第二十六章 二次函数 单元测试卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二次函数核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合景观桥、跳水运动等真实情境，适配初中数学第二十六章单元复习，有效检测数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数定义（1题）、对称轴（2题）、平移（3题）|结合抛物线图象分析最值（6题），渗透几何直观| |填空题|6/24|解析式求解（15题）、函数值比较（14题）|正方形与抛物线综合（17题），体现空间观念| |解答题|7/90|实际问题建模（21题跳水轨迹、23题销售利润）、综合应用（25题动点与面积）|通过跳台跳水（21题）、草莓销售（23题）等情境，培养模型意识与应用意识|

第二十六章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( A ) A．y＝x2 B．y＝3x＋1 C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝ 2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A ) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2 3．将抛物线y＝－x(x＋2)向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线是( B ) A．y＝(x－1)2－2 B．y＝－(x－1)2－2 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2－2 4．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，－1)，则b＋c的值是( D ) A．－1 B．3 C．－4 D．－2 5．已知二次函数y＝(a－1)x2，当x>0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( B ) A．a>0 B．a>1 C．a≠1 D．a<1 6．抛物线y＝(x＋1)2－4(－2≤x≤2)如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是( B ) A．－3和5 B．－4和5 C．－4和－3 D．－1和5 7．一枚炮弹射出x s后的高度为y m，且y与x之间的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若此炮弹在第5 s与第7 s时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( C ) A．第5.1 s B．第5.8 s C．第5.9 s D．第6.9 s 8．如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根的取值范围是( A ) x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 … A.1.1～1.2 B．1～1.1 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 9．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40 m，桥拱的最大高度CD为16 m(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5 m的景观灯杆MN的高度为( C ) A．13 m B．14 m C．15 m D．16 m 第9题图　　　　　第12题图 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( A ) 　　A　　 B　　 C　 　D 11．已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是( C ) A．5 B．－1 C．5或1 D．－5或－1 12．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝OC.则由抛物线的特征写出如下结论：①abc>0；②4ac－b2>0；③a－b＋c>0；④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是( B ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为__x1＝3，x2＝－1__． 第13题图　　　　第17题图 14．点P1(－2，y1)，P2(2，y2)，P3(4，y3)均在二次函数y＝－2x2＋4x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y2＞y1＝y3__． 15．抛物线y＝－x2＋bx＋c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x＝－2，若y≥5，则x的取值范围是－4≤x≤0. 16．某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y与x之间的函数解析式为y＝500(1＋x)2. 17．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为__2__． 18．已知抛物线y＝(x－1)2－4的图象如图①所示，现将抛物线在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y＝x＋b与图象②恰有三个公共点时，b的值为__1或___． 【解析】有三个公共点分过点A和与x轴下方部分翻折后的图象只有一个公共点两种情况进行讨论． 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)已知二次函数y＝x2－mx＋1的图象经过点(2，3)． (1)求m的值； (2)该二次函数的图象是否经过点(－2，6)？判断并说明理由． 解：(1)将(2，3)代入二次函数y＝x2－mx＋1，得4－2m＋1＝3，解得m＝1.∴m的值是1. (2)该二次函数的图象不经过点(－2，6)． 理由：由(1)得二次函数的解析式为y＝x2－x＋1，当x＝－2时，y＝4－(－2)＋1＝7≠6， ∴该二次函数的图象不经过点(－2，6)． 20．(11分)某二次函数的解析式为y＝ax2－5x＋4－a2. (1)当a＝2时，求函数图象与x轴交点的坐标； (2)如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－5x＋4－a2的图象，求a的值． 解：(1)当a＝2时，y＝ax2－5x＋4－a2＝2x2－5x. 令y＝0，解得x＝0或. 此时函数图象与x轴的交点坐标为(0，0)和. (2)由图知函数图象与x轴有一个交点为(0，0)． 所以4－a2＝0.所以a＝2或－2. 因为抛物线开口向下，所以a＝－2. 21.(11分)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(单位：m)与离起跳点A的水平距离x(单位：m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. (1)求y关于x的函数解析式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c， ∴　解得 ∴y关于x的函数解析式为y＝－x2＋2x＋10. (2)在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10， 解得x＝＋1或x＝－＋1(舍去)， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(＋1)m. 22．(12分)在平面直角坐标系中，若二次函数y1＝(x－m)(x＋m＋2)，其中m≠－1. (1)求证：函数y1与x轴有两个不同的交点； (2)若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式． (1)证明：当y1＝0时，(x－m)(x＋m＋2)＝0， 解得x1＝m，x2＝－m－2， ∵m≠－1，∴x1≠x2， ∴方程(x－m)(x＋m＋2)＝0有两个不等的实数解， ∴函数y1与x轴有两个不同的交点． (2)解：∵y1＝(x－m)(x＋m＋2)＝(x＋1)2－m2－2m－1， ∴顶点坐标为(－1，－m2－2m－1)， ∵函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，∴－m＋n＝－m2－2m－1， ∴n＝－m2－m－1. 23.(13分)为增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售．已知草莓的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y(单位：kg)与销售单价x(单位：元/kg)(8≤x≤40)满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求y与x的函数关系式； (2)求五一期间销售草莓获得的最大利润． 解：(1)当8≤x≤32时，设y＝kx＋b(k≠0)， 将B(22，150)，C(32，120)代入，得 解得 ∴当8≤x≤32时，y＝－3x＋216. 当32<x≤40时，y＝120. ∴y与x的函数关系式为y＝ (2)设利润为W，则当8≤x≤32时， W＝(x－8)y＝(x－8)(－3x＋216)＝－3(x－40)2＋3 072. ∴开口方向向下，对称轴为直线x＝40， ∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大， ∴当x＝32时，W最大＝2 880. 当32<x≤40时，W＝(x－8)y＝120(x－8)＝120x－960， ∵W随x的增大而增大， ∴当x＝40时，W最大＝3 840. ∵3 840>2 880， ∴五一期间销售草莓获得的最大利润为3 840元． 24.(14分)已知抛物线y＝ax2－(b＋2)x－a＋b＋6(a＜0，a，b均为常数)过点(3，4)． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标； (3)当自变量x满足0≤x≤3时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：3m＋n＝16. (1)解：b＝4a－2. 抛物线的对称轴为直线x＝2. (2)解：把b＝4a－2代入y＝ax2－(b＋2)x－a＋b＋6， 得y＝ax2－4ax＋3a＋4. 又函数y的最大值为5， ∴抛物线的顶点坐标为(2，5)． 把点(2，5)代入y＝ax2－4ax＋3a＋4，得 5＝4a－8a＋3a＋4， ∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋1. 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)． (3)证明：∵抛物线y＝ax2－4ax＋3a＋4的对称轴为直线x＝2， 又∵a＜0，图象的开口向下， ∴当自变量满足0≤x≤3时，结合图象可知， 当x＝2时，函数y取得最大值为－a＋4，即m＝－a＋4； 当x＝0时，函数y取得最小值为3a＋4，即n＝3a＋4. ∴3m＋n＝3(－a＋4)＋(3a＋4)＝16. 25.(15分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，5)两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)求线段EF的最大值； (3)抛物线与x轴的另一个交点为点C，在抛物线上是否存在一个动点P，使得S△ACP＝S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)设F(x，x2－2x－3)(－1<x<4)， 设直线AB的解析式为y＝kx＋n， 代入点A(－1，0)，B(4，5)，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋1， ∵EF∥y轴，∴E(x，x＋1)， ∴EF＝x＋1－(x2－2x－3)＝－x2＋3x＋4＝－＋， ∴当x＝时，线段EF的最大值为 . (3)存在，取y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3， ∴C(3，0)，∴S△ABC＝×4×5＝10，∴S△ACP＝×10＝4， 设P(m，m2－2m－3)，则×4×|m2－2m－3|＝4， 解得m＝1－ 或m＝1＋ 或m＝1－ 或m＝1＋， 当m＝1－ 或m＝1＋ 时，y＝2， 当m＝1－ 或m＝1＋ 时，y＝－2， ∴点P的坐标为(1－，2)，(1＋，2)，(1－，－2)或(1＋，－2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝3x＋1 C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝ 2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( ) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2 3．将抛物线y＝－x(x＋2)向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线是( ) A．y＝(x－1)2－2 B．y＝－(x－1)2－2 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2－2 4．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，－1)，则b＋c的值是( ) A．－1 B．3 C．－4 D．－2 5．已知二次函数y＝(a－1)x2，当x>0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( ) A．a>0 B．a>1 C．a≠1 D．a<1 6．抛物线y＝(x＋1)2－4(－2≤x≤2)如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是( ) A．－3和5 B．－4和5 C．－4和－3 D．－1和5 7．一枚炮弹射出x s后的高度为y m，且y与x之间的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若此炮弹在第5 s与第7 s时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( ) A．第5.1 s B．第5.8 s C．第5.9 s D．第6.9 s 8．如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根的取值范围是( ) x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 … A.1.1～1.2 B．1～1.1 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 9．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40 m，桥拱的最大高度CD为16 m(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5 m的景观灯杆MN的高度为( ) A．13 m B．14 m C．15 m D．16 m 第9题图　　　　　第12题图 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( ) 　　A　　 B　　 C　 　D 11．已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是( ) A．5 B．－1 C．5或1 D．－5或－1 12．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝OC.则由抛物线的特征写出如下结论：①abc>0；②4ac－b2>0；③a－b＋c>0；④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为_______________． 第13题图　　　　第17题图 14．点P1(－2，y1)，P2(2，y2)，P3(4，y3)均在二次函数y＝－2x2＋4x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_______________． 15．抛物线y＝－x2＋bx＋c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x＝－2，若y≥5，则x的取值范围是_______________. 16．某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y与x之间的函数解析式为______________. 17．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为_______________． 18．已知抛物线y＝(x－1)2－4的图象如图①所示，现将抛物线在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y＝x＋b与图象②恰有三个公共点时，b的值为_______________． 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．(14分)已知二次函数y＝x2－mx＋1的图象经过点(2，3)． (1)求m的值； (2)该二次函数的图象是否经过点(－2，6)？判断并说明理由． 20．(11分)某二次函数的解析式为y＝ax2－5x＋4－a2. (1)当a＝2时，求函数图象与x轴交点的坐标； (2)如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－5x＋4－a2的图象，求a的值． 21.(11分)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(单位：m)与离起跳点A的水平距离x(单位：m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. (1)求y关于x的函数解析式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 22．(12分)在平面直角坐标系中，若二次函数y1＝(x－m)(x＋m＋2)，其中m≠－1. (1)求证：函数y1与x轴有两个不同的交点； (2)若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式． (1)证明：当y1＝0时，(x－m)(x＋m＋2)＝0， 23.(13分)为增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售．已知草莓的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y(单位：kg)与销售单价x(单位：元/kg)(8≤x≤40)满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求y与x的函数关系式； (2)求五一期间销售草莓获得的最大利润． 24.(14分)已知抛物线y＝ax2－(b＋2)x－a＋b＋6(a＜0，a，b均为常数)过点(3，4)． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标； (3)当自变量x满足0≤x≤3时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：3m＋n＝16. 25.(15分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，5)两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)求线段EF的最大值； (3)抛物线与x轴的另一个交点为点C，在抛物线上是否存在一个动点P，使得S△ACP＝S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $