精品解析：广东梅县东山中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

东山中学高二期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，而， 所以. 2. 学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 3. 若函数在时取得极值，则a=（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数极值点处的导数值为0的性质来求解 【详解】，函数时取得极值，则， 即．当时，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 函数时取得极大值．故符合题意． 4. 某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（ ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A. 240 B. 280 C. 300 D. 320 【答案】C 【解析】 【分析】根据列联表确定卡方公式中各参数的取值，代入公式计算后对比已知的即可求得. 【详解】由表格可知，，，，，总样本量， 则， 解得. 5. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 存在，使得函数为奇函数 C. 任意 D. 函数有且仅有2个零点 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，通过导数判断函数单调性；B选项，取特殊值验证结论的存在；C选项，通过放缩，得到函数值的范围；D选项，通过函数值的符号，判断零点个数. 【详解】对于A，，因为，所以， 因此，故，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，令，则，令， 定义域为，关于原点对称，且， 故为奇函数，B正确； 对于C，时，时，时，，C正确； 对于D，时，，时，时，， 所以只有1个零点，D错误. 故选：D 6. 已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（ ）（参考数据：） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出增长率，再根据指数增长模型列出方程求解. 【详解】设该地区的某种群数量为，根据题意可得， 则， 设经过年增长为原来的2倍，则， 所以， ， 解得. 故选：B. 7. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】由，得函数是上的减函数，函数是上的增函数， 因此，， 所以. 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数的定义推导的关系式，对关系式两边求导得到满足的奇偶性相关等式；再结合导函数的轴对称条件推导的周期，最后利用周期与特殊点的导数值计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即， 两边求导，可得：，可得． 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替，可得. 将代入中，可得①． 用代替可得②． 由②-①可得：. 所以是周期为8的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得，所以，即．故选C． 【点睛】方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解. 二、多选题 9. 已知，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为4 D. 若，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由，，有， 则，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，若，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故B正确； 对于C，若，， 则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故C错误； 对于D，若，， 则，即， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故D错误. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 某校高三年级名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩服从正态分布（试卷满分为分）．统计结果显示，数学检测成绩介于分到分之间的人数为名，则此次检测中成绩不低于分的学生人数约为总人数的 C. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则 D. 若事件，满足，，且，则与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布方差公式与方差的线性运算性质，代入公式计算后对比数值判断正误，判断选项A；根据正态分布的对称性，利用均值的对称轴性质，将区间概率拆分，进而判断选项B；两点分布的性质与期望，结合 “概率和为 1” 与 “乘积条件” 列方程，结合大小关系筛选解，最终计算期望判断选项C；事件独立性的定义，利用概率的基本运算公式对题设等式变形，判断选项D． 【详解】选项A：，，故A错误； 选项B：，可得， 有，即成绩不低于分的学生人数约为总人数的，B正确； 选项C：随机变量X的分布列服从两点分布，所以， 又，解得或， 又，所以，则， 所以，C正确； 选项D：，即， 可得事件A与B相互独立，D正确． 11. 对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“k—利普希兹”条件，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则在上相对于不满足“2—利普希兹”条件 B. 若，，在上相对于满足“k—利普希兹”条件，则k的最小值为 C. 若，，在上相对于满足“4—利普希兹”条件，则a的最大值为 D. 若，，在非空数集D上相对于满足“1—利普希兹”条件，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“k—利普希兹”条件的定义，将各选项问题转化为不等式恒成立问题，再结合函数单调性对各选项求解即可判断结果. 【详解】对于A，因为的定义域为， 令，则，； 此时，即在上相对于不满足“2—利普希兹”条件，即A正确； 对于B，由题可知，均有成立， 当时显然成立； 不妨设，则， 又因为，所以， 所以，即，故，即B正确； 对于C，由题可知，均有成立， 即， 当时显然成立； 当时，则可得恒成立， 又因为，，所以，即， 所以a的最大值为，故C正确； 对于D，由题意可得非空数集D上恒成立， 当时显然成立； 不妨设，则， 所以成立， 令，则函数在非空数集上单调递增， 因为， 当时，，函数单调递增，单调递减， 又单调递增，所以在上单调递减， 这与函数在非空数集上单调递增矛盾，因此D错误. 三、填空题 12. 已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数有意义，需使，解得：， 因为在R上单调递增，由可得，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为. 13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，分别求出对应的概率，再求，最后根据求解即可. 【详解】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 14. 折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可确定，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果． 【详解】由题意得：长方形纸片的面积为，又， ， 当折痕如下图MN所示时， 设，则，解得：， ，即，当且仅当时取等号； 令 ，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又 ，故 ，故 ； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， ， 当时，取得最小值64， 当或5时，取得最大值89，则； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， 则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，故， ； 综上所述：折痕长的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的应用问题，涉及到求函数最值以及对勾函数二次函数的性质问题，综合性强，计算量大，要注意分类讨论的思想方法. 四、解答题 15. 设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值，并求该切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1），切线方程为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出及切线方程. （2）确定函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值及最小值. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，并求出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分析可知，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得，所以，解得，故， 由得，解得， 故， 当时，，故. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，等价于， 因为，， 所以，解得，故实数的取值范围是. 17. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为百人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 【小问2详解】 ，， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 【小问3详解】 记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 18. 已知定义域为的函数满足对任意、都有. （1）求证：是奇函数； （2）设，证明：对任意、都有； （3）当时，，求不等式的解集． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令，可得出的值，然后令，，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立； （2）在等式两边同时除以，可证得结论成立； （3）利用单调性的定义分析函数在上的单调性，并分析函数的奇偶性，由所求不等式结合函数在上的单调性、奇偶性可得出关于的不等式，即可解出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 对任意、都有， 令，得，故， 令，得，可得， 令，，得，故函数为奇函数. 【小问2详解】 因为，且，， 所以，，即. 【小问3详解】 设，则，所以， 因为， 所以，在上是减函数， 因为函数的定义域为，，且为奇函数， 所以，，即函数是偶函数， 由可得，则，解得且， 因此，不等式的解集为. 19. 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． （1）求，的值； （2）求的分布列； （3）记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 【答案】（1） （2） 分布列如下： 1 2 3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据为偶数时计算对应概率即可； （2）确定的可能取值，再分别计算每个取值对应的所有路径的概率和，进而求解分布列； （3）利用期望的线性性质表示，结合的递推关系，通过数学归纳法证明，进而完成证明. 【小问1详解】 表示的概率，从到共走步，要使， 需步中和的步数相等，即为偶数. ，共走步，需1步、1步： ， ，共走步，需2步、2步： . 【小问2详解】 是前5项中0的个数，偶数项不可能为0， 仅可能为0，故的可能取值为； ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 【小问3详解】 设变量，，则， 由期望可加性得：， 对任意，，化简得：， 即， 整理得：①， 归纳证明： 若，则，成立； 假设时成立， 则时： ，归纳成立； 将代入式①， 得：，原等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东山中学高二期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 3. 若函数在时取得极值，则a=（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 4. 某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（ ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A. 240 B. 280 C. 300 D. 320 5. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 存在，使得函数为奇函数 C. 任意 D. 函数有且仅有2个零点 6. 已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（ ）（参考数据：） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 已知，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题 9. 已知，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为4 D. 若，则的最大值为 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 某校高三年级名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩服从正态分布（试卷满分为分）．统计结果显示，数学检测成绩介于分到分之间的人数为名，则此次检测中成绩不低于分的学生人数约为总人数的 C. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则 D. 若事件，满足，，且，则与相互独立 11. 对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“k—利普希兹”条件，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则在上相对于不满足“2—利普希兹”条件 B. 若，，在上相对于满足“k—利普希兹”条件，则k的最小值为 C. 若，，在上相对于满足“4—利普希兹”条件，则a的最大值为 D. 若，，在非空数集D上相对于满足“1—利普希兹”条件，则 三、填空题 12. 已知函数，则函数的值域为____________． 13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 14. 折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm. 四、解答题 15. 设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值，并求该切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 18. 已知定义域为的函数满足对任意、都有. （1）求证：是奇函数； （2）设，证明：对任意、都有； （3）当时，，求不等式的解集． 19. 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． （1）求，的值； （2）求的分布列； （3）记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $