6.3.1 平面向量基本定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第六章平面向量及其应用 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知a,b方向相同，且|a=2,|b1=4,则|2a十3b= 难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要 ( 的作用；己知在直角梯形ABCD中，AB∥CD, A.16 B.256 C.8 D.64 ∠BAD=90°，∠BCD=60°，E是线段AD上靠 2.最早发现勾股定理的人是我国 近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB= 西周数学家商高，商高比毕达哥 2,AD=√5，则EB·EF= ( 拉斯早500多年发现勾股定理， 如图所示，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股： A B号 c 号 AB=4,D为弦BC上一点（不含端点），且 :4.在△ABC中，∠A=60°，AB=3,AC=2.若BD= △ABD满足勾股定理，则cOs(AB,AD)= 2DC,AE=AAC-AB(A∈R),且AD.AE= A是 c是 一4，则入的值为 5.定义非零向量之间的一种运算“⊕”，记a⊕b= 3.伟大的法国数学家笛卡儿创立 acos0+bsin0,(其中0是非零向量a,b的夹角)， 了直角坐标系.他用平面上的 一点到两条固定直线的距离来 若c1e均为单位向量，且c·=是，则向量 确定这个点的位置，用坐标来 e1⊕e2与e2⊕(-e1)的夹角的余弦值为 描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛 卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的 温馨提示 请做课时分层检测（五） 问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的 6.3.1 平面向量基本定理 明学习目标 知结构体系 1.理解平面向量基本定理及其意义， 课标 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来 平面向量基本定理 要求 表示其他向量. 平面向量 基底的概念 基本定理 用基底表示向量 通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向 素养 基本定理的应用 量基本定理的应用，发展数学抽象及直观想象 要求 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 平面向量基本定理 即时小练 条件e1,e2是同一平面内的两个 ! 1.判断正误 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1， (1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. 结论 入2，使a= ( (2)零向量可以作为基底. ( ) 若e1,e2不共线，把 叫做表示这一平面内所 基底 (3)若a,b不共线，则{a+b,a-b}可以作为基 有向量的一个基底 底. 17 数学必修第二册 (4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量，则4.若a,b是同一平面内的两个不共线向量，且c= 入1e1十入2e2(入1，入2为实数)可以表示该平面内所2a一b,d=3a-2b,试判断{c,d)能否作为平面向 有向量 ( 量的基底。 2.(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的 交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的 是 ( A.AD与AB B.DA与BC C.CA与DC D.OD与OB 3.如图所示，向量OA可用向量e1,e2表示为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一对平面向量基本定理的理解 /方法技巧/ 1.向量的基底是指平面内不共线的两个向量， [典例]如果{e1,e2}是平面内所有向量的一个基 事实上，若{e1,e2}是基底，则必有e1≠0，e2≠0： 底，入，4为实数，判断下列说法是否正确，并说明 且e1与e2不共线.若共线，则不能作为基底， 理由. 如0与e1,e1与2e1,e1十e2与2(e1十e2)等，均 (1)若入，满足e1十ue2=0,则入=u=0; 不能构成基底. (2)对于平面内任意一个向量a,使得a=e1十 2.一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意 e2成立的实数入，u有无数对； 一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出 (3)线性组合e1十e2可以表示平面内的所有 来. 向量； (4)当入，u取不同的值时，向量e1十e2可能表 对点训练 示同一向量 1.设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列 四组向量中，不能作为基底的是 ( A.e1十e2和e1一e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2 2.己知平面a内的两个向量e1,e2不共线，并且a= e1+2e2,b=2e1十e2,要使{a,b}能作为平面a 内表示所有向量的一个基底，则实数入的取值范 围是 题点二用基底表示向量 [典例]已知△OAB中，点D在 线段OB上，且OD=2DB,延长 BA到点C,使BA=AC,连接 OC,DC.设OA=a,OB=b. 18 第六章平面向量及其应用 (1)用a,b表示0C,DC: 题点三平面向量基本定理的应用 (2)若OC与OA十kDC共线，求k的值. [典例]如图，在△ABC中，点M是 BC的中点，点N在AC上，且AN= 2NC,AM与BN相交于点P,求 AP:PM与BP:PN的值. :…/方法技巧/ 平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)根据平面向量基本定理，平面内的任一向量 可用同一组基底表示，进而建立起了向量之间 的联系 (2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知” 的原则。 [拓展]若本例中的点N为AC的中点，其他条件 不变，求AP:PM与BP:PN的值. (3)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向 量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集 中在封闭的图形中，利用三角形法则或者平行 四边形法则快速找到表示法 对点训练 1.如图，设点P,Q是线段AB的三等分点，若OA= a,OB=b,则OP= OQ- .(用 a,b表示) /方法技巧/… 用向量解决平面几何问题的一般步骤 2.如图，已知在梯形ABCD中，AB (1)选取不共线的两个平面向量为基底； ∥DC,AB=2DC,E,F分别是 (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化 DC,AB的中点，设AD=a,AB= 为向量问题； b,试用基底{a,b}表示DC,EF (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题 的解 (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的 解」 对点训练 设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD= AB,BE=号BC,若元=A店+起ACdA为 实数)，则入1十入2的值为 19 数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，向量OA,OB,OC的终点在同一直线上，且：3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥ AC=-3CB.设OA=p,OB=q,OC=r,则下列 CD,∠D=90°，AB=2CD,M为BC 等式中成立的是 的中点，若AM=入AD十uAB(入， ∈R),则入十= A.1 B c D. 2 3 4.如图，在△ABC中，点D,E是线 段BC上两个动点，且AD+AE 1 3 A.r=-2p+29 B.r=-p+2q =xA店+yAC,则上+4的最小 C.r-p-7 值为 D.r=-q+2p 号 B.2 2.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边AB c 上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB :5.己知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边 AC上，且EC=2AE,则BE EM= ( A.3m-2n B.-2m+3n (用AB,AC表示). C.3m+2n D.2m+3n 温馨提示 请做课时分层检测（六） 6.3.2&6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及 平面向量的正交分解 要求 坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算. 平面向量 的正交分 平面向量的坐标表示 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平 解及加减 素养 运算的坐 平面向量加法运算的坐标表示 面向量的坐标表示及加减运算，发展数学抽象、逻 要求 标表示 辑推理及数学运算素养. 平面向量减法运算的坐标表示 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)平面向量的正交分解及坐标表示 量a的坐标，记作a=(x,y).其中，x叫做a在 1.正交分解 轴上的坐标，y叫做a在 轴上 把一个向量分解为两个互相 的向量，叫 的坐标 做把向量作正交分解， (3)坐标表示：a=(x,y)就叫做向量a的坐标 2.平面向量的坐标表示 表示 (4)特殊向量的坐标：i= (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴 j= 方向 的两个 取{i,j}作为 向量分别为ij,3.