平面向量基本定理、基底的应用（精练）——2025-2026学年高中数学高一下学期人教A版必修二期末复习

平面向量基本定理、基底的应用（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 依托平面向量基本定理，通过选定不共线的基底，将平面几何问题完全转化为线性代数运算，实现几何到代数的标准化求解 2、通用公式 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. 3. 解题步骤 ①明确题目核心规则：基底判定、爪型定理、三点共线性质平面向量基本定理、共线向量判定； ②选定基底：基础题直接用给定基底，几何题优先选三角形两条邻边向量作为基底基底的定义（不共线、非零）； ③线性分解：将所有目标向量、相关向量，全部用选定的基底表示向量的线性运算（加减、数乘）； ④求解目标：结合性质列方程 、不等式，转化为代数问题求解。 4.高频考法 ①在△ABC中，D是BC上的点，如果，，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 　　　　　 ②在△ABC中，D是BC上的点，且，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则 【例1】设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【变式1-2】如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围及的最大值 【例2】在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】 已知点 为 的重心,若 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 3 【变式2-2】已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式2-4】如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且. (1)求： (2)求值； (3)点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围. 【巩固加练】 1．（多选）在下列向量组中，可以作为基底的是（  ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是 . 4.如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． (1)延长交于点（如图1），若，求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量基本定理、基底的应用（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 依托平面向量基本定理，通过选定不共线的基底，将平面几何问题完全转化为线性代数运算，实现几何到代数的标准化求解 2、通用公式 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. 3. 解题步骤 ①明确题目核心规则：基底判定、爪型定理、三点共线性质平面向量基本定理、共线向量判定； ②选定基底：基础题直接用给定基底，几何题优先选三角形两条邻边向量作为基底基底的定义（不共线、非零）； ③线性分解：将所有目标向量、相关向量，全部用选定的基底表示向量的线性运算（加减、数乘）； ④求解目标：结合性质列方程 、不等式，转化为代数问题求解。 4.高频考法 ①在△ABC中，D是BC上的点，如果，，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则． 　　　　　 ②在△ABC中，D是BC上的点，且，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则 【例1】设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C 【变式1-1】已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即，所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以，即， 又，，所以，解得. （3）由（2）知，， 因为， 所以，当时，取得最小值3，所以的最小值为. 【变式1-2】如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围及的最大值 【答案】(1)；(2)正确，证明见解析；(3)，的最大值为． 【解析】（1）因为， 两边平方得，所以. （2）正确，理由如下： 由向量， 必要性：若，当时，则存在唯一的实数，使， 即， 所以，整理得； 当时，也成立． 充分性：如果，当时，； 当时，若，则，必有， 无论是否为零，都有； 当时，同理有； 当时，由，可得， 则存在唯一的实数，使 所以； 所以“”的充要条件是“”，故结论是正确的． （3）因为，则， 可得， 且， 由，得， 所以， 即对任意恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以，则， 所以的最大值为 【例2】在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设交于，因为，，   所以，， 则, 故选：A 【变式2-1】 已知点 为 的重心,若 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】如图,延长 交 于点 ,则 . ,且 不共线, . 【变式2-2】已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则，，即，，，又，，即， ，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8. 故选D. 【变式2-3】如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为三点共线，所以设， 又三点共线，所以， 故，所以， 则在上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A 【变式2-4】如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且. (1)求： (2)求值； (3)点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1），即. （2）设，则,,,且. 即,得，.所以,. （3）设，.由，得. 因为，所以. 设, 因为三点共线，所以. . 由且，得. 由，得，故. 在上单调递增，. 所以. 【巩固加练】 1．（多选）在下列向量组中，可以作为基底的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解析】对于A，因为，所以共线，不能作为基底，故A错误； 对于B，因为，所以不共线，可以作为基底，故B正确； 对于C，因为，所以不共线，可以作为基底，故C正确； 对于D，因为，所以共线，不能作为基底，故D错误.故选：BC. 2．如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，设，由，可得，故．又是的中点，，所以， 所以．由点三点共线，可得，解得， 故．故选：A． 3．已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意设，，因为，所以， 所以，又，则，所以，又因为，由二次函数得性质得，所以得取值范围为.故答案为： 4.如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． (1)延长交于点（如图1），若，求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值 【答案】(1) (2)（i）证明见详解 （II） 【解析】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； ； （2）（i）根据题意, 同理可得：，由（1）可知，， 所以，因为三点共线，所以， 化简得，即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $