(x>1), 那么f/2】的值是 .2 c D. 2x(0≤x≤1)， 3.函数f(x)=2(1<x<2),的值域是 3(x≥2) A.R B.[0,+∞) C.[0,3] D.[0,2]U{3} 4.某人根据经验绘制了2023年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y （千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月31日大约卖出了 千克 西红柿.（结果保留整数) 1/千克 30 10 夯基提能作业 01101118x/天 请同学们认真完成练案[19]2)f(x-）=+是=(x-)+2, (2)函数f(x)的图象如右图所示 (3)由(2)知，f(x)在(-2,2]上的值 3 令1=-f0=f+2=+2 域为[1,3). 跟踪训练2：(1)函数图象如右图所示 (3)2r✉)+3f()=x ① (2)由f(x)=1和函数图象综合判断 可知， 用代誉x得2(）+()= 3 ② 当xe(-0,1)时，得f(x)=-2x+1 =1,解得x=0； ②×3-①×2有5f(x)=9 -6x 当x∈[1，+o)时，得f(x)=x2- )=是-g(40. 2x=1, 解得x=1+√2或x=1-√2（舍去）. 随堂检测重反馈 综上可知x的值为0或1+√2. 1.B由题意可知f(1)=4f(4)=2,∴f[f1)]=f(4)=2.故例：(1)当0≤x≤100时，设函数关系 选B. 式为y=kx 2.C由图象可得f[f(2)]=f(0)=4. 将x=100,y=65代人，得k=0.65,所以y=0.65x. 3.3x-1方法一（换元法）：令x+1=t,∴.x=t-1,∴.f(t)=3(t 当x>l00时，设函数关系式为y=ax+b. -1)+2=3t-1,.f(x)=3x-1. 将x=100,y=65和x=130,y=89代入， 方法二（配凑法）：f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,f(x)= 3x-1. 得6：0解件C。所以y=-a-5 1130a+b=89. 4y=50(>0)由梯形的面积公式有100=x+3·,得y 2 -2>0 综上可得7=侣50 (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超 过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每 第2课时分段函数 度电0.80元. 教材梳理明要点 (3)当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)； 预习自测 当y=105时，因为0.65×100=65<105，故x>100,所以105 1.AD结合分段函数的定义可知A、D是分段函数，B、C中不 =0.8x-15,x=150. 同对应关系的定义域有重叠部分，故选AD 即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交 2-3-t480-=1-】=0 费105元，则该用户该月用了150度电. 跟踪训练3：(1)由题意可知，销售x(千部)手机获得的销售额 =-3. 为0.6×1000x=600x(万元)， 题型探究提技能 当0<x<30时，W(x)=600x-250-10x2-100x=-10x2+500x 例1：(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=2×3=6,f(-2)=-2 -250, +2=0, f[f(-2)]=f(0)=02=0. 当≥30时，()=6-230-601-1000+720=-10 x x (2)当a≤-1时，a+2=10,可得a=8,不符合题意； +7000: 当-1<a<2时，a2=10,可得a=±√10，不符合题意； r-10x2+500x-250,0<x<30, 当a≥2时，2a=10,可得a=5,符合题意；综上可知，a=5. 所以，W(x)= -x-10000+7000,x≥30. 跟踪训练1：(1)由-5e(-0,-2],1e(-2,2),-与 (2)当0<x<30时，W(x)=-10x2+500x-250, (-∞，-2]， 当x=25时，W(x)m=-6250+12500-250=6000(万 知f(-5)=-5+1=-4f(1)=3×1+5=8, 元)， (-)川f(-+1）=f(-3)=3×(-)+5 当x≥30时，W()=-x-10000+7000≤-21000+ x 7000=6800(万元) (2):a2+2≥2f(0+2)=2(d2+2)-1≥a+4,即a≤-2 1 当且仅当x=10000时，即x=100时，等号成立， 综上所述，当x=100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润 或a≥1 是6800（万元）. 六实数a的取值范围是(-，]U[1,+o)。 随堂检测重反馈 例2：【分析】先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转1.Bf(x)=1x-1川= 化为分段函数，再利用描点法作出函数图象 x-1,x≥1故选B. 1-x,x<1g 【解析】(1)当0≤x≤2时()=1+2=1： 2.B 因为≤1，所以（宁）=方+1=又因为>1，所 当-2<x<0时=1+1-x 以W(分川f(3)=-多+3=3故选B 所以f(x)=1(0≤≤2)， 3.D作出y=f(x)的图象，如图所示.由图象知，f(x)的值域是 l1-x(-2<x<0). [0,2]U3},故选D. -324 -i0。 函数的图象如图中实线部分所示.由函数的 图象知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和 [1,+∞)，单调递减区间为(0,1) 234 四(2(2[-1,2) 4.23前10天满足一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0)，将点(1 -2≤1-m≤2， 10.(0.30)代人函数解析式得(00利a-号= 【解析】（1)由题意知， -2≤m≤2， 解得}<m2 [1-m<m, 9则/()-分+9则在1月31日，即当x=7时7) -2≤1-m≤2， 1 (2)由题意知 -2≤m≤2， 9×1+四=20-23（千克 解得-1≤m<2 1 -m>m, 9-9 跟踪训练3：(1)A(2)D 3.2函数的基本性质 【解析】(1)由对任意x1≠2，都有(x1-x2)[f(x) f(x2)]>0成立，所以f(x)是R上的增函数，因为-2<1< 3.2.1 单调性与最大（小）值 3,所以f(-2)<f(1)<f(3). (2)因为函数f(x)=kx+(3k-2)x-5在区间[1，+0)上 第1课时 函数的单调性 r2-3 单调递增，所以2k ≤1，解得k≥ 2 5 教材梳理 明要点 k>0 新知初探 例4：根据题意，函数f(x)在x<1时单调递 知识点 增，即a+1>0,解得a>-1; Hx1,x2∈D递增递减增函数减函数 易知，二次函数y=x2-2x+4是开口向上 且关于x=1对称的抛物线，所以在x≥1时 a+2 知识点二 区间D 单调递增； 预习自测 若满足函数f(x)在R上单调递增，则分段 1.C由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1]，故 端点处的函数值需满足(a+1)×1+1≤12 选C. -2×1+4,如右图所示，所以a+2≤3，解得a≤1：综上可得 2.B因为函数y=f(x)在(a,b)上是减函数，且x1<2,所以 a的取值范围是(-1,1]. f()>f(x2),故选B. 跟踪训练4：要使f(x)在R上是减函数， 题型探究提技能 r3a-1<0, 需满足： 解得g≤a<分a的 1 例1：Vx1,x2e(-1,+0),且<x2, -a<0, 则(x)-()=+2与+2 l(3a-1)·1+4a≥-a·1 X2-X1 +为+1(，+1)(+1) 取值范围是名) 因为-1<x<2,所以2-x>0,x1+1>0,x2+1>0, 随堂检测重反馈 2一x1 所以+)+D>0,即f)-)>0)>6). 1.A因为-1<0，所以一次函数y=-x+3在R上单调递减 所)-名在(-1，+)上单调递减 反比例函数y=在(0，+)上单调递减，二次函数y=-2 +4在(0，+∞）上单调递减： 跟踪训练1：(1)设x1<x2≤-1，则f(x1)-f(x2)=（2x好+4x1) -(2x+4x2)=2(x-x号)+4(x-2)=2(x1-x2)(x1+2 2.D因为函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，所以2a +2). -1<0,即a<分 x1<x2≤-1，∴.x1-x2<0,x1+x2+2<0 3.[1,+0)易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x)>f(2), ∴f(x)在(-∞，-1]上单调递减. 二次函数，其对称轴为直线x=1,所以其单调递减区间是 [1,+o). (2)设x1>2>-1,则x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0, 1-=242 4.(-2,1):f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2-2)< 2(x1-x2) 西+1与+1(+1)(6+>0， f(-x),.x2-2<-x,即x2+x-2<0,解得-2<x<1..x的取 值范围是(-2,1). 1>2函数y=X在(1，+)上单调递增 第2课时 函数的最大（小）值 例2：f(x)=x2-41xl+3 498 教材梳理明要点 新知初探 如右图 2 知识点 由图象可知，函数f(x)的单调递增区 -310 1八234x f(x)≤Mf(xo)=Mf(x)≥mf()=m 间为[-2,0)，[2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，[0,2) 预习自测 跟踪训练2：y=Ix(x-2) 1.A函数y=-lxl在(-0,0]上递增，在(0，+∞)上递减， =r-2x,x≥0， 当x=0时，y取最大值0，无最小值. 1-x2+2x,x<0, 2.Dy=f(x)在区间(0,3]上是减函数，·当x=3时，f(x) 取最小值f(3),f(x)无最大值.故选D. -325