专题6 平面向量及其应用 重要考点期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题6 平面向量及其应用（解析版） 知识点1：向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 例1．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 例2．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 例3．已知向量与不共线，，且三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线的性质即可求解. 【详解】由于，且三点共线，故， 故， 故选：C 知识点2：向量的数量积 1、向量的夹角 定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． 2、向量的数量积的定义 向量与的数量积记作，即； 注：两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 3、 向量在上的投影向量 （1）在上的投影为 （2）在上的投影向量为 例1．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 例2．已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 例3．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 知识点3：平面向量基本定理 定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 1、共线向量定理及其推论 （1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 例1.若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 例2．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 例3．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 知识点4：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 2、若，则； 3、设非零向量，则，即，或． 4、若，，则 5、若两个向量垂直，则 6、向量的模长公式：若，则 7、两点间的距离公式：若，，则 例1.设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 例2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 例3.已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 的夹角为钝角； ，且不平行； ； 解得，且； 的取值范围为：． 故选：B． 例4.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案. 【详解】因为， 所以，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C. 知识点5：余弦定理 公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 例1．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，可得：， ， ， . 例2．在中，角，，对应的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设及余弦定理可得，然后由及三角形内角和为可得答案. 【详解】由，可得. 由余弦定理可得：，从而. 因可得，结合与三角形内角和为， 可得. 例3．在中，角的对边分别为，若，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求得，，根据向量投影的知识求得正确答案． 【详解】由余弦定理得， 得， 解得，（舍去）， 所以， 所以在上的投影为， 所以在上的投影向量为． 知识点6：正弦定理 1.正弦定理及推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 2. 三角形面积公式 3. 判断三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 例1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 例2.在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答. 【详解】 在中，， ，可得则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 例3．在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可. 【详解】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误； 对于选项B：因为，可知， 所以满足条件的有2个，故B错误； 对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确； 对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边， 所以不存在，故D错误； 故选：C. 例4.已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 例5.已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 例6.在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 例7.在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 知识点7：正余弦定理的综合应用 例1.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 例2.如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题意可知，，，， 设，在中，，有； 在中，，有； 在中，，有， 又， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则， 即，解得，即米. 故选：B 例3.中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 例4．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A； （2）用表示，利用向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即， 则， ，即． ∵，∴，那么，解得． 又∵，∴． （2）∵，∴， 即， 两边同时平方： ， ， ∴， ∴， 即． 例5.已知的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，是边上的高，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）由是边上的高，且，在直角中，由正弦定理，列出方程，求得，，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：因为是边上的高，且， 在直角中，由正弦定理得， 即，即，解得， 又因为，可得， 所以的面积. 例6.已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 例7.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1). (2)6 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【详解】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 例8.在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） (1)求A； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别就三种情况，运用正弦定理和余弦定理，三角形内角和与和差角公式对已知等式进行合理变形，最后借助于角的范围，即可求得； （2）由正弦定理将边b，c分别用角C的三角函数式表示，代入所求式，化简得，再利用角的范围和正弦函数的图象，即得所求式的范围. 【详解】（1）若选①，由得，， 由正弦定理，， 则，整理得，， 因，则有，又，故； 若选②，， 因， 代入得，， 展开整理得，，即， 因，则有，由正弦定理，， 又因，故得，因为，所以； 若选③，因为，所以， 即， 由余弦定理，得，，， 在三角形中，则或（舍），故. （2）因为，则， 因为， 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 例9．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 平面向量及其应用重要考点 知识点1：向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 例1．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 例2．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 例3．已知向量与不共线，，且三点共线，则（   ） A． B． C． D． 知识点2：向量的数量积 1、向量的夹角 定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． 2、向量的数量积的定义 向量与的数量积记作，即； 注：两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 3、 向量在上的投影向量 （1）在上的投影为 （2）在上的投影向量为 例1．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 例2．已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 例3．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 知识点3：平面向量基本定理 定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 1、共线向量定理及其推论 （1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 例1.若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 例2．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 例3．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 知识点4：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 2、若，则； 3、设非零向量，则，即，或． 4、若，，则 5、若两个向量垂直，则 6、向量的模长公式：若，则 7、两点间的距离公式：若，，则 例1.设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 例2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 例3.已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 知识点5：余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 例1.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 例2.在中，角，，对应的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 例3.在中，角的对边分别为，若，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点6：正弦定理 1.正弦定理及推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 2. 三角形面积公式 3. 判断三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 例1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例2.在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 例3．在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例4.已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例5.已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 例6.在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 例7.在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 知识点7：正余弦定理的综合应用 例1.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 例2.如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 例3.中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 例4．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 例5.已知的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，是边上的高，且，求的面积. 例6.已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 例7.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 例8.在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） (1)求A； (2)求的取值范围. 例9．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $