安徽省太和中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二年级期末考试数学答案 一、单项选择题 1.D 2.B 3.D【详解】对于A,Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确： 对于B,因为c与山之间的与密度曲线围成的面积S,>c,凸与密度曲线围成的面积S2, P<c)-8P(Xc)P(X<cP(g),正确： 对于C,“4<4,甲种茶吉每50克超过4的概率P:PX4)>号，正确： 对于D,由B知：P(Xc),P<c)-+SP(Xc)+PY<c)=1+8-81, 错误； 4.C【详解】当n=1时，4=S,=a+b+1, 当n≥2时，a.=S。-S=m2+bn+1-a(0n-12+b(n-1)+1=2amm-a+b, 当n≥2时，ath-a=2a(n+1)-a+b-(2an-a+b)=2a, 2a>0 「a>0 要使数列{a}为递增数列，则 >g'即 a+b>a+b+1'解得a>1 则一定满足a>0且4>4，数列{a,}递增，充分性成立： 若a, 若数列a}递增，则必有a>行必要性成立，所以a>号是数列0，}为递增数对的充要 条件 5.A【详解】将圆C:x+y+4x-1=0化为(x+2)+y2=5,圆心C(-2,0),半径r=√5， 因为(-1+2)+12<5，所以点P(-1,1)在圆C内，记圆心C到直线1的距离为d,则 AB=25-d,结合图可知，当d=CP,即CP⊥1时，AB取得最小值， 因为CP=√-1+2)+1P=√2，所以AB的最小值为25-2=2W5 6.B【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：C×A×C=4×4×6=144, AS 有4对相同的字母相邻的排法有：A=24,8个字母的全排列为：A×A×A×A =2520, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：2520-144-24=2352 7。【详解】因为a0,所以7：活放/得)1)2xo二+p小2mp, 故-2如g=5,即mp=5,因为刘4受所以p=子放=2aam-引】 2 则要2r≤0-<3，解得7≤0<10，即ω的取值范围是[7,10)， 33 &A【解1设双曲线左在点《<0，照物线雅授=一号，由在准线上得（号 即p=2c,过耳作渐近线y=名x的垂线，垂足M,垂线方程为y=名+)， y=- (x+c) b 解得x=-，所以山 a ab 与渐近线联立 b c 由N=2W知M为N中点，故N c2-2a 2ab c, 代入抛物线y2=2px得 4a2b2 4c.c2-2,化简得e-302+1=0,设u=e2>0,则方程化为2-3知+1=0， 解得4=3社5，由于双曲线离心率e>1,故>1，所以u=3+5 2 2 因为3+⑤ 5+1 2 2 因此e=5+1 2 二、多选题 9ACD【详解】对于A,=号(42+53+66+m+109)=(270+m), 由回归直线方程=16.1r+5.6,且元=4，则(270+m=16.1×4+5.6,解得m=80,故A 正确： 对于B,由数据可知：万=2+3+4+5+6=4T=42+53+66+80+109 5 经验回归方程经过点(，)，即经验回归方程过点(4,70)，故B错误： 2 对于C,当x=9时，=16.1×9+5.6=150.5，故预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约 为151台，故C正确： 对于D,对于回归直线方程)=16.1x+5.6,令x=5,可得=16.1×5+5.6=86.1，所以5月 销售量的残差m-少=80-86.1=-6.1，故D正确. 10.ABD【详解】对于选项A,因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥BD,AB⊥CD,由 CD=2AB=2BC=4,AD=2W6,可得BD=2W5,满足BC2+CD2=BD2,所以BC⊥CD, 所以CD⊥平面ABC,故A正确： 对于选项B,AD是RtAABD和Rt△ACD的公共斜边，所以AD中点即三棱锥A-BCD外接球 的球心0，所以球0的半径为R=6,故球0的体积为-xW6=8V6x,故B正确： 对于选项C,因为CD⊥平面ABC,所以∠CBD即直线BD与平面ABC所成的角，所以 如上》5，故c错碳 对于选项D,设点O到平面BMN的距离为h,平面BMN被球O所截的截面圆的半径为r, 因为N是△ACD的中位线，所以点O到平面BMN的距离等于点C到平面BMN的距离，故 V。-aw="。-Y=VN-w,易求得BM=√2，MN=V6,BN=2W2,所以SAaw=V5,即 }5青店x2,解得h-25,所以P=R--号，所以校面圆的面积为 32 3 =2-,放D正确 11.ACD【详解】A.由图可知，Pg≤oP+osOP+pC=1+√2，当点P,O,C三点共 线时，等号成立，所以PQ的最大值为1+√2，故A正确： B.如图，建立平面直角坐标系，O(0,0),B(0,-1),A(0,1),D(1,-1),C(1,1),P(cos0,sin8), 6eπ3玩 2’2 x+v=cose 所以(cos8,sin8)=x(1,0)+y(1,2),所以 2y=sine 所以x+y=cos0∈[-1,0]，故B错误； C.设Q在线段AC上时，设2(x,1),0≤x≤1，Pg=(x-cos6,1-sinB),BD=(1,0), 所以PO·BD=x-cos0≤1-（1)上2，所以PO.BD的最大值为2， 当点Q在线段BC上时，BC所在直线方程为y=2x-1,设Q(x,2x-1),0≤x≤1， P0=(x-cos0,2x-1-sin0),P西BD=x-cos6≤1-（1)=2，所以P可BD的最大值为2， 3 综上可知，P可.BD的最大值为2，故C正确： D.设9在线段AC上时，B②≥2，BP≤2，当点P,2与点A重合时，BP=BQ, 此时PQ在BA上的投影向量模长为0， 当点2在线段BC上时，PO=(x-cos6,2x-1-sin6),BA=(0,2), BP=(cos8,si血6+1)，B0=(x,2x),由BP=BO可知， cos0+(sin0+1)=v5x,x= 2(1+sin8) PO在BA上的投影向量模长为 Pe.B4 2(2x-1-sine) 2(1+sin8) BA 2 =2x-1-sinel 5 2(1+sin8) =t∈0 25 5 1+sim6= 2 4v5 5 所以的值域是0，打： 综上可知，PO在BA上的投影向量模长的取值范围 是 2 故D正确， 三、填空题 12.-120 13.(-2026,-2025) 【详解】因为四+f①、0且x∈(0，+)，所以f')+2y(四)>0， 2x 设g(x)=x2f(x),则g'(x)=x2∫'(x)+2yf(x)>0,所以y=g(x)在(0，+o)上单调递增， 对于不等式(x+2020)f(x+2020<f0 ,整理得(x+2026)f(x+2026)<12f(1), x+2026 即g(x+2026)<g(1),根据函数的单调性及其定义域得0<x+2026<1, 解得-2026<x<-2025,所以原不等式的解集为(-2026，-2025). 149 【详解】随机变量X的所有可能值为2,3. P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=Cp1-p)=-2p2+2p, 4 当号p1时、令1=-20-20=-20-当+@寺 2 则E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)=21-t)+3t=t+2, E(X2)=4P(X=2)+9P(X=3)=40-t)+9t=5t+4, 因t2c0=80r)-B00r=6+0-+2y=-f+ie09 四、解答题 15.(1)由S= 2-多s4,得cs4(-m, 因为s40,所以c-2-,化筒得(b+6-小=0，放五-c (2)由(1)知b=c,因为AB.4C=-1,所以B.4C.cos4=-1,化简得cosA= 又因为a=Vb,所以cos4=尽+c-a_B+B-31 2bc 2b2 2 所以合-分放6=5，所以aC的面积S-4 2 16.(1)因PA=PB,，点O是AB的中点，则PO⊥AB, 因平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB, 故PO⊥平面ABCD,又CDC平面ABCD,故PO⊥CD (2)如图，取CD中点E,连接OE,由(1)知PO⊥平面ABCD, 因为O为AB的中点，E为CD的中点，AD//BC,可得OE/IBC, 因∠AC=交，故OE LAR,则可分别以O死，O正，O驴为x,,:轴正方向建立空间直角 坐标系. PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3, ZA 则C(1,10),P(0,0,2W2),D(-1,3,0), 于是，CP=(-1,-1,22),0p=(0,0,22),0D=(-1,3,0), 设平面POD的一个法向量为i=(x,y,=), [0p.i=22z=0 则 故可取元=(3,1,0)， OD.=-x+3y=0 CP.n 设直线CP与平面P0D所成角为6，则sim6=cos(CP, -3-12 c V10×W105 17.【详解】(1)设要摸n次球，才能使摸到红球的概率不小于 81 由题意得」 所以≥4，即至少要摸4次球，才能使摸到红球的概率不小于 65 81 (2)由题意可知，X的可能取值为0,2,4,6,14. Px-o叭1-8 (x-3)-c P(=-1-品 Px==3》3分x==图立 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 14 8 4 2 1 27 9 27 27 27 P E(X)=0x 4 2xg+4 27+6 27+l4 170 27-27 ad2=b2+c2, 「a=2, 18.【详解】(1)由题意知{2b=25,解得b=√5， -1 c=1, La 2 则椭圆C的方程为+ 4+3 =1. P. (2)不妨先设直线22：x=-2,如图， :△QQQ3为正三角形， 不妨设2,0分别在x轴的上、下方，则直线2,2的斜率为5 「x2,y2 设直线22：x=V3y+t,t>0,联立 4+31=13y+6N5y+3-12=0. x=v3y+t :直线92Q与椭圆C相切， △=108-12×13×(-4)=0，解得t=V13,即直线0Q过点(N13,0), 6 同理可得，直线0Q过点(13,0)，Q(13,0): 此时9,92关于x轴对称，△9993的中心在x轴上，坐标为 同理，当直线222为x=2时，由对称性可知，△22Q3的中心坐标为 综上，△QQ2Q3的中心坐标为 3-4,0 3 (3)由(2)可知，当三条切线马，2，中有一条直线斜率不存在时， △2223的中心不是点O. 当三条切线4,1，的斜率都存在时， P 设R(5),乃(6，)，乃(53)，片≠0， 设l:y=k(x-x)+乃， →3x2+4kx2+6y-)+2k,]-12=0, y=k(x-x)+y 整理得(4k2+3)x2+8歇(4-)x+4(3-)-12=0, ·△=64k(4-)2-16(4k2+3(04-s)-3=0, 4k2-(4-}+3=0,:(4-)k2+2xk+3-=0, :于+等=1，y2+2y+子=0. 43 (4yk+3x)》=0,k=-35, 44 .1:3x+4yy-12=0, > 同理可得，☑3：3x2x+4y2y-12=0,13:3xx+4y3y-12=0, 假设点O是△9Q23的中心，则点O到l,12,1的距离相等， 12 12 12 9x+169+16gx+16 至+星=1,4+36=4+36=4写+36，=听=， 43 乃，乃，乃中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平行，，，不能 围成三角形， ∴.原假设不成立，即点O不是△Q2Q3的中心 19.【详解】(1)解：因为f(x)=nx+2是[1,2]上的下凸函数， 所以∫"20在儿，2]上恒成立，即21-≥0在L,2上恒成立。 所u2a>在化2润流立， 又因为y=子=x在[1,2]上单调递减，所以s=1, 所以2a≥1，解得a≥2 1 所以实数a的取值范围为 (2)解：令)=-sinx.xc0,, f(x)=-cosx,f"(x)=sinx>0, 所以f(x)=-sinx在x∈(0，马上是下凸函数， 2 又因为48Ce0孕， 质以0+/9gS=9, nπ3V3 -(sinA+sin B+sinC)2-3sin 3 2 所以smA+snB+sihCs3V5 当且仅当A=B=C=亚时，等号成立， 2 所以simA+s如B+simC的最大值为3 2 (3)解：因为正实数1，x2,,xm满足+++X=1, 8 所以x,x3,,x∈(0,1)， 令hy)=h(x+马，0<r<1, 则女 ,W）=2x(+0-62-13x2+-4+4x2+1 1x(x2+1 x+ x2(x2+1)2 x2x2+102 因为0<x<1,所以0<x2<1 所以-x4+4x2+1=5-(x2-2)2>0, 用wF0 所以h(x)在(O,1)上是下凸函数， 所以)+h)++Mx三+++飞)， n 即hn(g++ihn(s,+++in(x,+≥=nin+=n0+, 即10k+X+马)k+≥hr+, Xn 所以k++马(K.+马≥m+3, X X2 当且仅当x=5==X=上时，等号成立， 所以心+飞+日)区+的颜小值为m片 0■■■■ 高二期末考试 数学试题·答题卡 姓名： 考生条形码粘贴处 班级： 准考证号： 一、单选题 (共40分) 1 [A][B][c] [D] 5 [A] [B] [c] [D] 2 [A][B] [c] [D] 6[A] [B] [c] 3 [A][B] [c] [D] 7[A] [e] [c] [D] 4[A][B][C1[D] 8 [A] [B] [C]D] 二、 多选题（共18分） 09 [A][B] [C] [D] 10[A][B] [c] [o] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12 13. 14. 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）高二年级期末考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1.已知跳合4=-10吗.B{传= 则A∩B=() A.[-1,10] B.(0,1] C.(-0,0) D.[1,10] ,则的值为（) 2.已知z=3+41 B.5V2 5 A.5 C. 2 D.5√2 3.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶根据其种植经验，在正 常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为X,Y,且 X~N(h,o),Y~N(凸，O),其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是() A.Y的数据较X更集中 Y的密度曲线 B.P(X≤c)<P(Y≤c) C.甲种茶青每500克的红茶产量超过凸的概率大于号 X的密度曲线 D.P(X>c)+P(Y≤c)=1 21C 克 4.己知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=awm+b+1,则a> 是数列{a}为递增数列” 2 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.过点P(-1,1)的直线1与圆C:x2+y2+4x-1=0交于A,B两点，则AB的最小值为() A.25 B.15 c.5 D.2 6.“Ciy不Cy'是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表 达对中国城市深刻印象的一种新颖方式现将一对C,一对i,一对t,一对y重新组合排成 一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCityty,CCitiyty等），则不同的排法有（) A.2124种 B.2352种 C.2148种 D.2420种 试卷第1页（共4页） 7已知函数fe)=2cs(as+pj00卟习的最小正周期为T,且f[得-5，若f)在 上有且只有三个最值点，则ω的取值范围是() 3 A.(7,10) B.[7,10] c.[7,10) D.(7,10] 8.双曲线C1: x -1(a>b>0)的左焦点为，点月在抛物线c:y=2px(p>0) y2 的准线上，过点耳作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为M,延长M交抛物线C,于点N, N=2MW,则双曲线C的离心率为() A.5+1 B.√5+1 c.5 D.5-1 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武 Bo》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与 生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化、高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机 器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示： 月份x 销量y 42 53 66 m 109 用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量y(单位：台)关于月份x的经验回归方程为 )=16.1x+5.6,则() A.m=80 B.经验回归方程经过点(5,80) C.预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台 D.5月销售量的残差-6.1 10.己知三棱锥A-BCD的各顶点都在球O上，点M,N分别是AC,CD的中点，AB⊥平面 BCD,CD=2AB=2BC=4,AD=2√6，则下列结论正确的是() A.CD⊥平面ABC B.球O的体积是8√6π C.直线BD与平面ABC所成角的正弦值是5 D.平面BMN被球O所截的截面面积是14 11.某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音 首字母C,Z,该会标的大致轮廓为如图所示的一个以O为圆心、AB为直径的半圆，和一段 Z形折线ABCD组成，其中AB⊥AC,AB⊥BD,AB=2,AC=BD=1.现有两动点P,Q在圆 试卷第2页（共4页） 弧AB和线段BC,AC(包含端点)上运动，则下列说法正确的有() A.PQ的最大值为1+√2 B.若OP=BD+BC,则+y的取值范围是「-√2,1 C.PO.BD最大值为2 D.若BP=B@,则P四在BA上的投影向量模长的取值范围是 0 2 5 第I工卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,已知2-广的展开式中含的项的系数为一 13.已知函数f(x)是定义在区间(0，+∞)上的可导函数，其导函数为'(x),且满足 f（+f国>0，则不等式(c+2026fx+2020<f0的解集为 2x x2 x+2026 14.甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜，每 2 局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是P(气≤P<)，记比赛结束时的局数为随机 变量X,则D()的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,且满足 s-（2w-em4 (1)证明：b=c; (2)若AB.AC=-1,且a=V3b,求s. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AD1/BC,∠ABC-C PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,点O是AB的中点. (1)求证：PO⊥CD: (2)求直线CP与平面POD所成角的正弦值. 试卷第3页（共4页） 17.(15分)明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球、白球和绿球若干个，每次 都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到 红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖 金重置为2元已知小明每次提到红球的概率是}且每次能香摸到红球相互独立 (1)试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于 5? (2)小明连续摸球3次，记获得的总奖金为X元，求E(X). 1817分)已知摇圈C若+茶=a>b>0的离心率为5，短轴长为2.正eQQ2,的 三边分别与C相切于？，乃，乃三点，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线92的斜率不存在，求△9O9的中心坐标： (3)求证：点O不是△Q22Q的中心. 19.(17分)设函数f(x)定义在区间1上，若对任意，x2,,xm∈I,有 x f()≤ 则称f(x)为I上的下凸函数，等号成立当且仅当：=x2=…=x·若函数f(x)在区间I上存 在二阶可导函数，则f(x)为区间1上的下凸函数的充要条件是f"(x)≥0. (1)若f(x)=lnx+2是[1,2]上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形ABC中，求sinA+sinB+sinC最大值； ®记正实藏调起+6++-1，宋5日) 的最小值， 试卷第4页（共4页）