向量应用三角形的边角互化问题（精练）——2025-2026学年高中数学高一下学期人教A版必修二期末复习

向量应用三角形的边角互化问题（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 利用正、余弦定理实现三角形边与角的互相转化，结合三角恒等变换、不等式求解角度、边长、面积、周长及取值范围。 2、 通用公式 （1）余弦定理 公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC （2） 正弦定理 公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. （3）推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②，，， ③，，（实现边和角的互相转化） （4）三角形面积公式 ： （5）三角形内角和定理：中，, =。 ①互补关系： ②互余关系： 3. 解题步骤 （1）边角统一（边化角 / 角化边，正弦定理优先）； （2）利用内角和A+B+C=π化简三角式； （3）余弦定理处理边长平方、外接圆半径用正弦定理； （4）锐角三角形限定角范围，结合三角函数值域求取值范围； （5）均值不等式求边长 、面积最值。 4.高频考法 （1）基础型：给边角等式求单个角； （2）计算型：已知两边一角 / 三边求边长、三角形面积； （3）范围最值型：锐角三角形周长、边长比值、面积取值范围； 【例1】在锐角中，内角，，的对边分别是，，，内角，，顺次成等差数列． （1）若，，求的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】 (1) (2)，] 【解析】（1）由且，所以，由余弦定理得，， 故 （2）由正弦定理得，，故，，所以的周长，，， ，，，为锐角三角形， ，解得，，则，，的周长的取值范围，． 【变式1-1】（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】 (1) (2) 【解析】（1）因为，即，而，所以； （2）由（1）知，，所以，而， 所以，即有，所以所以 ．当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【变式1-2】如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】 (1)4 (2) 【解析】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以；在中，，，， 所以. （2）设，.又，所以.因为，所以. 在中，，由正弦定理得，即，解得. 在中，，由正弦定理得，即，解得， 所以.又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1，所以的最大值为 【变式1-3】在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围. 【答案】 (1) (2) 【解析】（1）由及正弦定理得：，整理得，因为，所以，所以，又，所以. （2）由及可知为等边三角形，∴，∴为边的中点，∴又因为，，所以.    在中，，由正弦定理可得，，即. 在中，，由正弦定理可得，，即.所以 ， 因为，所以，所以，所以.所以，故的取值范围为 【例2】（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 【变式2-1】在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），，化为：， 可得，，． （2）因为是锐角三角形，，所以，且，故， 由正弦定理可得，因为，所以， 故，所以，故的取值范围为． 【变式2-2】的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理：， 所以由正弦定理， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 由余弦定理， 因为，，所以，所以， 所以的面积. （2）因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 【巩固加练】 1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以，因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以， 故，又，所以， 所以，又，所以，所以，所以的取值范围为. 2．记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 3.在锐角中，角所对的边分别是，已知. （1）求； （2）记的面积为，周长为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理得： ， 又.又为锐角三角形，. （2）由余弦定理可知，，即， . . 由正弦定理得，又， 所以. 又，，可得，则. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $向量应用三角形的边角互化问题（精练） 【思维导图】 正弦定理：边角互换、外接圆相关、齐次条件转化 余弦定理：处理边长平方、三边求角 核心工具O 三角恒等变换：内角关系、角度化简、值域转换 不等式工具：均值不等式、三角函数区间取值 边化角：无平方边长条件统一转化为角 核心解题逻辑O 角化边：带有边长平方条件统一转化为边 统一边或角，消除边角混合形式 借助三角形内角关系化简式子 根据三角形类型锁定角度区间 普通三角形：所有内角大于0小于平角 锐角三角形：三个内角全部小于直角 通用解题步骤© 钝角三角形：一个内角大于直角，剩余为锐角 根据问题分类求解 求角度：化简后直接得出角度大小 求边长、面积：结合基础面积公式计算 求最值、取值范围：三角函数值域或均值不等式求解 【核心总结】 1、题型本质 利用正、余弦定理实现三角形边与角的互相转化，结合三角恒等变换、不等式求解角度、 边长、面积、周长及取值范围。 2、通用公式 (1)余弦定理 公式表达：a=6+c2-2 bocos A,6=a+c-2 accosB,c=a+6-2 abcosC （2)正弦定理 C 公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinA sinB sinC (3)推论：在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,外接圆半径为R C sinAsinB sinC =2R, 2asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA, ③a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC(实现边和角的互相转化) 第1页共7页 ()三角形面积公式：5-方kinC-besinA- acsinB A,B,Cπ (5)三角形内角和定理：△ABC中，A+B+C=π、， 222=2 ①互补关系： sin(A+B)=sin(-C)=sin C cos(A+B)=cos(-C)=-cos C ②互余关系： sinB=sin πC C +B=cos( C、 C =coS coS- )sin 2 221 2 2 221 2 3.解题步骤 (1)边角统一（边化角/角化边，正弦定理优先）； (2)利用内角和A+B+CT化简三角式： (3)余弦定理处理边长平方、外接圆半径用正弦定理： (4)锐角三角形限定角范围，结合三角函数值域求取值范围； (5)均值不等式求边长、面积最值。 4.高频考法 (1)基础型：给边角等式求单个角； (2)计算型：己知两边一角/三边求边长、三角形面积； (3)范围最值型：锐角三角形周长、边长比值、面积取值范围； 【例1】在锐角△MBC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,内角A,B,C顺 次成等差数列. (1)若a=2,c=3,求b的大小： (2)若b=2V5 △ABC ,求9 的周长的取值范围. 第2页共7页 【变式1-1】(2022新高考I卷高考真题第18题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 cosA sin2B a,b,c,已知1+sinA1+cos2B: a老C=,求 a2+b2 (2)求c2的最小值. 【变式12】如图，在四边形BCD巾，∠D6-分，B-名 =6,且AABC的外接圆半径为4. B (1)若BC=4W2,AD=2V2,求△ACD的面积； 2)若D=2π 3,求BC-AD的最大值： 第3页共7页 cosB b 【变式1-3】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且-c0sA+B2a-c (1)求角B的大小： (@若点D为边BC的中点，点E,F分别在边AB,AC上，∠EDF=号b=C=4设 ∠BDE=c,△就的面积为S,求S的取值范围. 【例2】(2022新高考Ⅱ卷高考真题第18题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, ,S,S2,S3 b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为 ,己知 -9+S=5 2,sin B=I 3 (1)求△ABC的面积： 2)者in4siC=2 3,求b 第4页共7页 【变式2-1】在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且2b-c=2 acosC. (1)求A: (2)若△ABC为锐角三角形，C=2,求b的取值范围. 【变式2-2】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (c-2b10sA+d+-c=-0 2b (1)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积； (2)若角C为钝角，求二的取值范围 b 第5页共7页 【巩固加练】 1.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 acos(B-C)+acos A-23csin Bcos A=0 (1)求A; (2)若4MB 25 外接圆的直径为2N3,求20-b 的取值范围. 2.记△4Bc内角么BC的对边分别为ab.c:已知2a=b+2 esin A- 6 (1)求C; 第6页共7页 2b2+3c2 2)若△4BC为锐角三角形，且外接圆直径为25，求26的取值范围， A,B,C 3在锐 △ABC中，角 所对的边分别是 a,b,c ,已知 2sinB cosB cosC b sin A.b=3 sinC (1)求B: S (2)记△ABC的面积为S,周长为1，求1的取值范围. 第7页共7页