精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高一数学期末考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 2. 复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 25 B. 3 C. 5 D. 3. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4 4. 已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某位同学连续抛掷质地均匀的骰子次，向上的点数分别为，，，，，，，，，，则这个数（ ） A. 众数为和 B. 标准差为 C. 平均数为 D. 第百分位数为 10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 13. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 14. 如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________. 四、解答题（共77分） 15. 为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这批零件的直径的中位数； （2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一数学期末考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可. 【详解】样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字， 因为，所以第70百分位数为第6个数字，即. 故选：B. 2. 复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 25 B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，对立事件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概率为0.5， 因此面试失败的概率为， 所以该同学通过面试的概率为. 故选：A 4. 已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方可得，然后结合向量夹角余弦公式可得答案. 【详解】由两边平方可得， 又，，所以， 所以. 因为，所以. 故选：A 5. 如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值． 【详解】由，可得， 所以， ，． 故选：A 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 7. 如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，， 又在中，，，， 由正弦定理得，，即， 解得. 故选：B. 8. 已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知点在底面内的射影点为等边的中心，取线段的中点，连接，可知三棱锥的外接球球心在线段上，计算出、的长，可知三棱锥是正四面体，确定该正四面体的棱长，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，点在底面内的射影点为等边的中心， 取线段的中点，连接，则，易知三棱锥的外接球球心在线段上， 设正三棱锥的外接球半径为，则，解得， 设正三棱锥的内切球的半径为，则，故， 平面，平面，， 易知，则， 所以，，故，所以，， 由勾股定理可得， 所以，正三棱锥是边长为的正四面体， 因此，正三棱锥的表面积为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某位同学连续抛掷质地均匀的骰子次，向上的点数分别为，，，，，，，，，，则这个数（ ） A. 众数为和 B. 标准差为 C. 平均数为 D. 第百分位数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据众数、标准差、平均数、百分位数的定义逐一运算判断即可. 【详解】A：因为和出现的次数均为，且出现的次数最多，因此众数为和，所以本选项说法正确； B：这10个数的平均数为：， 标准差为：， 因此本选项不正确； C：由选项B可知该选项正确； D：一共有10个数，由，上述10个数是按照从小到大排列的， 所以第百分位数为，因此本选项不正确， 故选：AC 10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【详解】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即为平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式即可代入求解. 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为， 所以该圆柱的表面积为． 故答案为： 13. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，， 由题意， 可得：， 得， 故答案为： 14. 如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，易得，由平面证得，结合可得平面，则有，利用多个直角三角形即可求得. 【详解】设，因，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面，因平面，则. 在中，则， 在中，，故. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这批零件的直径的中位数； （2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【答案】（1） （2）5000 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案； （2）由频率分布直方图求得直径在内的频率,计算即可得出结果. 【小问1详解】 因为 所以这批零件的直径的中位数在内． 设这批零件的直径的中位数为，则， 解得， 即这批零件的直径的中位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为， 则可估计这批零件中优等品的件数为． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）取棱BC的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质推理得证. （2）结合（1）中信息，利用线面垂直的性质，结合勾股定理求出三棱柱的高，进而求出体积. 【小问1详解】 如图，取棱BC的中点，连接DF，EF，由D是棱AB的中点，得， 而平面平面，则平面， 在三棱柱中，， 由E，F分别是棱的中点，得， 则四边形是平行四边形，有，又平面平面， 则平面，而平面DEF，且， 因此平面平面，又平面DEF， 所以平面. 【小问2详解】 由D，F分别是棱AB，BC的中点，得， 设，则，又，则， 由（1）知，又平面ABC，则平面ABC， 而平面ABC，于是，则， 又，则，解得，即， 等边三角形的面积， 所以三棱柱的体积. 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $