期末复习专题01 平面向量及其应用课件- 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

这是高中数学人教A版（2019）必修第二册“平面向量及其应用”的期末专题复习课件，包含知识点剖析与综合训练，系统梳理向量概念、线性运算、数量积等核心内容，提供多样化习题及解析，搭建期末复习的学习支架。 资料以核心素养为导向，通过向量概念与物理情境（如力的做功）结合培养数学眼光，以线性运算推理和几何应用（如平行四边形证明）发展数学思维，用规范符号表达和解题步骤强化数学语言。题型覆盖基础与综合，解析详尽，助力学生巩固知识，也为教师教学提供清晰参考。 高一学生正处于从初中到高中的过渡阶段，需适应数学抽象性增强的特点，本资料通过系统梳理和分层训练，帮助学生夯实向量基础，提升解三角形等综合应用能力，为期末备考及后续学习奠定基础。

高中数学人教A版（2019） 必修第二册 期末专题复习 专题01 平面向量及其应用 01 知识剖析 知识点4 向量的概念 1 向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 01 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 2 向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如 等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 . 01 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 3 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 ，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量. 01 期中考试 知识剖析 知识点2 相等向量与共线向量 1 向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: 与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意 与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 01 期中考试 知识剖析 知识点2 相等向量与共线向量 2 用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 01 期中考试 知识剖析 知识点2 相等向量与共线向量 3 平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 01 期中考试 知识剖析 知识点3 平面向量的线性运算 1 向量的加法运算 (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 01 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 2 01 向量加法的运算律 (1)交换律： ； (2)结合律： . 3 向量的减法运算 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 01 3 向量的减法运算 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 01 4 向量的数乘运算 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 01 4 向量的数乘运算 期中考试 知识剖析 知识点4 向量的概念 01 5 平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 期中考试 知识剖析 知识点2 向量共线定理 1 向量共线定理 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 1 向量的数量积 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 1 向量的数量积 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 1 向量的数量积 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 1 向量的数量积 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 2 向量的数量积的性质和运算律 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 2 向量的数量积的性质和运算律 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 3 向量数量积的常用结论 01 期中考试 知识剖析 知识点5 向量的数量积 4 向量数量积的两大应用 01 期中考试 知识剖析 1 平面向量基本定理 01 知识点6 平面向量基本定理 期中考试 知识剖析 2 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 01 知识点6 平面向量基本定理 期中考试 知识剖析 知识点7 平面几何中的向量方法 1 平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. 01 期中考试 知识剖析 知识点8 平面几何中的向量方法 1 平面几何中的向量方法 (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 01 期中考试 知识剖析 知识点9 向量在物理中的应用 1 力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 01 期中考试 知识剖析 知识点9 向量在物理中的应用 2 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 01 期中考试 知识剖析 知识点9 向量在物理中的应用 3 向量与功、动量 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 1 余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 1 余弦定理 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 2 正弦定理 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 3 解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 3 解三角形 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 4 对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 4 对三角形解的个数的研究 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 5 判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 01 期中考试 知识剖析 知识点10 余弦定理、正弦定理 5 三角形的面积公式 01 期中考试 知识剖析 02 综合训练 下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 A 一．平面向量的概念与几何表示 01 【答案】A 【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个． 故选：A． 综合训练 以下选项中，都是向量的是（　　） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 D 一．平面向量的概念与几何表示 01 【答案】D 【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量； 浮力和速度既有大小又有方向，是向量． 故选：D． 综合训练 下列说法正确的是（　　） ①有向线段三要素是始点、方向、长度 ②向量两要素是大小和方向 ③同向且等长的有向线段表示同一向量 ④在平行四边形ABCD中，． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ D 一．平面向量的概念与几何表示 01 【答案】D 【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段； 即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确； ②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确； ③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确； ④∵，且与方向相同，∴； ∴该说法正确． 故选：D． 综合训练 已知向量，，，则t＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 D 二、平面向量的模 01 【答案】A 【解答】解：由题可得：， 因为3， 所以，即（2+t）2＝0， 解得t＝﹣2． 故选：A． 综合训练 在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B 二、平面向量的模 01 【答案】B 【解答】解：因为在四边形ABCD中，，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形， 由向量加减运算的几何意义知，若，等价于对角线BD与AC相等，等价于平行四边形ABCD为矩形， 由矩形与正方形的关系知，“”是“四边形ABCD是正方形“的必要不充分条件． 故选：B． 综合训练 已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C 二、平面向量的模 01 【答案】C 【解答】解：若sinθ＝0，结合夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝0或π， 当θ＝0时，则，同向共线，则，可知充分性不成立， 若非零向量满足，则、反向共线， 此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立． 综上所述，“sinθ＝0”是“”的必要不充分条件． 故选：C． 综合训练 在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（　　） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 D 二、平面向量的模 01 【答案】D 【解答】解：因为，∠ABD＝60°， 所以△ABD是等边三角形， 因为，即，所以四边形ABCD是平行四边形． 则，所以四边形ABCD是菱形． 故选：D． 综合训练 若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（　　） A．9 B． C．6 D． C 二、平面向量的模 01 综合训练 二、平面向量的模 01 【答案】C 【解答】解：△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点． 根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且， 设，，， 以AB所在的直线为x轴，以过C与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意设A（x，y），B（3，0），，， 则，，， 所以， ， 因为△BCD为等边三角形，由题意，等边△BCD的费马点为△BCD的中心， 此时|AB|+|AC|+|AD|取最小值， 所以． 故选：C． 综合训练 与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　） A． B． C． D． A 三．平面向量中的零向量与单位向量 01 【答案】A 【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是， 则． 故答案为：A． 综合训练 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　） A．与同向 B． C．且 D． A 四．平面向量的相等向量 01 【答案】A 【解答】解：分别表示与同向的单位向量， 若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同， 故使其成立的充要条件是与同向． 故选：A． 综合训练 下列命题正确的是（　　） A．平面内所有的单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．若满足，且同向，则 B 四．平面向量的相等向量 01 【答案】B 【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误； B．零向量和任何非零向量共线，B正确； C．平行向量一定是共线向量，C错误； D．向量不能比较大小，D错误． 故选：B． 综合训练 已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　） A． B． C． D． B 四．平面向量的相等向量 01 【答案】B 【解答】解：由题可得：，且， 故所求向量为：． 故选：B． 综合训练 以下说法正确的是（　　） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．零向量没有方向 C．共线向量又叫平行向量 D．若向量和都是单位向量，则 C 四．平面向量的相等向量 01 【答案】C 【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误； 零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误； 共线向量又叫平行向量，故C正确； 若向量和都是单位向量，则，故D错误． 故选：C． 综合训练 设为两个非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 四．平面向量的相等向量 【答案】A 【解答】解：因为，所以同向共线，所以， 因为，所以同向共线，此时不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 综合训练 已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 A 四．平面向量的相等向量 01 【答案】A 【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即，反之也成立， 故“四边形ABCD是平行四边形”是“充要条件． 故选：A． 综合训练 已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 B 五．平面向量的平行向量 01 【答案】B 【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线， ∴存在实数k，使，即， 又向量不共线，∴， 由λ＞0，μ＞0，∴， 当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号． 故选：B． 综合训练 已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　） A．12 B．6 C． D． C 五．平面向量的平行向量 01 【答案】C 【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量， 得，且x＞0，y＞0，则xy＝3， 因此x+2y，当且仅当，时取等号， 所以x+2y的最小值为． 故选：C． 综合训练 已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　） A． B． C． D． C 五．平面向量的平行向量 01 【答案】C 【解答】解：向量，且， 则， 故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1， 又0＜θ＜π，则必有． 故选：C． 综合训练 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 B 五．平面向量的平行向量 01 【答案】B 【解答】解：因为，且ABCD为四边形， 则AB∥CD，且， 所以四边形ABCD是梯形． 故选：B． 综合训练 设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C 五．平面向量的平行向量 01 【答案】C 【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量， 根据向量共线定理，“k与s2共线”⇔存在λ（λ≠0）， 使得kλ（s2）⇔⇔2λ＝kλs⇔ks＝2， 则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件． 故选：C． 综合训练 在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　） A． B． C． D． A 六．平面向量的加法 01 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，，， 如图，在正六边形ABCDEF中，AE∥BD，且AE＝BD， 则，所以． 故选：A． 综合训练 化简（　　） A． B． C． D． C 七．平面向量的减法 01 【答案】C 【解答】解：． 故选：C． 综合训练 如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（　　） B 八．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【答案】B 【解答】解：，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误． 故选：B． A． B． C． D． 综合训练 化简，所得的结果是（　　） A． B． C． D． A 四．平面向量的加减混合运算 01 【答案】A 【解答】解：． 故选：A． 综合训练 如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　） C 九．两个平面向量的和或差的模的最值 01 【答案】C 【解答】解：连接AB，如下图所示：   因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点， 所以，， 所以， ＝4×2+2×1＝10， 当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立， 因此，的最大值为10． 故选：C． A．5 B．8 C．10 D．12 综合训练 在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　） C 十．平面向量的数乘与线性运算 01 A．1 B． C． D．2 综合训练 十一．平面向量数量积的含义与物理意义 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则　 ． 　 【答案】． 【解答】解：由题意知，，即， 所以． 故答案为：． 综合训练 在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是线段CD上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D．0 B 十二．平面向量数量积的性质及其运算 01 【答案】B 【解答】解：设 AB 的中点为 M， 则 ， 所以， 当 P 为 CD 中点时， 取得最小值为 ． 故选：B． 综合训练 已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 A 十三．平面向量的投影向量 01 【答案】A 【解答】解：由（0，t），（1，﹣4）， 可得在方向上的投影向量为， 解得t＝﹣2． 故选：A． 综合训练 已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° C 十四．数量积表示两个平面向量的夹角 01 【答案】C 【解答】解：由， 可得， 又， 所以，解得， 所以， 又， 所以与的夹角为120°． 故选：C． 综合训练 已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．1 B 十五．数量积判断两个平面向量的垂直关系 【答案】B 【解答】解：已知向量，若与垂直， 故，故m． 故选：B． 综合训练 已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　） A． B． C． D． C 十六．平面向量的基底 01 综合训练 【答案】C 【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得， 因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立， 也即 不共线，则能作为基底； 对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得， 即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立， 也即，不共线，则能作为基底； 对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误； 对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得， 即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底． 故选：C． 十六．平面向量的基底 01 综合训练 在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 A 十七．用平面向量的基底表示平面向量 01 综合训练 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）， 因为D在边BC上（不包含端点），不妨设，其中0＜λ＜1， 即， 所以，， 又因为，则x＝2﹣2λ，y＝4λ，其中x、y均为正数， 且有2x+y＝4， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是2． 故选：A． 十七．用平面向量的基底表示平面向量 01 综合训练 已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2） B 十八．平面向量的正交分解及坐标表示 01 【答案】B 【解答】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4）， ∴（﹣2，1）﹣（﹣1，3）＝（﹣1，﹣2），（3，4）﹣（﹣1，3）＝（4，1）． ∴（﹣1，﹣2）+（4，1）＝（3，﹣1）． 故选：B． 综合训练 已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 十九．平面向量加减法的坐标运算 01 A 【答案】D 【解答】解：因为，所以， 因为，，所以， 即，即， 解得， 所以， 又因为，所以． 故选：D 综合训练 已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 01 C 【答案】C 【解答】解：因为向量，， 所以， 因为A、C、D三点共线，则， ， 所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11． 故选：C． 综合训练 已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 01 B 【答案】B 【解答】解：由点P在线段AB上，且知， 设P点坐标为（x，y），则（x+1，y﹣2）＝3（﹣x，3﹣y）， 即，解得x，y． 故选：B． 综合训练 已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 01 B 【答案】B 【解答】解：△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，以BC中点为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 由，得， 而E为AD的中点，则， ∴． 故选：B． 综合训练 已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1 二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 01 B 【答案】B 【解答】解：设P（x，y），A（3，﹣2），B（2，﹣1）， 则，， 又， 则，解得， 则x+y＝1． 故选：B． 综合训练 已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11） 二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 01 C 【答案】C 【解答】解：设P（x，y），则，， ∴由得：（x+2，y﹣1）＝（3，﹣3）， ∴，解得， ∴P（1，﹣2）． 故选：C． 综合训练 已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 01 B 【答案】B 【解答】解：因为点A（﹣1，4），B（3，7），设C（x，y）， 可得，， 又，所以， 即，解得． 故选：B． 综合训练 已知向量，，若，则（　　） A．3 B．5 C． D． 二十一、平面向量数量积的坐标运算 01 B 【答案】B 【解答】解：由题可得：， 故，解得k＝3， 则，故． 故选：B． 综合训练 已知，，若，则（　　） A．3 B． C． D． 二十一、平面向量数量积的坐标运算 01 C 【答案】C 【解答】解：，， 则（x﹣4，﹣5）， 若， 则x（x﹣4）﹣5＝0，解得x＝5或x＝﹣1， 当x＝5时，（3，﹣2），， 当x＝5时，（﹣3，﹣2），． 故选：C． 综合训练 河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（　　） A．8m/s B． C． D．10m/s B 二十二．平面向量在物理中的应用 01 【答案】B 【解答】解：设水流速度为，船在静水中的速度为，实际行驶速度， 根据题意，可得，，且⊥， 所以， 即小船实际航行的速度大小为． 故选：B． 综合训练 在锐角△ABC中，，若点O为△ABC的外心，且，实数m的值为（　　） A． B． C． D． B 二十三．平面向量的综合题 01 综合训练 二十三．平面向量的综合题 01 【解答】解：因为O为△ABC的外心，且， 所以， 所以， ， 即， 由圆的性质有∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，设△ABC的外接圆半径为R，   则， 由于二倍角公式可得， 即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣m， 故， 故，故， 因为，故，又cos2A+sin2A＝1，可得， 由于角A为锐角，所以，即， 故选：B． 综合训练 在△ABC中，BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为，则角B的大小为（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° D 二十四．利用正弦定理解三角形 01 【答案】D 【解答】解：因为BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为， 所以， 解得， 因为0°＜B＜180°， 所以角B的大小为60°或120°． 故选：D． 综合训练 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝6，则满足条件的三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 C 二十五．正弦定理与三角形解的存在性和个数 01 【答案】C 【解答】解：因为，a＝5，b＝6，可得， 所以bsinA＜a＜b，可知满足条件的三角形有2个． 故选：C． 综合训练 设△ABC的外接圆的半径为R，若AB＝2R，则（　　） A． B． C． D．1 B 二十六．正弦定理与三角形的外接圆 01 【答案】B 【解答】解：AB＝2R， 则sinC， 又C为三角形的内角， 则C， 故sin． 故选：B． 综合训练 在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° A 二十七、余弦定理 01 【答案】A 【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB， 所以由余弦定理得：， 因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°． 故选：A． 综合训练 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（　　） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 A 二十八．三角形中的几何计算 01 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，由， 可得， 即，又A+B＝π﹣C， 则， 所以， 由正弦定理，可得， 即4048c2＝a2+b2﹣c2，所以4049c2＝a2+b2， 故． 故选：A． 综合训练 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a2+b2+c2＝5，则（　　） A．若sinA：sinB：sinC＝5：4：3，则△ABC外接圆半径为 B．若a＝1，则 C．若b＝1，则 D．△ABC面积的最大值为 ACD 二十九、解三角形 01 综合训练 【答案】ACD 【解答】解：A选项，若sinA：sinB：sinC＝5：4：3， 由正弦定理知a：b：c＝5：4：3，则b2+c2＝a2，代入3a2+b2+c2＝5，解得， 又△ABC是以A为直角的直角三角形，故外接圆半径为，故A正确； B选项，若a＝1，则b2+c2＝5﹣3a2＝2，， 当且仅当b＝c＝1时取等，故，故B错误； C选项，若b＝1，则3a2+c2＝5﹣b2＝4，由于a，b，c是三角形的三条边， 故必有|a﹣b|＜c＜a+b，即|a﹣1|＜c＜a+1，代入3a2+c2＝4得3a2+（a﹣1）2＜4＜3a2+（a+1）2， 解得，故C正确； D选项，设AD为BC边上的中线， 由中线长公式知， S△ABC ， 当且仅当sin∠ADC＝1（即b＝c）和同时成立时取等， 此时，b＝c即可，故△ABC面积的最大值为，D正确． 故选：ACD． 二十九、解三角形 01 综合训练 $