宁夏青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 第 1页（共 4页） ◎ 高一数学 第 2页（共 4页） 宁朔中学 2024-2025(二)高一数学期末考试测试卷 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的) 1．已知向量    ,,, 2 2 3a m b m     ，若 a b  ∥ ，则实数m （ ） A． 2 5  B． 4 5  C． 4 5 D． 2 5 2．在复平面内，   1 3i 3 i  对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图， A B C   是水平放置的△ABC 用斜二测画法画出的直观图，其中 1O A O B O C         ，则△ABC 的周长为（ ） A． 2 2 2 B． 2 5 2 C． 4 2 4 D． 4 5 4 4．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A． 17 24 B． 11 24 C． 7 24 D． 1 4 5．如图，在矩形 ABCD中， 2AB AD ， ,E F分别为 ,BC CD的中点，G为 EF中点，则   AG （ ） A． 2 1 3 3    AB AD B． 1 2 3 3    AB AD C． 2 2 3 3    AB AD D． 3 3 4 4    AB AD 6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为（ ） A．9 3π B．6 3π C．3 3π D． 2 3π 7．已知 l，m 是两条不同的直线，�，�是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若 //l m， / /m  ， 则 / /l  B．若 a  ， l   ，m l ， 则m  C．若 l m ，m  ， / /  ，则 l  D．若 / /  ，m  ， 则 / /m  8．若向量 a  ，b  满足 3a b    ，且 � − � = 6，则向量 a  在向量b  上的投影向量是（ ） A． 6 3 b  B． 2 3 b  C． 3 2 b  D． 6 2 b  二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对 得 6 分，部分选对得部分分，多选和错选得 0 分) 9．已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A．这组数据的极差为 5 B．这组数据的方差为 2.5 C．这组数据的众数等于平均数 D．这组数据的第 40 百分位数为 3.5 10．已知事件 ,A B，且    0.4, 0.5P A P B  ，则（ ） A．事件A与事件 B互为对立事件 B．若事件A与事件 B互斥，则   0.9P A B  C．若   0.3P AB  ，则事件A与事件 B相互独立 D．若事件A与事件 B互斥，则   0.2P AB  11．下列命题中正确的是（ ） A．两个非零向量 a，b  ，若 a b a b       ，则 a与b  共线且反向 B．已知 0c    ，且 a c b c       ，则 a b   C．若非零 a，b  满足 a b a b       ，则 a与a b   的夹角是30 D．若  3, 4OA    ，  6, 3OB    ，  5 , 3OC m m     ， ABC 为锐角，则实数m的取值范围是 3 4 m   三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 660 的 样本，三个年级学生人数之比依次为3: 4 : k。已知高一年级共抽取了 180 人，则高三年级抽取的人数 为 人． 13．已知 2a   ， 4b   且  a b a   ，则向量 a与 b的夹角是 ． 14．锐角△ABC 中，a b c､ ､ 分别为角 A B C､ ､ 所对的边，且  2 2a b a c c   ，若 3b  ，则△ABC 周长的 取值范围是 ． 高一数学 第 3页（共 4页） ◎ 高一数学 第 4页（共 4页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13 分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 4道不同的题目，其中选择题 2道，判断题 2道，甲、 乙两人各抽一道（不重复）。 (1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 16．（15 分）在△ABC 中，角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且 sin 3 cos 0a B b A  . (1)求A； (2)若 13a  ，△ABC 的面积为 3，求△ABC 的周长. 17．(15 分)如图，在正方体 1 1 1 1ABC D ABCD 中，E 是 1DD 的中点． (1)求异面直线 1 1AC 和 1BC所成角的大小； (2)求证： 1 / /D B 平面 ACE； (3)设正方体的棱长为 1，求三棱锥 B-AEC 的体积. 18．（17 分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷 中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段： [40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中 a的值； (2)求样本成绩的第 75 百分位数和平均数； (3)已知落在[50,60)的平均成绩是 56，方差是 7，落在  60,70 的平均成绩为 65，方差是 4，求两组成绩的总平 均数�和总方差 2s . 19．（17 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD是平行四边形， PA 平面 ABCD， 2 2 2BC PA AB   ， 60ABC  ． (1)求四棱锥 P ABCD 的体积； (2)求证：平面 PAC 平面 PAB； (3)求二面角 A PD C  的正弦值. 答案第 1页，共 2页 宁朔中学 2024-2025(二)高一数学期末考试测试卷 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D C D B ACD BC 题号 11 答案 AC 二、填空题 12、 240 13、 �� � 14、 3 3,3 3  三、解答题 15．(1) 1 3 (2) 5 6 【详解】（1）解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， 记两道选择题分别为 1a 、 2a ，两道判断题分别为 1b 、 2b ， 所有的基本事件有：  1 2,a a 、  1 1,a b 、  1 2,a b 、  2 1,a a 、  2 1,a b 、  2 2,a b 、  1 1,b a 、  1 2,b a 、  1 2,b b 、  2 1,b a 、  2 2,b a 、  2 1,b b ，共12种， 其中事件A包含的基本事件有：  1 1,a b 、  1 2,a b 、  2 1,a b 、  2 2,a b ，共 4种， 由古典概型的概率公式可得   4 1 12 3 P A   . （2）解：记事件 :B 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题， 则事件 B包含的基本事件有： 1 1,a b 、 1 2,a b 、 2 1,a b 、 2 2,a b 、 1 1,b a 、 1 2,b a 、 1 2,a a 、 2 1,b a 、  2 2,b a 、  2 1,a a ，共10种， 由古典概型的概率公式可得   10 5 12 6 P B   . 16．(1) π 3 A  (2)5 13 【详解】（1） sin 3 cos 0a B b A  ， sin sin 3sin cos 0A B B A   ， 又  0, πB ， sin 0B  sin 3cos 0A A   ，即 tan 3A  . 又  0, πA ， π 3 A  . （2） π 3 A Q ，△ABC 的面积为 3， 1 sin 3 2 bc A  ，即 4bc  . 由余弦定理可得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， 即  22 213 3b c bc b c bc      ， 又 4bc  ， 5b c   . ABC 的周长为5 13 . 17．(1) π 3 (2)证明见解析 【详解】（1）连接 1AB，在正方体 1 1 1 1ABC D ABCD 中， 1 1AA CC∥ 且 1 1AA CC ，所以四边形 1 1AACC 为平行四边形， 所以 1 1AC AC∥ ，所以 1ACB 或其补角即为异面直线 1 1AC 和 1BC所成角， 又 1ABC△ 为等边三角形，所以 1 π 3 ACB  ，所以异面直线 1 1AC 和 1BC所成角为 π 3 ； （2）连接 BD，设直线 BD 交直线 AC 于点 O，连接 EO， 因为在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD 是正方形，所以 O为 BD 中点， 又因为 E为 1DD的中点，所以 1D B EO∥ ， 又因为 EO 平面 ACE， 1D B 平面 ACE，所以直线 1 / /D B 平面 ACE． （3）因为正方体的棱长为 1，所以 ED= 1 2 D�1= 1 2 所以,��−���=��−���= 1 3 ����.ED = 1 3 × 1 2 ×1×1× 1 2 = 1 12 故三棱锥 B-AEC 的体积为 1 12 18．(1) 0.030a  (2)第 75 百分位数为 84，平均数为74 (3)� = 62，�2 = 23 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为 1 得， 0.05 0.1 0.2 10 0.25 0.1 1a      ， 答案第 2页，共 2页 所以 0.030a  . （2）成绩落在[40,80)内的频率为0.05 0.1 0.2 0.3 0.65    ， 落在 [40,90)内的频率为0.05 0.1 0.2 0.3 0.25 0.9     ， 显然第 75 百分位数 (80,90)m ，由0.65 ( 80) 0.025 0.75m    ， 解得 84m  ，所以第 75 百分位数为 84. 平均数约为:  0.005 45 0.010 55 0.020 65 0.030 75 0.025 85 0.010 95 10 74             （3）由图可知，成绩在  50,60 的市民人数为100 0.1 10  ， 成绩在 60,70 的市民人数为100 0.2 20  ， 故 10 56 65 20 62 10 20 z      ，    2 22 10 2056 62 7 65 62 4 23 10 20 10 20 s               ， 所以两组市民成绩的总平均数是 62，总方差是 23． 19．(1) 3 3 ； (2)证明见解析； (3) 15 4 . 【详解】（1）在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD是平行四边形， 2, 1BC AB  ， 故 ABCD 的面积 1 32 2 sin 1 2 3 2 2ABCD ABC S S AB BC ABC          ， 而 PA 平面 ABCD，且 1PA  ，所以 1 3 3 3P ABCD ABCD V S PA    ； （2） ABCV 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cos60 1 4 2 3AC AB BC AB BC        ， 则 2 2 24AB AC BC   ，由勾股定理逆定理得 AB AC ， 由 PA 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， 则 AB PA ，而 , ,PA AC A PA AC   平面 PAC，因此 AB 平面 PAC， 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAC 平面 PAB . （3）在平面 ABCD内过C作CE AD 于 E， 由 PA 平面 ABCD，CE 平面 ABCD，得CE PA ， 而 , ,PA AD A PA AD   平面 PAD，则CE 平面 PAD， 又 PD 平面 PAD，于是CE PD ， 在平面 PAD内过 E作 EF PD 于 F，连接CF， 由 , ,CE EF E CE EF  平面CEF，则 PD 平面CEF， 又CF 平面CEF，因此CF PD ， CFE 即为二面角 A PD C  的平面角，而 1, 60CD CDA   ， 则 3 1, 2 2 CE DE  ， 2 2 1 1 1 1sin 2 2 2 51 2 PAEF DE PDA PD         ， 在Rt CEF△ 中， 90CEF  ， 2 2 3 1 2( ) ( ) 2 2 5 5 CF    ， 所以二面角 A PD C  的正弦值为 15sin 4 CECFE CF    .