精品解析：广东东莞市两校联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年两校高二年第二学期数学期末考试试题 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数、组合数公式计算可得. 【详解】对于A，因为，所以成立，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：B． 2. 通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，另一种情形是两次正确一次不正确，分别求出相应的概率，然后利用对立事件的概率公式求出判错一个信号的概率即可． 【详解】解：得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，概率为， 另一种情形是两次正确，一次不正确，概率为 判错一个信号的概率为，故选：B. 【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，以及对立事件等有关知识，属于中档题． 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的四则运算法则，求导即可得出答案. 【详解】对于A项，因为，故A项错误； 对于B项，因为，故B项错误； 对于C项，因为，故C项错误； 对于D项，因为，故D项正确. 故选：D. 4. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 0.035 B. 0.14 C. 0.10 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式列式求值. 【详解】抛掷两枚骰子，基本事件有个，其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个. 所以学生回答第一、第二个问题的概率均为. 第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为. 设该地区中学生吸烟人数的比例约为， 由题意：，解得. 结合选项，最接近的是（选项B） 故选：B 5. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，再令即可求解. 【详解】由， 两边同时求导得， 令，则. 6. 已知定义在上的函数f(x)，f’(x)是它的导函数，且对任意的，都有恒成立，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求函数导数，利用函数单调性即可得大小关系． 【详解】由题得，即，令，导函数，因此g(x)在定义域上为增函数．则有，代入函数得，由该不等式可得，故选D． 【点睛】本题考查构造函数和导函数，属于常见题型． 7. 已知任意正整数都可以表示为4个自然数（可重复）的平方和．设，其中，则有序数组的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】经过分析发现或，利用排列组合即可计算出结果． 【详解】∵， ∴， ①， 有序数组的个数为； ②， 有序数组的个数为； 故满足条件的有序数组的个数为， 故选：B． 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：A． 【点睛】方法点睛： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（ ） （参考数据：①；②； ③） A. 这次考试成绩超过100分的约有500人 B. 这次考试分数低于70分的约有27人 C. D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质和原则求出和即可求出成绩超过100分和低于70分的人数判断A、B；由正态分布的对称性和原则可求出，进而判断C；利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式结合A选项即可求解判断D. 【详解】由题意可知，对于选项A，，，则， 则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误； 对于选项，， 所以分数低于70分的人数约为，即约为27人，故选项B正确； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下： ①恰好2人时概率为； ②3人均超过100分时的概率为， 则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误. 故选：ACD. 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为32 B. 常数项为80 C. 项的系数为 D. 展开式一共有21项 【答案】AC 【解析】 【分析】由多项式展开式令代入计算判断A；令或或，计算可判断B；令或，计算可判断C；由的指数取值范围求解可判断D. 【详解】由题意得多项式展开式的通项如下， 为 ， 即， 对于A，令得， 所以各项系数之和为32，故A正确； 对于B，常数项中的次数为0，则或或， 则，故B错误； 对于C，令，得或， 所以项为， 故项的系数为，故C正确； 对于D，因为，的指数为的整数， 化简可得， 所以展开式一共有9项，故D错误； 11. 已知函数，则（ ） A. 在上有6个零点 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期是 D. 的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，令，求解即可； 对于B，只需判断是否成立即可判断； 对于C，只需判断是否成立即可判断； 对于D，由题意可得，令，则有，利用导数求出在上的值域即可得的值域，即可判断. 【详解】解：对于A，令，则有或， 由，可得，又因为，所以解得或； 由，又因为，所以解得或或或或； 所以在上有7个零点，故错误； 对于B，因为，， 所以有，所以的图象关于直线对称，故正确； 对于C，因为， 所以不是的最小正周期，故错误； 对于D，因为， 令， 则有， 所以， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 而， 所以 即的值域为，故正确. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：如果，则的图象关于对称； 如果对定义域内的任意一个，都有，则的周期为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且），若存在2个零点，则a的一个取值为__________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】将函数的零点个数转化为函数与图象交点个数，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】函数的零点个数可以看成函数与图象交点个数， 当时，函数与图象只有一个交点，不符合要求； 当时，，，所以函数在处切线的斜率为，所以，解得或. 故答案为：2（答案不唯一）. 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将因式分解可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算可得与的展开式的通项公式，，计算后，令的次数分别为与进行计算即可得. 【详解】， 对，有，， 对，有，， 则， 令，可得，或，或，， 有， ， ， 令，可得或或或或， 有， ， ， ， ， 故的展开式中的系数为： . 14. 已知函数，都有，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则已知变为，构造函数，则在上是单调递增函数，则恒成立，分离参数，进而可得出答案. 【详解】由，不妨设，则， 所以， 可变形化简为， 构造函数，则， 所以在上是单调递增函数， 所以恒成立， 即在上恒成立， 当时，， 又时，，而，所以， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中． （1）若函数在处取得极值，求实数a的值； （2）在（1）的结论下，若关于的不等式，（），当时恒成立，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求，根据题意得到，进而得到a的值，并验证即可； （2）结合（1）化简，并参数分离，从而构造函数，求导，根据导数的符号判断函数的单调性，即可得到函数的最小值，进而得到的值． 【小问1详解】 由，，则， 又函数在处取得极值， 则，解得． 若时，， 则当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在处取得极小值， 故． 【小问2详解】 当时，， 又，， 则， 整理得，， 令，， 则， 则在上单调递增， 所以， 即， 又，故． 16. 甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． （1）甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； （2）甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； （3）若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算两颗骰子点数相等的概率即可得到两颗骰子点数不同的概率. （2）设掷一次两颗骰子的点数和为，则，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得结果. （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得甲第轮获胜的概率为，由无穷等比数列求和公式计算可得结果. 