26.1.2 反比例函数的图象与性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

26.1.2 《反比例函数的图象与性质》 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC的面积为2，则k＝2 D．若点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1 2．如图，点P是反比例函数y（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角边AB与反比例函数的图象交于点C，若点C为AB的中点，△ABO的面积为4，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 6．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，3）也在此函数的图象上，则a＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，已知双曲线经过等腰三角形ABO顶角的顶点A，过x轴上一点B作x轴的垂线交双曲线于点C，连接OC，若△ABO的面积为12，则△BOC的面积为（　　） A．6 B．7 C．12 D．21 8．已知反比例函数与一次函数y＝x+3的图象在第一象限交于点A，一次函数y＝x+3与y轴交于点B，若S△OAB＝3，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象分别交于M，N两点．根据图象信息，可得关于x的不等式的解集为（　　） A．x≥1 B．﹣3≤x＜0或x≥1 C．x≤﹣3 D．x≤﹣3或﹣3≤x≤0 10．如图过点O的两条直线分别交双曲线y于点A，C，交双曲线y于点B，D，现有以下结论：①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　 ． 12．如图，点A在双曲线上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C．若BC＝2AC，△AOB的面积为6，则k的值为 　 　 ． 13．如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，AB∥x轴，交y轴于点P．点Q是x轴上的动点，连结QA、QB，取QB的中点C，连结PC．若四边形APCQ的面积为7，则k的值为 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　 　 ． 15．如图，一次函数y＝x与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点An的坐标为 　 　 ． 三、解答题 16．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E． （1）由图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证； （2）若四边形OCED的面积为2，求k的值． 17．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在y轴正半轴上，矩形ABCD的面积为8，且D（2，5），E为CD的中点．反比例函数的图象经过点E． （1）求k的值； （2）观察图象，当时，直接写出x的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 19．已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数y＝x+b的图象经过该反比例函数图象上的点B（2，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）求一次函数图象与x轴的交点C坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，△POC的面积为3，求点P坐标． 20．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象相交于A（1，n），B（﹣2，﹣1）两点，与y轴相交于点C． （1）求反比例函数表达式和n的值． （2）观察图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围． （3）已知点，作直线CM，将直线CM向上平移b（b＞0）个单位长度后，与双曲线有唯一交点，求b的值． 参考答案 一、单选题 1．D 【解答】解：A．由于反比例函数图象在第二象限，因此k＜0，选项A不符合题意； B．由图象可知y随x的增大而增大，选项B不符合题意； C．由|k|＝S矩形OABC＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，选项C不符合题意； D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，选项D符合题意； 故选：D． 2．A 【解答】解：∵△POM的面积等于3， ∴|k|＝3， 而图象在第二象限，k＜0， ∴k＝﹣6， 故选：A． 3．A 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴，即|k|＝4， ∵图象在第一象限， ∴k＝4． 故选：A． 4．D 【解答】解：∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S△POA3， ∵点B在反比例函数y的图象上， ∴S△BOA2， ∴S△POB＝S△POA﹣S△BOA＝3﹣2＝1． 故选：D． 5．B 【解答】解：由条件可知，， ∴， ∴k2﹣k1＝6； 故选：B． 6．B 【解答】解：由条件可知． 又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0， ∴，解得k＝12． ∴反比例函数解析式为． ∵点P（a，3）在上， ∴， 解得a＝4． 故选：B． 7．A 【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，如图所示： ∵△ABO是等腰三角形，AB＝AO， ∴OD＝BD， 设OD＝BD＝a，AD＝b，BC＝t， ∴OB＝OD+BD＝2a， ∴点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（2a，t）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴k＝ab＝2at， ∴t， ∴BC＝t， ∵△ABO的面积为12， ∴S△ABOOB•AD＝12， ∴2ab＝12， ∴ab＝12， ∴S△BOCOB•BC6． 故选：A． 8．B 【解答】解：由题知， 因为反比例函数与一次函数y＝x+3的图象在第一象限交于点A， 所以k＞0． 将x＝0代入y＝x+3得，y＝3， 所以点B的坐标为（0，3）， 则OB＝3． 令点A坐标为（a，a+3）， 因为S△OAB＝3， 所以， 解得a＝2， 则a+2＝5， 所以点A的坐标为（2，5）． 因为点A在反比例函数的图象上， 所以k＝2×5＝10． 故选：B． 9．B 【解答】解：由图象可知：关于x的不等式的解集为﹣3≤x＜0或x≥1． 故选：B． 10．D 【解答】解：由反比例函数的对称性可知，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵点A，C在双曲线y，点B，D在双曲线y上， ∴AC与BD可能互相垂直，也可能相等，也能垂直且相等， ∴四边形ABCD可能是菱形和矩形，可能是正方形， 故选项①②③④正确， 故选：D． 二、填空题 11．8 【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴， ∵点A在双曲线y上， ∴四边形AEOD的面积为4， ∵点B在双曲线y上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为12， ∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8． 故答案为8． 12．6． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H． ∵AH⊥OC， ∴OB：OH＝BC：AC＝2， ∴S△AOHS△AOB＝3， ∴3， ∴k＝6． 故答案为：6． 13．﹣8． 【解答】解：连接OB，OA，PQ， 由条件可知△BOP的面积为， 则△BQP的面积为， ∵四边形APCQ的面积为7， ∴△APQ的面积为7﹣S△CPQ＝4， ∴， ∴， ∴k＝±8， ∵k＜0， ∴k＝﹣8． 故答案为：﹣8． 14．-6 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D， ∵AC＝AO， ∴CD＝DO， ∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵S△ABC＝12， ∴S△AOC6， ∴S△AODS△AOC|k|， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 15．（，）． 【解答】解：如图，过点A、A1、A2、A3…分别作AC⊥x轴，A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴…，垂足分别为C、C1、C2、C3…..． ∵直线OA的关系式为y＝x，OA⊥AB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OC＝AC， 同理可得△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形， 设OC＝a＝AC， 则点A（a，a），点A在反比例函数的图象上， ∴a×a＝1， 解得：a＝1（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设A1C1＝b， 则点A1（2+b，b），点A1在反比例函数的图象上， ∴（2+b）×b＝1， 解得：b1， ∴点A1的横坐标为211 设B1C2＝c＝A2C2， 则点A2（2c，c），点A2在反比例函数的图象上， ∴（2c）×c＝1， 解得：c， ∴点A2（，）； 同理可得：点A3（，（）； 点A4（，）； 点A5（，）； …..． ∴点An为：（，）； 故答案为：（，）． 三、解答题 16．解：（1）y1＞y2， 验证如下： 由反比例函数的图象可知k＜0， 当x＝﹣6时，；当x＝﹣2时，， ∵，k＜0， ∴y1﹣y2＞0， 即y1＞y2； （2）由条件可知四边形OCED是矩形， ∴OD•OC＝2， ∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）， ∴OC＝2，OD＝y2， ∴2y2＝2， 解得y2＝1， ∴B（﹣6，1）， 将点B（﹣6，1）代入得：k＝﹣6×1＝﹣6． 17．解：（1）由条件可知， ∴点C（2，1）， 由中点可知点，即点E（2，3）， ∴k＝2×3＝6． （2）联立解析式得： 解得：，， 如图： 由图象可知：当0＜x＜2时，． 18．解：（1）由题知， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， ∴点B的坐标为（4，2）． ∵D为BC的中点， ∴点D的坐标为（2，2）． 将点D坐标代入得， k＝2×2＝4， ∴k的值为4； （2）由（1）知， 反比例函数解析式为y， 将x＝4代入y得， y＝1， ∴点E的坐标为（4，1）． 令直线DE的函数解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线DE的函数解析式为y． 由得， x＝6， ∴点F的坐标为（6，0）， ∴． 19．解：（1）∵反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）由（1）可知：反比例函数为， 又∵B（2，m）在反比例函数的图象上， ∴，即B（2，1）． ∵B（2，1）在一次函数y＝x+b的图象上， ∴2+b＝1，解得：b＝﹣1， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣1， 令y＝0，则有x﹣1＝0， ∴x＝1， ∴C（1，0）； （3）由题意，设点，由（2）可知：OC＝1， ∴， ∴或， ∴或． 20．解：（1）将点A（1，n）代入一次函数解析式得， n＝1+1＝2， 则点A坐标为（1，2）． 将点A坐标代入反比例函数得， k＝2， 所以反比例函数表达式； （2）由函数图象可知， 当﹣2＜x＜0或x＞1，一次函数的图象位于反比例函数图象上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1； （3）当x＝0时，y1＝0+1＝1， 所以点C的坐标为（0，1）． 设直线CM表达式为y＝ax+c， 则， 解得， 所以直线CM表达式为y＝﹣2x+1， 将直线CM向上平移b（b＞0）个单位长度后表达式为y＝﹣2x+1+b， 因为反比例函数图象与平移后直线y＝﹣2x+1+b有唯一交点， 所以方程有两个相等的实数根， 整理得，2x2﹣（1+b）x+2＝0， 所以（1+b）2﹣4×2×2＝0， 解得b1＝3，b2＝﹣5（不合题意，舍去）， 所以b＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $