精品解析：河北省廊坊市三河市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项：1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答卷，答卷前，务必将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，， D. 2，， 3. 如图，菱形花坛沿着对角线修建了两条小路和，若花坛的面积为，小路的长为，则小路的长为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象过第一、二、四象限 C. 若点和点在直线上，则 D. 若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在第三象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 8. 如图，以数轴的单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为边上的中线，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知最简二次根式与能合并，则__________． 14. 为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 94 85 95 若把读、听、写的成绩按、、计入总分，则小丽的个人总分为________分． 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 16. 如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 已知一次函数． （1）补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … 0 … （2）结合函数图象，方程的解为________． （3）求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 20. 某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）由图像知，__________，__________，__________． （2）若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． （3）若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 21. 按教育部2026年2月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于2h．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：组：组：组：．请根据上述信息解答下列问题：     （1）本次调查的人数是__________人； （2）请根据题中的信息补全频数分布直方图； （3）本次调查数据的中位数落在_________组内，其所在扇形的圆心角的大小为_________； （4）若该校共有2000名学生，每天在校综合体育活动时间不低于2h的人数． 22. 如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 运动生理学研究表明：青少年在中长跑训练中，在一定程度下运动心率（次/分钟）与运动时间（分钟）近似满足一次函数关系（已知运动心率不超过180次/分钟）．某学生在匀速跑步时测得数据如下： 运动时间（分钟） 3 6 9 12 运动心率（次/分钟） 115 130 145 160 （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）若该学生心率不低于140次/分钟且不超过165次/分钟为有效训练区间，求此次训练中有效训练的时长； （3）该学生运动16分钟后停止训练，心率立即开始匀速下降，且下降过程也满足一次函数，经过4分钟心率为140次/分钟．若要完全恢复至静息心率100次/分钟，直接写出从停止运动到完全恢复共需几分钟？ 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． （1）求证：平行四边形是菱形； （2）若，连接、、， 求证：①； ②是等边三角形． （3）若，，，是中点，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项：1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答卷，答卷前，务必将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：二次根式的定义为，形如的式子是二次根式. ∵ 选项A中式子根指数为3，属于三次根式，不满足二次根式定义，∴ A错误. ∵ 对任意实数，都有，∴ ，该式子根指数为2且被开方数恒为正，满足二次根式定义，∴ B正确. ∵ 选项C中被开方数，式子无意义，∴ C错误. ∵ 当时，无意义，不满足二次根式要求，∴ D错误. 2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，， D. 2，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，通过验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形即可． 【详解】解：A、三边长为3，4，5，最长边为5， ， 能构成直角三角形， B、三边长为5，12，13，最长边为13， ， 能构成直角三角形； C、三边长为，，，最长边为， ， 不能构成直角三角形； D、三边长为2，，，最长边为， ， 能构成直角三角形． 3. 如图，菱形花坛沿着对角线修建了两条小路和，若花坛的面积为，小路的长为，则小路的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设交于， ， 在菱形中，，且相互平分， ， ∴． 4. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象过第一、二、四象限 C. 若点和点在直线上，则 D. 若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则， ∴． 6. 若点在第三象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限内点的横坐标、纵坐标均小于0，利用一次函数的图象进行解答即可． 【详解】解：点在第三象限， ，， 一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 7. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【详解】解：箱线图中，甲班分数最大值与最小值的差值以及上四分位数与下四分位数的差值最小，数据最集中，方差最小． 8. 如图，以数轴的单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可． 【详解】解：如图，设表示数1的点为点C， ∵正方形的边长为1， 正方形对角线的长为， ， ∴点A表示的数是． 9. 如图，在中，，为边上的中线，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴是的中位线， ∴ 10. 如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式转化成，结合函数图象，找出直线在直线下方（含交点）时对应的x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 结合函数图象可知：当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集为． 11. 如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，，，根据，，得出，，结合，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， 解得． 14. 为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 94 85 95 若把读、听、写的成绩按、、计入总分，则小丽的个人总分为________分． 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数求解即可． 【详解】解：． 则小丽的个人总分为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 16. 如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，得到，根据垂线段最短，可得当时，最小，再结合，即可求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 19. 已知一次函数． （1）补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … 0 … （2）结合函数图象，方程的解为________． （3）求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）填表如下： … 0 1 1.5 … … 3 1 0 … 函数图象如图： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把的值代入函数解析式求解，即可填表，然后描出两点，连线即可作图； （2）直接利用图象法求出方程的解即可． （3）根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 当时，，解得 填表见答案； 由两点即可作出函数图象； 【小问2详解】 解：由图象可知，方程的解为 【小问3详解】 解：直线与两坐标轴围成的三角形的面积 20. 某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）由图像知，__________，__________，__________． （2）若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． （3）若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段收费的定义和图像信息来确定、、的值即可． （2）根据待定系数法即可求解． （3）根据已知的车费判断行驶路程是否超过起步路程，然后代入相应的关系式求解即可． 【小问1详解】 解：从图象可知，当行驶路程为到千米时，乘车费固定为元， 此时对应的乘车费为元，即， 当乘车费开始变化时，对应的行驶路程就是的值，从图像可得， 从图像可知，当行驶路程为千米时，乘车费为元； 当行驶路程为千米时，乘车费为元， 那么超过千米的部分行驶了千米，费用增加了元， 所以每千米收费元． 【小问2详解】 解：当时，设与之间的关系式为． 将与代入关系式， 则有，解得， 则与之间的关系式为． 【小问3详解】 解：当时，可知行驶路程已超过起步路程， 则，解． 答：出租车共行驶了千米． 21. 按教育部2026年2月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于2h．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：组：组：组：．请根据上述信息解答下列问题：     （1）本次调查的人数是__________人； （2）请根据题中的信息补全频数分布直方图； （3）本次调查数据的中位数落在_________组内，其所在扇形的圆心角的大小为_________； （4）若该校共有2000名学生，每天在校综合体育活动时间不低于2h的人数． 【答案】（1）400； （2） C组人数为（人）． （3）C组，； （4）1400． 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可求出总人数． （2）用总人数减去其他各组人数可得C组人数，即可补全频数分布直方图． （3）根据中位数的定义确定中位数所在组，再计算该组所在扇形的圆心角． （4）用样本中体育活动时间不低于的百分比估计总体人数． 【小问1详解】 解：A组人数为40人，占， 本次调查的人数为（人）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：总人数为400人， 中位数是第200和第201个数据的平均数， A组40人，B组80人，C组240人， 第200和第201个数据都在C组， 中位数落在C组， C组所占百分比为， 所在扇形的圆心角为． 【小问4详解】 解：样本中体育活动时间不低于的人数为（人）， 所占百分比为， 估计该校2000名学生中不低于的人数为（人）． 22. 如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 23. 运动生理学研究表明：青少年在中长跑训练中，在一定程度下运动心率（次/分钟）与运动时间（分钟）近似满足一次函数关系（已知运动心率不超过180次/分钟）．某学生在匀速跑步时测得数据如下： 运动时间（分钟） 3 6 9 12 运动心率（次/分钟） 115 130 145 160 （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）若该学生心率不低于140次/分钟且不超过165次/分钟为有效训练区间，求此次训练中有效训练的时长； （3）该学生运动16分钟后停止训练，心率立即开始匀速下降，且下降过程也满足一次函数，经过4分钟心率为140次/分钟．若要完全恢复至静息心率100次/分钟，直接写出从停止运动到完全恢复共需几分钟？ 【答案】（1） （2）5分钟 （3）8分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格中两组已知点的坐标求解一次函数解析式，再结合运动心率不超过180次/分钟的条件确定自变量的取值范围； （2）根据有效训练的心率范围列出不等式，求解得到x的取值区间，计算区间长度即可得到有效训练时长； （3）先求出停止运动时的初始心率，再用待定系数法求出心率下降过程的一次函数解析式，代入静息心率的数值计算即可得到所需时间． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 选取表格中，代入解析式得， 解得， 由题意得运动心率不超过180，即， 解得， 结合实际意义得， 因此与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得有效训练满足， 代入得， 解得， ∴有效训练时长为（分钟）， 答：此次训练中有效训练的时长为5分钟； 【小问3详解】 解：运动16分钟停止训练时， 将代入得初始心率为（次/分钟）， 设停止训练后经过分钟的心率为，可得与满足一次函数关系， 将和代入得， 解得， 即， 令，得， 解得， 答：从停止运动到完全恢复共需8分钟． 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． （1）求证：平行四边形是菱形； （2）若，连接、、， 求证：①； ②是等边三角形． （3）若，，，是中点，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）得，四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线证明，进而证明四边形平行四边形，进而即可求证； （2）①由（1）得，四边形是菱形，进而判定是等边三角形，即可解答；②根据题意，，进而判定是等边三角形； （3）连接，，，判定四边形是矩形，进而判定四边形是正方形，进而证明，证明是等腰直角三角形，从而求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∵平分， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $