广东肇庆市2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测数学试题

绝密★启用前 2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项 符合题目要求的。 1.以下散点图中，两个变量具有正相关关系的是 2.平面内有A,B,C,D,E共5个点，以其中任意两点为端点的线段共有 A.5条 B.10条 C.15条 D.20条 3.已知等差数列{an}满足a2+a6=44+4,43+a4=7,则a,的值为 A.8 B.9 C.10 D.11 4.变量y和x的成对样本数据如下表： -2 -1 0 1 2 1 2 3 a 根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为)=x+3,则的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 5.一个袋中有8个大小相同的球，其中2个白球、6个黑球，从中有放回地随机摸球10次， 记摸出白球的个数为X,则X的方差为 A B. 15 C.2 D. 8 4 高二数学学业水平达标检测试题第1页（共4页） 某题库中有A,B,C生类题自，所古比例分别为)了，小明答对A,B,C生 癸题目的概率分别为，，，若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题 来自C类题目的概率为 1 3 A.10 B. 10 2-5 C. 5 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=4,S。=13S2，则S6的值为 A.1 B.3 C.9 D.13 8.已知函数f闭的定义域为0，+o,了（纠是/(）的导函数，满足2f)+对(x)=是， 且f(1)=0,则下列说法正确的是 A.f'(I)=0B.f(2)<f(I) C.f(x)有两个零点D.f(x)仅有1个极值点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某航空公司为优化服务，随机调查了100名乘客的晕机情况，所得数据如下： 性别 晕机 不晕机 合计 男 10 b atb 女 40 c+d 合计 a+c 70 100 n(ad-be)2 附：X=a+be+ada+cb+d 其中n=a+b+c+d. P(x2≥) 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 下列说法正确的是 A.6 d a+b c+d B.X2<6.635 C.根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为晕机与性别有关 D.根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分的证据推断晕机与性别有关 高二数学学业水平达标检测试题第2页（共4页) 10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项.已知某地区高二女生的“50 米跑测试数据（单位：秒）X~N(10.5,o2),且P(X≤12)=0.9.现从该地区高二女 生中随机抽取3人，并记这3人的测试数据落在(9,12)内的个数为Y，则下列正确的有 A.E(X)=10.5B.P(9<X<12)=0.8C.E(Y)=4D.P(Y>2)>0.5 11.已知函数f(x)=x3-3x2-6ax-1有两个极值点，则 3 A.当a=三时，f(x)的单调增区间是(-o°，-1)和(3，+∞) 2 B.f(x)的图象关于点(0，-1)对称 C.f(x)在区间(- 8 D上单调递诚，则a的取值范围是 ,too D.3弘e(-分w),使得有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2 12.在(x+二)的展开式中，常数项为一 (用数字作答). 13.一个车间有4台车床，其中A型2台，B型2台，现从中随机抽取2台，则至少有1 台A型车床的概率为】 14.某市教育局决定举办音乐、体育、美术三项才艺比赛.每所学校都需参加这三项比赛， 每位选手只参加一项，且每项至少有1人参加.树人中学决定从甲、乙、丙、丁、戊5 人中选出4人参赛，甲不参加美术项目的比赛，则不同的安排方法有 种（用 数字作答). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=-5,S5=-15. (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn的最小值. 高二数学学业水平达标检测试题第3页（共4页） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=-2xlnx+4x+1. (1)求函数f(x)的极值； (2)求证：f(x)≤2x+3. 17.（本小题满分15分) 记数列{an}的前n项和为Sn,已知a=3,Sn=nan-n(n-1). (1)求{an}的通项公式： ②记数列宁的前n项和为工证明：工， 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax-a-lnx,g(x)=-xe*+(a+1)x-2. (1)当a=2时，求函数f(x)在(1，(1)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 下图是一个类似于高尔顿板的实验示意图.将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每 次碰到障碍物后都等可能地向左或向右落下，最后落入A袋或B袋.小球落入A袋记1分， 落入B袋记2分.试验可以重复进行，累计得n分的概率记为Pn,各次试验结果相互独立. (1)求出P,P,R的值： (2)求Pn; (3)设En为n次试验累计得分的数学期望，bn=EnPn，求bn的最值. (参考公式： E(x)> ⊙ 高二数学学业水平达标检测试题第4页（共4页） 2025-2026学年第二学期末高二学业水平达标检测 数学参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符 合题目要求的， 题号 1 2 3 6 8 答案 A B B B A D D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 0 10 11 答案 BD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2413. 56 14.132 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)[方法一]：设等差数列{an}的公差为d,由S5=-15,a2=-5得， 5x4d=-15 5×a+ 2 .3分 a1+d=-5 解得： a1=-7 d=2 …5分 所以an=2n-9. …6分 [方法二]： 设等差数列{an}通项公式为an=km+b,易得2k+b=-5,由S5=-15,即54=-15，即 3k+b=-3,解得：k=2,b=-9,所以an=2n-9, (2)方法一]： 由题意知 1 S,=na +un-Dd …8分 =-7n+ n(n-Dx2 2 =n2-8n …10分 =(n-4)2-16 …12分 当n=4时，Sn取得最小值，为S4=-16. …13分 方法二1：由S,=na,+n1,12可得S,=n2-8m.当a,<0,即2n-90,解得1≤n≤4，所 2 以Sn的最小值为S4=4a,+6d=-16, 所以Sn的最小值为-16. 16.(15分)【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+o) …1分 f(x)=-2lnx-2+4=2-2lnx=21-lnx) …2分 令f(x)=0,即21-lnx)=0,解得x=e …3分 当0<x<e时，nx<1,则2(1-lnx)>0,即f(x)>0,所以f(x)在(0，e)上单调递增 当x>e时，lnx>1,则21-lnx)<0,即f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减 …5分 由上述单调性可知，f(x)在x=e处取得极大值 …6分 将x=e代入f(x)可得：f(e)=-2elne+4e+1=2e+1 …7分 因此，函数f(x)的极大值为2e+1,无极小值. ……8分 (2)要证f(x)≤2x+3,即证-2xlnx+4x+1≤2x+3,即证2xnx≥2x-2… x>0,即证nx≥1-1，即证nx-l+l≥0 …9分 令gx)=nx-1+1, ……10分 即证x∈(0，+∞)，g(x)≥0 …11分 8()=1-1=x-1 …12分 2 当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)在(0,1)单调递减 当x∈[1，+o∞)时，g(x)>0,g(x)在[1，+o)单调递增 …13分 ∴8()的最小值为g(=nl-1+=0 …14分 1 g(x)≥0，∴.证明成立 ∴.f(x)≤2x+3. …15分 17.(15分)【详解】(1)已知Sn=nan-n(n-1) ① 当n≥2时，Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)n-2)② …1分 由①-②得，an=Sn-Sn-1=nan-n(n-1)-(n-1)an-1+(n-1n-2) …2分 即(n-1(an-an-1-2)=0 …3分 由于n-1≥1，所以an-an-1=2(n≥2)， …4分 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列， …5分 所以an=3+2(n-1)=2n+1. …6分 当n=1时，a=2+1=3,上式也成立. …7分 所以，数列{an}的通项公式为an=2n+1. …8分 (2)由(1)知，数列{an}为等差数列，通项公式为an=2n+1, 所以等差数列{a,}的前项和为S,-n3+2n+)=na+2), …9分 2 则1=1) …10分 S,n(n+2)2 nn+2 所以 1 a-r哈++(+片】 …11分 n-1n+1' nn+2 1I'11-17+D = 2n+1n+222n+1n+2 …13分 =31+1 42n+7tm+2 因为n∈N,所以L >01 >0,则( 1+1)>0, …14分 n+1 n+2 n+1n+2 x-是中 3 …15分 18.(17分)【详解】 (1)当a=2时，f(x)=2x-2-lnx 则∫树=2-1， …1分 了0=2-1，则切线斜率为k=1 …2分 1 又f(1)=2-2-ln1=0,则切点为(1,0) …3分 所以，切线方程为y=x-1 …4分 (2)f(x)=ax-a-nx定义域为(0，+o), S@W)=a-1-@x-1 …5分 当a≤0时，∫)=心-1<0恒成立，故f)在0，∞)上单调递减， …6分 当a>0时，令∫>0得x>,当∫<0得0<x<, a 故/)在)上单调造减在（信加上单调造增。 …7分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，∞)上单调递减， 当a>0时，在0上单调递减，在+） 上单调递增： …8分 (3) [方法一】：由f(x)≥g(x)得 ax-a-Inxz-xe*+(a+1)x-2 即a≤xe-(lnx+x)+2 …9分 h(x)=xe*-(Inx+x)+2,(x>0) …10分 A h()=(x+1(e*-与)，Gx>0) …11分 令0的=e-1,(x>0 则t(x)在(0，+o)上单调递增 即h'(x)在(0，+o)上单调递增 …12分 又w9-3E-2)<0,0=24e->0 …13分 存在∈，)，使)=0，得e=上，即名=-1nx …14分 当x∈(0，xo)时，h(x)<0,h(x)在(0，xo)上单调递减 当x∈(x,+o)时，h'(x)>0，h(x)在(xo,+∞)上单调递增 …15分 所以h(x)在x=x处取得最小值h(x)=x,e-(nx。+x)+2=3…16分 所以a≤3 …17分 [方法二]：由f(x)≥g(x)得 ax-a-Inxz-xe*+(a+1)x-2 a≤xe"-(lnx+x)+2 令t=x+lnx,t∈R 原不等式可变成 a≤e-t+2 令h()=e-t+2 h'(t)=e-1 当t∈(-o,0)时，h(t)<0,h(t)在(-o,0)上单调递减 当t∈(0，+o)时，h(t)>0,()在(0，+o∞)上单调递增 所以h()的最小值为h(0)=3 所以a≤3 19.（17分)【详解】 （1设每次游戏得分为X,则P心X=)=是P心X=2习- …1分 R=PX=)=4 …2分 B=P(X=2)+PX=10P(X=1D=+3x3=13 44416 …3分 B=P(X=2PX-D+PX-D-P(X-2-P(X-1PX=DP(X-D …4分 (2)由题意得P=3 An1十-n-2 …6分 2-P=-22-R） 4 …7分 1 :B-R=i6*0 化.-P}是以二为首项，-二为公比的等比数列 …8分 16 B- …9分 R-R=(-B-)+(B-P-2)+(22-R3+t1 +16 =》2+6孕+字++6 - …10分 1+4 R=-r+号ae …11分 G)曲《1)得设每次游废得分为X,则PX=)-子，P心0X=2到=号 B0=1*2+2x44 15 4 …12分 由参考公式么小一立，得 E,=mB(X0= 5 …13分 6 由a)得2=-r+学ae) 6=8R=店x(-+4]n+(-Iy,0aeN) …14分 当n为奇数时，b,=n= 40*材 b2-b,=(n+2-n 4-0-4品)-2tl20 40+3 ，无极大值 15 所以当n为奇数时，bn单调递增，最小值为b= …15分 当n为偶数时，b,=n+ 40材 b2-b,=(n+2+n+3 4-a+品)-2-15n2>0 4043 所以当n为偶数时，6，调递增，最小值为6三2，无最大值 …16分 15 综上可得bn的最小值为二，无最大值. …17分 16 部分小题答案详解 6.【答案】A 【详解】设B为该生任选一道题且答对，A、A2、A3由分别表示该道题来自题库中A、 B、C类的愿，由题邀得，PA)=方PA,)兮P心A,)-君 PBA)-,PA)=3PBA,)=号 14.1.3,1、2_2 则P(B)=P(A,)P(BlA)+P(A,)P(BA,)+PA)P(BA,)=2X亏+3XS+G×号=3 所以此题来自C类题库的概率为 PAB)EPA,-P(A)P(BA× P(B) P(B) 2 10 3 7.【答案】D 【详解】方法一：设等比数列{an}的公比为9， 因为8，=138，所以0-92-13a,0-92,整理得1-g=131-g） 1-q 1-9 得(1-g2)1+g2+g4)=13(1-92) 得g4+g2-12=0, 解得g2=3或g2=-4（舍去) S4=S2(1+q)=4S2=4,所以S2=1,S6=13S2=13 方法二：利用S2构建前偶数项和，因为S。=S2(1+q2+9)=13S2,所以1+gq2+94=13, 得g+g2-12=0,下同前法. 方法三：利用S2,S4-S2,S。一S4也成等比数列. 8.【答案】D 【详解】：2对0+f-, .[x2f(x)7=[Inx+c] 8 f(1)=0,..c=0,..x2f(x)=Inx f)上，0=0，/四只有-个零点x】 2产>0，所以B、C错， 又f2)=h 又2网+对6闭=子，将1代入得了四=1，所以A错 又)=1-21血x,显然x=E是问的极大值点，所以D正确。 x3 10.【答案】ABD 【解析】选项A:因为X服从正态分布N(10.5,o2),由题意知E(X)=10.5,A正确： 选项B:因为P(X≤12)=0.9，则P(X212)=P(X≤9)=0.1，P(9<X<12)=1-0.1-0.1=0.8, B正确： 选项C:因为E()）=3×0.8=2.4≠4，C错误。 选项D:3人“50米跑”的测试数据符合二项分布Y~B(3,0.8),P(Y>2)=0.83=0.512>0.5, D正确；故选ABD。 11.【答案】ACD 【解折】选项A:当a=子时，f问=x2-3x2-9x-l f”(x)=3(x2-2x-3)=3(x+10(x-3) 当x∈(-∞，-1)U(3,+∞)，f'(x)>0,f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)单调递增，A错误； 选项B:三次函数的对称中心是x= b三-3=1，B错误： 3a3 8 2.4 -学-3+4-6a≤0 a≥ 9 8 选项C:由f"(x)=3x2-6x-6a, 3 ∴.a2，C正确。 9 f'(1)=3-6-6a≤0 2 选项D:由f=0得，6a=x-3x-1（x≠0) 令g=-3x-,则g网=2x-3+之-22-3n+1x+x-r0 2 上2 9 当xe(-0,-之时，8<0,86y在(-0，之单调递减 当x∈(-2,0u0,+)时，8>0,8)在(-20)和(0+o)上单调递增 1、15 即g-2=4 4 所以，当6a= 4,即a= 1 二时，y=6a与g(x)有两个零点，即f(x)有两个袋点，D正确。 故选：ACD. 13.【答案】名 【详解】由题意，得X的所有可能取值为0,1,2. 心x0等合心x-0器-子P心-小等若 c6 C23 解法一：由(1)得，至少有1台A型车床的概率为 PX≥0=PX=+Px-2-号+若名 :至少有1台A型车床的概率为后 解法二：由（1)得，至少有1台A型车床的概率为 P(X≥)=1-P(X=0)=1-1= 66 5 .至少有1台A型车床的概率为 6 14.【答案】132 【详解】根据题意，学校从5人中选出4人去参加3项比赛，每位选手只参加一项，且每项 至少有1人参加，因此进行分类： ①若选出的4人中不含甲，在这4人中任意取2人进行拥绑，则不同的安排方法共有 C4=36(种). ②若选出的4人中含有甲，则在剩余的4人中再抽取3人，共有C3=4种方法，若甲和其中1 人去参加同一项比赛，则共有CC4及=12种方法；若甲单独一人去参加某一项比赛，则共有 CC了及=12种方法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得，不同的安排方法 共有4×(12+12)=96（种），综上所述，不同的安排方法共有36+96=132（种）。 10