2.7.2余角和补角-课件-2026-2027学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”，涵盖定义、性质及公式。通过“测量围墙夹角”的实际问题导入，引导学生从定义出发，经几何语言表述、性质探究（如“同角的余角相等”推导），到例题与练习应用，构建从现实问题到数学理论再到实践的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题，用“猜量议”活动培养“数学思维”（推理意识），通过几何语言和例题解答强化“数学语言”表达。如性质探究中引导学生推导“等角的补角相等”，课堂小结用对比表格系统梳理。助力学生提升抽象能力与推理能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

冀教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 2.7.2余角和补角 第二章 几何图形的初步认识 冀教版七年级上册2.7.2 余角和补角专项练习题 核心知识点回顾：1.余角定义：如果两个角的和等于$$90^\circ$$（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。2.补角定义：如果两个角的和等于$$180^\circ$$（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角。3.重要性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。4.公式：若$$\angle\alpha$$为任意锐角，则余角$$=90^\circ-\angle\alpha$$，补角$$=180^\circ-\angle\alpha$$。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知$$\angle\alpha=30^\circ$$，则$$\angle\alpha$$的余角是（） A. $$60^\circ$$ B. $$150^\circ$$ C. $$30^\circ$$ D. $$90^\circ$$ 2. 若两个角互为补角，则这两个角的和为（） A. $$90^\circ$$ B. $$120^\circ$$ C. $$180^\circ$$ D.$$360^\circ$$ 3. 下列说法正确的是（） A. 任意角都有余角 B. 钝角一定有余角 C. 同角的余角相等 D. 互余的两个角一定相等 4. 一个角是$$75^\circ$$，它的补角的度数是（） A. $$15^\circ$$ B. $$25^\circ$$ C. $$105^\circ$$ D. $$115^\circ$$ 5. 若$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，$$\angle1+\angle3=90^\circ$$，则$$\angle2=\angle3$$，依据是（） A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 二、填空题（每题4分，共32分） 1. 两个角和为$$90^\circ$$，互为________；两个角和为$$180^\circ$$，互为________。 2. $$45^\circ$$角的余角是________$$^\circ$$，补角是________$$^\circ$$。 3. 若$$\angle\alpha=20^\circ$$，则它的余角为________$$^\circ$$，补角为________$$^\circ$$。 4. 同角（等角）的余角________，同角（等角）的补角________。 5. 一个锐角的补角一定是________角。 6. 若两个等角互余，则这两个角的度数都是________$$^\circ$$。 7. 已知$$\angle A=50^\circ$$，$$\angle B$$与$$\angle A$$互余，则$$\angle B=$$________$$^\circ$$。 8. 一个角比它的余角大$$10^\circ$$，这个角的度数是________$$^\circ$$。 三、解答题（共48分） 1. （16分）基础计算： （1）求$$36^\circ$$角的余角和补角的度数； （2）已知一个角为$$62^\circ15'$$，求它的余角度数。 2. （16分）列式求解： （1）已知一个角的补角是$$120^\circ$$，求这个角的余角； （2）一个角的余角与它的补角的和为$$150^\circ$$，求这个角的度数。 3. （16分）性质应用简答题： 已知$$\angle AOB=\angle COD=90^\circ$$，$$\angle AOC$$与$$\angle BOC$$互余，$$\angle BOD$$与$$\angle BOC$$互余，求证：$$\angle AOC=\angle BOD$$。 参考答案及简单解析 一、选择题 1.A 解析：余角为$$90^\circ-30^\circ=60^\circ$$。 2.C 解析：互补两角和为$$180^\circ$$。 3.C 解析：只有锐角有余角，互余两角和为$$90^\circ$$，不一定相等。 4.C 解析：补角为$$180^\circ-75^\circ=105^\circ$$。 5.B 解析：同一个角的余角相等，是余角的核心性质。 二、填空题 1.余角、补角 2.45、135 3.70、160 4.相等、相等 5.钝 6.45 7.40 8.50 三、解答题 1.解：（1）余角：$$90^\circ-36^\circ=54^\circ$$，补角：$$180^\circ-36^\circ=144^\circ$$； （2）余角：$$90^\circ-62^\circ15'=27^\circ45'$$。 2.解：（1）该角度数：$$180^\circ-120^\circ=60^\circ$$，余角：$$90^\circ-60^\circ=30^\circ$$； （2）设这个角为$$x$$，则$$(90^\circ-x)+(180^\circ-x)=150^\circ$$，解得$$x=60^\circ$$。 3.证明：∵$$\angle AOC+\angle BOC=90^\circ$$，$$\angle BOD+\angle BOC=90^\circ$$， ∴$$\angle AOC$$和$$\angle BOD$$都是$$\angle BOC$$的余角， 根据同角的余角相等，可得$$\angle AOC=\angle BOD$$。 O A B 要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量? 你能帮他解决这个问题吗？ 课堂导入 两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余. 如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角. 1 2 几何语言： 因为∠1＋∠2＝90°, 所以∠1与∠2互余. 反过来，如果∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°. 几何语言： 所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠1与∠2互余, 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 例1 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 例2 画出∠COB的余角. C O B A D 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 （2）量一量: 用量角器量一下这两个角的度数； 根据图形回答下列问题: （1）猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？ 问题1 ∠1与∠COB互余，∠ 2与∠COB互余. C O B A D （3）议一议：把结论归纳一下. （4）试一试：你还能用什么方法来说明这个结论？ 相等 同角的余角相等 1 2 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为 ∠1+∠BOC = 90°， ∠2+∠BOC = 90°， 所以 ∠1= 90°-∠BOC， ∠2= 90°-∠BOC ， 所以 ∠1 =∠2. 如图，∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余， 则∠1与∠2相等吗？ A O B D C 1 2 同角的 余角相等 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 问题2 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 1 2 3 4 解： ∠2与∠4相等.理由如下： 因为∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90°， 所以∠2 = 90°-∠1，∠4 = 90°-∠3. 因为∠1 =∠3, 所以∠2 =∠4. 等角的余角相等 新知探究 知识点1 余角与余角的性质 两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补. 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角. 1 2 几何语言： 因为∠1＋∠2＝180°， 所以∠1与∠2互补. 思考：如何画一个已知角∠BOC的补角？ B O C 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 反过来，如果∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°. 几何语言： 因为∠1与∠2互补, 所以∠1＋∠2＝180°. 让学生明确邻补角数量关系和位置关系，从而得出两角互补的概念，体会邻补角与两角互补之间的不同. 例3 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 问题3 如图，∠1是∠BOC 的补角， ∠2是∠BOC 的补角.∠1与∠2相等吗? 解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为∠1+ ∠BOC = 180°， ∠2+ ∠BOC = 180°， 所以∠1=180°- ∠BOC ， ∠2=180°- ∠BOC， 所以∠1=∠2. A O B D C 1 2 同角的补角相等 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 问题4 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么 ∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：∠2与∠4相等.理由如下： 因为 ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1， ∠4 = 180°-∠3. 因为 ∠1 =∠3， 所以 ∠2 =∠4. 等角的补角相等 1 2 4 3 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 例4 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线上， 所以 ∠AOC 和∠BOC互为补角. O A B C D E 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°. 所以∠COD和∠COE互为余角. 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角. 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 13 例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E， F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由． 分析：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角 (或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角 的补角，便可确定与∠2相等的角． 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 解：如图，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°， ∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6. 新知探究 知识点2 补角与补角的性质 例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E， F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由． 知识点1 余角和补角 1. 如果一个角的余角是 ，那么这个角的补角的度数是 ( ) C A. B. C. D. 2. 两个角的度数之比是，它们的差是 ，则这两个角 的关系是( ) B A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 无法判断 中考考法 16 3. 如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余 角的式子中： ① ；② ； ③；④ . 不正确的是____（填序号）. ③ 中考考法 17 【点拨】因为 和 互补，所以 .因为 的余角 ，所以①正确；因为 , 所以 ，所以 的余角 ，所以②正确； 因为 ，所以 .所以 的 余角 ，所以③ 错误，④正确. 中考考法 18 4. 如图，点，， 在同一条直线上， . （1）图中有哪几对角互为余角？ 【解】与,与,与, 与 ,这4对角互为余角. 中考考法 19 （2）图中有哪几对角互为补角？ 与,与,与,与 , 与,与,与 ,这7对角互为补角. 中考考法 20 知识点2 余角和补角的性质 5. 已知 ， ，如果 ， 那么 ，依据是( ) C A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 中考考法 21 6. 如图，将一副三角板按不同方式摆放，摆放方式中 的图形有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 22 （第7题） 7. [邯郸期末] 如图，将三个大小不同 的正方形的一个顶点重合放置，则 ， ， 三个角的数量关系为( ) C A. B. C. D. 中考考法 23 【点拨】如图，由题意得 ，所以 ， ，所以 ，即 .故选C. 中考考法 24 8. [北京海淀区期末] 已知 在正方形网格中的位置 如图所示.设的余角为 ，则___ . （填“ ” “ ”或“=”） （第8题） 中考考法 25 9. 点是直线上的点， ， 射线是 的平分线. （1）当的位置如图①时，试说明与 的数量 关系； 中考考法 26 【解】因为射线是 的平分线， 所以 . 设 ，则 ， ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 中考考法 27 （2）当的位置如图②时，（1）中与 的数 量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请 写出你得到的结论，并说明理由. 不成立， .理由如 下： 因为射线是 的平分线， 所以 . 中考考法 28 设 ，则 ， ， 所以 ， . 所以 ， 即 . 中考考法 29 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 课堂小结 $