向量与坐标的关系 ,0= (2)坐标：对于平面内的任意一个向量a,由平面： 设OA=i十j,则向量OA的坐标 就是 终点A的坐标；反过来，终点A的坐标 向量基本定理可知， 一对实数x,y,使 得a=i+yj,我们把有序数对 叫做向 就是向量OA的坐标.这样就建立了向量的坐标 与点的坐标之间的联系 20故CM=1,则DF=是 !2.(-∞，4)U(4,十∞)[若向量a,b共线，则1=4，故当1≠4时，a, b不共线，此时{，b}可作为平面内表示所有向量的一个基底.] 成床-成+应·市+亦-武.市+应.亦-×：高解(D由题意知A为C的中点， 题点二 3 2×(-+2×受×1=子故滋A] ∴ai=号i+, [设店=a,AC=b, .0元=20A-Oi=2a-b, 4. 由已知得a=3,b=2,a·b=a bcos60°=3， D元--0i--号0i=2a-号b 因为BD=2DC,所以AD-AB=2(AC-AD), (2)由(1)得Oi+kD元=(2k+1a-号， 所以市-吉+号-a号， :O元与OA+kDC共线， 所以A市：A正=（分a+号）·(h-a 设OC-(OA+kDC), -(令-号)…b3+r 则2a-6=a2k+1Da-号， (2=A(2k+1) -a-2)-号×9+登×4=-4 解得=品] :对点训练 1 5.一8贾[因为a⊙b=aos0叶bn0C共中0是非套向童a,b的 1.号a+b号a+号6亦-市-0-=号+i-子0成 角)， 成+成=号成+号成=号a+g,成-à-ò-=号 日吧，均为单位向量，且66=号， i-号0i-0i+0i=号0成+号0ia+号6] 。。号县e0 所以c0s(e,6)=9·e 2.解因为AB∥DC,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点，所以 DC-AF=号AB=号b. 所以snee√-()-台 4 从而成-成+i+=-D元-市+号成 因为(e1,-e2〉=π一（e1,e2）, 以eos6,-》=-子ine,一e,= 5 =-×2a+2b0a !题点三 所以e田e=号e+号ee田(-e)=- 5e- 5e, 典例解设BM=e1,C=ee, 所以cos(e1⊕e2,e2⊕（一e1)) 则AM=AC+CM=一3e-e1, e2- e BN=BC+CN=2e +e:. :A,P,M和B,P,N分别共线， 5 ∴存在实数A,红使得AP-入AM=-e1-3ae2, 12 12 BP-uBN=2e1十e2. 25e9-25e-e·e BA-BP+PA=BP-AP=(A+2p)e+(3a+/)es. √+ 9 24 16 9 24 25e·eX√23G+23ei+25e·e 而BA-BC+CA-2e+3e, 由平面向量基本定理， 12123 25-255 A= 5 161924×3 得士2：解得 13λ+4=3， 3 W25T25 25 = 39 25 195.1 市=号A成，前-号成， /197 197 1971 √铝×√23 AP PM-4.BP PN- 6.3.1 平面向量基本定理 拓展 必备知识·自主梳理 解法一：如图，设BM=e,C=e, 不共线向量入1e1十入e2{e,e} 则AM-AC+CM=-2e-e1, 即时小练 BN=BC+CN=2e +e2. 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.AC A,P,M和B,P,N分别共线， 3.4e1+3e2[由图可知，OA-4e1+3e.] ∴存在实数A,红使得AP-入AM=一e1-2ae2, 4.解设存在实数入使得c=d,则2a-b=(3a-2b),即(2-3)a十！ Bd=BN=2e1十E (2λ-1)b=0. 故BA-B+PA=B-A市 由于a,b不共线，从而2一3队=21一1=0，但这样的入是不存在的， =(A+2)e+(2λ+)e. 从而c,d不共线，故{c,d}能作为平面向量的基底. 关键能力·合作探究 而BA=BC+CA=2e1十2e,由平面向量基本定理， 题点一 典例解(1)正确，若入≠0，则e=-e 得2=：解得 =3 12λ+4=2， 2 从而向量e1e共线，这与e,e2不共线相矛盾， u=3· 同理可说明一0， ∴A泸=子A成，-子B成， (2)不正确.由平面向量基本定理可知入，以唯一确定. ∴.AP:PM=2,BP:PN=2 (3)正确.平面内的任一向量a可表示成Ae1十e2的形式，反之也 成立， 法二：连接MN,由MNL号AB,AP:PM=2,BP:PN=2. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当加1和：确对点训练 定后，其和向量e1十e2便唯一确定. 对点训练 [成=成+庞=+号花=A 2 法项中，，62人百的07作秀号（成-）=一甘店+号花. 线，，不能作为基底，远项A、CD中两向量均不共线，可以作为： 基底.] 243 当A不共找，以合+行大是：对点训级1，》T由题用可知，CO一 一1)=(1,1).由正方形的对称性可知，B(1,一1)，所以0B=(1,一1).同 素养演练·提升技能 理OD=(-1,1).] 1.A[AC=-3C克，AB=-2C3=2BC.r=元=OA+AB+2.(-33,3)[设点A(x,),则x=OAlcos150°=60s150=-35, C-0i+A店+之A店-Oi+号(Oi-0i=号0i-之0i-y=isi血150=6sin150=3,即A(-35,3),所以0i (-35,3.] -p+] 3 !题点二 2.B[因为BD=2DA,所以AB=3AD,所以C第=CA+AB=Ci+ 典例解析(1)法一：设C(x,y), 3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3Ci=-2m+3m.故选B.] 则AC=(x-3,y-1)=(-4,-3), 3.B[连接AC(图略)：M为BC的中点∴M=号(AC+AB),又 所以3二4解得{二)； {y-1=-3, 1y=-2, 所以C(一1，-2)， 花-市+成-本+号店，i=(+)+ 从而BC=(一1，-2)一(3,2)=（一4，一4）.故选A 合店-号ò+是店=合以=是+=年J 法二：AB=(3,2)-(3,1)=(0,1), BC=AC-AB=(-4,-3)-(0,1)=(-4,-4). 4.D[设Ai=mAB+nAC,A正=AAB+AC.B,D,E,C共线， (2)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), ∴m+n=1,A+u=1.AD+AE=xAB+yAC,则x+y=2,: a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7). 答案(1)A(2)(2,-3)（-4,7) 2+-（+）x+)=(6++5)≥ 对点训练 1.B[设点B的坐标为，w,则A店=（红，）-(-2,5)=(x+2,y5) y 1y-5=3,1 时取等子子的小准受】 12.解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)a+b-c=(5,-5)+(-6,-3)-(1,8) 5.号AC-AB2A店+日Ac[如图， =(-2,-16). (2)设O为坐标原点. .CM=OM-0C=c, ∴OM=c+0C=(1,8)+(-3,-4) =(-2,4),.M(-2,4). :武-2A花，驼-A正-A店=AC-AB,EM-武+Ci= 又：C=O-OC-b, 号AC+C第=号AC+号AB-AC)=AB+日A花.] ∴ON=b+OC-(-6,-3)+(-3,-4) =(-9,-7),∴N(-9,-7), 6.3.2&6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 .MN=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11) 平面向量加、减运算的坐标表示 !题点三 必备知识·自主梳理 典例解设点P的坐标为（工，y), (一)1.垂直2.(1)相同单位基底(2)有且只有(x,y)xy 则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), (4)(1,0)(0,1)(0,0)3.(x,y)x,y) AB+AC-(5,4)-(2,3)+(5A,7A) 即时小练 =(3,1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). 1.(1)√/(2)×(3)/ :AP-AB+AC,且AB与AC不共线， 2.A[由题意，得a=(√2cos45)i+(√2sin45)j=i十j=(1,1).] 3.(-4,0)(0,6)(-2,-5) ∴8-+及：别{+ (二)和(x1十2，y1十y)差(x1一x2,M一y)终点起点 v-3=1十7λ， (1)若点P在第一、三象限的角平分线上， (x2一x1,y2一y) 即时小练 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 则5+=4+A=子 2.B3.A (2)若点P在第三象限内，则55A二0，<-1. 4.(2,3) 4+7λ<0， 关键能力·合作探究 对点训练 题点 解(1)OP-OA+O店-(1,2)+(3,3t) 典例解析(1)由a=4e一3e2,得a=(4,一3). =(1+3t,2+3t), B 若点P在x轴上，则2十3f=0,.t= 2 31 6 一弧在微“点 1050 美健在于列用三 若点P在y轴上，则1十31=0,1=一3 角函数的完义求 纳A,C两三自的坐称 人45 若点P在第二象限，则{十3≤0， 12+3>0. 0 (2)过点A作AM⊥x轴于，点M(图略)， 则OM=OA·0s45=4×5=22, (2)OA=(1,2),Pi=OB-Od 2 =(33t,3-3t). AM=01.m46-4×号-2g. 若四边形OABP为平行四边形，则OA=P, .A(2√2,2√2)，故a=(2√2,2√2) “侣3-2：孩方程组无解。 ,∠A0C=180°-105°=75°，∠A0y=45° 故四边形OABP不能成为平行四边形 ∴.∠COy=30°.又OC-AB=3, 素养演练·提升技能 c(是）--(是） 1.A[由题意易知，AB/A花，其中AB=O店-OA=(2m-1,1),AC 0C-0A=(-2”-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2"-1),得2m+ 十2”-1,2m+1十2”≥2√2m+w+T,所以2m+m+≤2，即m十n≤ -3. 答案aD(2(号3) 12.A[根据力的合成可知F1十F2=(1一2,2十3)=（一1,5），因为物 、 体保持静止即合力为0，则F1十F2十F3=0,即F3=(1,一5).] 244