【小问1详解】 甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为 所以两颗骰子点数不同的概率为. 【小问2详解】 甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表： 所以. 另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则. 则； ； ； ； ； . 所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 . 【小问3详解】 由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为 . 若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列. 因为， 所以甲最终获胜的总概率为. 17. 从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式，并求出. 【答案】（1） 1 2 3 数学期望为 （2）①，，；②， 【解析】 【分析】1）由离散型随机变量的分布列可解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式. 【小问1详解】 的所有可能取值为1，2，3.则 ；；. 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 数学期望. 【小问2详解】 若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为. 则有. 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”. 所以 . 即. 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 即次传球后球在甲手中的概率是. 18. 在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． （1）若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； （2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； （3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 【答案】（1）数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7． （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得. （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可. （3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”. 【小问1详解】 根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得： 数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”； 数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7． 【小问2详解】 设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件． 若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素， 每列有3个元素，且，则． 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和． 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾； 若和不同行也不同列时，不妨设， 根据定义可得：， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的． 所以． 答：是“数组”的概率为． 【小问3详解】 根据题意的可能取值为（共个取值）， 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： …… 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 由这些计数无重复，故的元素个数为 注意到以上计数具有对称性，即： …… 所以利用“倒序相加”法我们有： ，，所以． 19. （1）已知，求的最大值与最小值； （2）求函数的单调区间. （3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值，最小值1； （2）当时，在单调递减； 当单调递减，单调递增 （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）求导，再分和求解； （3）解法一：把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；解法二：令，求导，对进行分类讨论，判断函数单调性及最大值，从而求得的范围，结合有唯一整数解，进一步求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得的变化情况如下表所示. 1 + 0 - 单调递增 单调递减 1 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，而， 所以，所以为的最小值 （2）且， 当时，在单调递减； 当单调递减，单调递增 （3）解法一：因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值， ， 所以时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1，所以，所以的取值范围为； 解法二：令，由题意可知有唯一整数解， ，当时，，所以在单调递增， 而，所以，与题意矛盾； 当时，由可得或（舍去）， 当时，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以时，取最大值为， 由题意可知，解得， 因为，所以当，即时， 由有唯一整数解知，解得， 若，由在单调递增知，矛盾， 所以，由在单调递减可知， 所以符合题意； 当时，， 由在单调递减，知，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：（3）中的解法二：令，求导，分时，易得在单调递增，结合得出矛盾，当时，得到的单调性，再分而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年两校高二年第二学期数学期末考试试题 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 0.035 B. 0.14 C. 0.10 D. 0 5. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078 6. 已知定义在上的函数f(x)，f’(x)是它的导函数，且对任意的，都有恒成立，则 A. B. C. D. 7. 已知任意正整数都可以表示为4个自然数（可重复）的平方和．设，其中，则有序数组的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（ ） （参考数据：①；②； ③） A. 这次考试成绩超过100分的约有500人 B. 这次考试分数低于70分的约有27人 C. D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为32 B. 常数项为80 C. 项的系数为 D. 展开式一共有21项 11. 已知函数，则（ ） A. 在上有6个零点 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期是 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且），若存在2个零点，则a的一个取值为__________． 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知函数，都有，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中． （1）若函数在处取得极值，求实数a的值； （2）在（1）的结论下，若关于的不等式，（），当时恒成立，求的值． 16. 甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． （1）甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； （2）甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； （3）若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 17. 从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式，并求出. 18. 在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． （1）若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； （2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； （3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 19. （1）已知，求的最大值与最小值； （2）求函数的单调区间. （3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $