北京市第三中学2025-2026学年第二学期期末试卷高二数学

学校2025一2026学年度第二学期期末试卷 高二数学 2026.7 本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共150分。考试时长120分钟。考生务必 将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。 最 卷 一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 新 如 要求的一项。 (1)下列函数中，存在极值点的函数是 酗 (A)f(x)=e*-x (B)f(x)=x3-x2+x (C)f)= (D)f(x)=Inx+x- 长 (2)两个实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别是2和3，两个零件是否 3 加工为一等品相直独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率是 区 (君 (B) (C) (D) 1-2 敬 (3)甲、乙两人投篮的命中率分别为p(0<p<1)和， 现甲、乙各段篮一次，记X为甲命 中的次数，Y为乙命中的次数，若D(X)>D(),则p的取值范围是 童 杯 A) (B)(0,3 (c)U.) D) (4)某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初)完成产能升级，若初始产能为 阳 P,每年产能的增长率为定值，2030年初产能为2P,则2036年初的产能是 (A)2√2P (B)42P (C)6v2P (D)82P .(5)已知{an}是无穷等并数列，“存在正整数m,使得am=0”是“存在正整数t,使得S=0” 器 的 (A)充分不必要条件 (B,必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 高二数学（卷一）第1页（共6页） (6)已知曲线y=f()在点(0，f0)处的切线方程为y=x+2,设函数g()=2,则曲 线y=g(x)在点(0，g(0)处的切线方程是 (A).y=2x+2（B)y=2 (C)y=x+2 (D)y=4x+2 (7)若函数f(x)=x3+ax2-6x+5在区间(L,2)上不是单调函数则实数a的取值范围是 (A)(0.3) D) ax2 +2x, (8)若函数f(x)= x， 的值域为R,则实数a的取值范围是 e*+(a-1)x,x≥ (A)(-o,1-e2] (B)[1-e2,0) (c)(-oo,1-e] (D)1-e,0) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 9》已知函数=，的导函数为f四，则了a)=一 (10)已知等差数列{a,}的公差不为零，且4，+4，=4，则-3+4一= a3+a.+a5 (11)某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为4，第二 种、第三种产品受欢迎的概率分别为m,n》且不同种产品是否受欢迎相互独立.记 5为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为 5 0 1 2 3 P 2 a b 6 45 则a+b=_;m+n=一 高二数学（卷一）第2页（共6页） (12)中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一” (乘)和“益一”（乘兰）操作，依次生得十二律管.记a=1(黄钟)，第n次损 3 2 益后所得律管的长度为a1，已知损益规则为a+1= 0,n为奇数， (n∈N),设 3a,n为偶数 bn=an+a1,则数列{亿n}的前11项中，.最大值是 (13)已知无穷数列{(a}满足a=m,an=a-1-3an-1+k(n≥2，n∈N),给出下列四个结论： ①对任意实数m,存在实数k,使得数列{an}为筹差数列； ②对任意实数k,存在实数m,使得数列{an}为单调递增数列 ③对任意实数k,存在实数m,使得数列{a,}的每项都小于0且互不相等： ④不存在实数m和k,使得数列{a,}为等比数列（公比q≠1）， 其中所有正确结论的序号是一· 三、解答题共5小题，共73分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (14)(本小题14分) 已知在等地数列{a,}中，a,=1,公比为g(g>0),且42是g和4，-2的等差中项. (I)求数列{an}的通项公式： （Ⅱ)若数列也，}满足」 _,求数列{an+bn}的前2n项的和. 从①b=1,b1bn=2(n∈N)；②b,+bn1=3(n∈N)这两个条件中选择一个，补充在 上面的问题中并作答。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 T (15)(本小题14分) 智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池 实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现 为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机 各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设 备检测并记录每台手机的当前电池健康度. 下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据： 型号 电池健康度(%) 用 85.2 86.5 84.8 9.1 85.9 86.2 83.9 794 乙 82.1 81.3 79.7 79.5 77.4 83.0 83.6 772 丙 76.9 82.8 78.1 79.0 82.0 79.6 77.2 82.7 假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率， (I)根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电 循环后，电池健康度低于80%的概率； (Ⅱ)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循 环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为X,求X的分布列和数 学期望； (Ⅲ)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各.100台，每台手机各自完成1000次充放电 循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为X,X,,X,,试 比较D(X),D(X),D(X)的大小.（结论不要求证明) 高二数学（卷一）第4页（共6页） (16)(本小题15分) 盒子里有大小相同的12个球，其中有m个红球(m≥2)，其余为白球，从中任取3个 球，记f(m)为恰好取到2个红球的概率. (I)求f3)的值： (Ⅱ)当m为何值时，f(m)取得最大值. (17)(本小题15分) 已知函数=lh(2x-)-号+haeR (I)若x=1为函数y=f(x)的极值点，求a的值； (IⅡ)当a≥0时，求函数y=f(x)的单调区间； (Ⅲ)若函数y=f(x)的图像恒在x轴的下方，求a的取值范围. 高二数学（卷一）第5页（共6页） (18)(本小题15分) 给定正奇数m(m≥5)，设{an}为首项为a,公差为d(d≠0)，项数为(m+l)m的等差数 列，将{a}中各项按如下规则排成一个有m行，m+1列的数阵 a a2m a2m+1…am-1m+1 a(m+1)m az a2m-1a2m+2…a(m-1)m+2 a(m+l)m-1 路 am-1 0m+2 3m-… aa-1 0t2+2 am am+1 a3m… anm2 a+1 些 (I)若a,=n,m=5,写出数阵，并计算a2+a+a4+a6+a21+a2; (Ⅱ)求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值； e (Ⅲ)设k∈L,2,…,m},从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第k行，第k+1行，…， 第m行，第1行，第2行，·，第k行的数，将取出的m+1个数相加，记得到的和 ☑ 为M. 求证：对给定的数阵，M的取值有且只有两种可能. X 熘 哦 高二数学（卷一）第6页（共6页） 高二数学 2026.7 w心卷二 一、选择题。共2个小题，每小题4分，共8分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1.已知函数f(x)=osx,则f'(x)=（) A.cosx B.-cosx C.sinx D.-sinx 2.已知在等差数列{}中，a2=2,4=8,则公差d的值为() A.2 3 D.3 二、解答题。共1个小题，共12分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 3.已知函数f(x)=ax2-lnx+b,a,b∈R,且曲线f(x)在点(L,fI)处的切线斜率为0. (1)求a的值： (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≥恒成立，求b的取值范围， 高二数学（卷二）第1页（共1页）