第二十六章  二次函数-2026-2027学年九年级数学上册基本功（人教版）

第26章二次函数 26.1二次函数的概念 知识点1二次函数的定义 1.【2026烟台期中】下列函数中，是二次函数的有() 2 (①y=3(x-102+1,(②)y=2:(3)y=(x+3)2-x2,(4y=22-x (5)y=ax2+bx+c。 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 答案：A 解析：(1)y=3(x-1)2+1=3x2-6x+4,是二次函数，符合题意； (②y是，由于是不是整式，所以该西数不是二次函数，不符合题意： (3)y=(x+3)2-x2=6x+9,是一次函数，不是二次函数，不符合题意； (4)y=22-x,是一次函数，不是二次函数，不符合题意； (5)y=ax2+bx+c,当a=0时，y=bx+c不是二次函数，不符合题意。 故是二次函数的有1个，故选A。 2.【2026海淀区质检】已知关于x的函数y=ax2+3x-x2+1是二次函数，则a的取值范围 是 答案：a≠1 解析：y=ax2+3x-x2+1=(a-1)x2+3x+1是二次函数，根据二次函数的定义可知a- 1≠0，.a≠1。 3.关于x的函数y=(a2+2a+3)x2+3ax+1,甲说：“此函数不是二次函数。”乙说：“此函 数一定是二次函数。”丙说：“此函数是不是二次函数与α的取值有关。”你认为谁的说法正确？ 为什么？ 答案：乙的说法正确。 解析：a2+2a+3=(a+1)2+2,因为无论a取何值，(a+1)2≥0，则(a+1)2+2≥2，所 32/169 第26章二次函数 以a2+2a+3≥2≠0，故无论a取何值，此函数一定是二次函数。 知识点2二次函数的一般形式 4.【2025安徽毫州调研】下列二次函数中，二次项系数是-3的是() A.y=3x2-2x+5 B.y=x2-3x+2 C.y=-3x2-x D.y=x2-3 答案：C 解析：A选项，y=3x2-2x+5的二次项系数是3，不合题意； B选项，y=x2-3x+2的二次项系数是1，不合题意； C选项，y=-3x2-x的二次项系数是-3，符合题意； D选项，y=x2-3的二次项系数是1，不合题意。故选C。 5.把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 答案：1 解析：y=(3x-2)(x+3)=3x2+7x-6,一次项系数为7，常数项为-6，一次项系数与 常数项的和为7+（-6)=1。 知识点3实际问题中的二次函数 6.【2025长沙质检】某工厂七月份生产零件50万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件 的增长率为x,如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是() A.y=50(1+x)2 B.y=50+50(1+x)+50(1+x)2 C.y=50(1+x)+50(1+x)2 D.y=50+50(1+x) 答案：B 解析：已知该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为x,则八月份生产零件50(1+x)万个， 九月份生产零件50(1+x)2万个，y=50+50(1+x)+50(1+x)2。故选B。 33/169 第26章二次函数 7.【2026绍兴期中】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一个圆形水池，圆周上的点到正 方形边上的点的最短距离为3m。记正方形内除水池外的面积为ym2,圆的半径为xm,则y 关于x的函数解析式是() A.y=(2x+3)2 B.y=4(x+3)2 C.y=4(x+3)2-πx2 D.y=(x+3)2-πx2 答案：C 解析：由题意可知正方形的边长为2(x+3)=(2x+6)m,则y=(2x+6)2-πx2=4(x+ 3)2-πx2，故选C。 8.如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长)和总长为28米的 篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形。设大矩形垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积 为y平方米，则y关于x的函数解析式为 (用二次函数的一般形式表示)。 AE D B F C 答案：y=-3x2+28x 解析：篱笆的总长为28米，且AB=x米，BC=(28一3x)米，花圃总面积为AB·BC= x(28-3x)=-3x2+28x平方米，y关于x的函数解析式为y=-3x2+28x。 易错点用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错 9.当m=时，y=(m-1)xlm+1是二次函数。 答案：一1 解析：由题意，得m+1=2,m-1≠0，解得m=-1,所以当m=-1时，y=(m-1)x例+1 是二次函数。 34/169 第26章二次函数 26.2二次函数(y=ax2)的图象和性质 知识点1二次函数y=ax2的图象 1.二次函数y=2x2的图象大致是（) 是木 答案：A 解析：y=2x的图象是一条过原点，且开口向上的抛物线，故选A。 2.【2026西宁质检】已知抛物线y=ax2经过点(2，-8) (1)求a的值； (2)画出此函数的图象。 4 3 5432打12345x -3 ---}-不 答案：(1)a=-2,解析：将点(2，-8)代入y=ax2,得-8=a·22,解得a=-2。 543-2- (2)图象如图所示。 35/169 第26章二次函数 知识点2二次函数y=ax2的性质 3.若二次函数y=ax的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点() A.(2,4) B.(-2,-4) C.（-4,2) D.(4,-2) 答案：A 解析：二次函数y=αx图象的对称轴为y轴，…若图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 (2,4)。故选A。 4.【2026张家口期中】嘉嘉用软件绘制抛物线y=2x2时，将“2”按成了“3”，和原图象相 比，发生改变的是() A.开口方向 B.开口大小 C.对称轴 D.顶点坐标 答案：B 解析：根据二次函数的性质可知，抛物线y=2x的开口比抛物线y=3x2的开口大，和原图 象相比，发生改变的是开口大小，故选B。 5.已知二次函数y=(a一1)x2,当x>0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是() A.a>0 B.a>1 C.a≥1 D.a<1 答案：B 解析：二次函数y=(a-1)x2的图象的对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大，二 次函数y=(a-1)x的图象开口向上，∴a-1>0,即a>1,故选B。 6.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点，则下列关系式一定正确的是(） A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0 答案：C 解析：·抛物线y=ax2(a>0)的对称轴为y轴，∴A(-2,y1)关于对称轴对称的点的坐标为 (2,y1)。又a>0,0<1<2,0<y2<y1。故选C。 36/169 第26章二次函数 7.【2026武汉质检】已知y=(m+1)xm2+m是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而减小， 则m的值为 答案：一2 解析：y=(m+1)xm2+m是二次函数，m2+m=2,且m+1≠0，解得m=1或m=-2。: 当x>0时，y随x的增大而减小，m+1<0,m<-1,m=-2,故答案为-2。 易错警示：根据二次函数的定义可求出两个m的值，注意要结合增减性对m的值进行取舍。 8.【2025郑州质检】已知二次函数y=x2,当-2≤x≤3时，y的取值范围是 答案：0≤y≤9 解析：二次函数y=x2,1>0,该函数图象的对称轴为直线x=0,抛物线开口向上，…当x<0 时，y随x的增大而减小；当x=0时，y取得最小值，为0；当x>0时，y随x的增大而增大。 :当x=-2时，y=4;当x=3时，y=9,当-2≤x≤3时，0≤y≤9，故答案为0≤y≤9。 9.已知二次函数y=ax2,当x=3时，y=3 (1)当x=-2时，求y的值； (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，y随x的增大而增大。 答案： (1)y=3 解折：把x=3,y=3代入y-a2得03-3，解得a-有这个二次函数的解析式为y- 32。当x=-2时，y=3×(-2)2=3 (2)开口向上；对称轴是y轴；顶点坐标是(0,0)；当x>0时，y随x的增大而增大。 121 解析：y二32,3>0，该函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)，当x>0时， y随x的增大而增大。 37/169 第26章二次函数 易错点忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 10.已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则a= 答案：±2 解析：~抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，a=2,∴.a=士2。故答案为士2。 易错警示：抛物线的形状与二次项系数的绝对值有关，二次项系数的正负性与抛物线的开口方 向有关。 38/169 第26章二次函数 26.3二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识点1二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.二次函数y=5x2+1的图象大致是() 答案：C 解析：二次函数y=5x2+1,a=5>0,·图象的开口向上，对称轴是y轴，与y轴 的交点坐标是(0,1)。故选C。 2【2026泸州期中】关于以下四个函数y-名，y-了名，y=2以，y=2+1的共同 点，下列说法正确的是() A.图象的开口向上 B.图象的对称轴是y轴 C.有最大值 D.y随x增大而增大 答案：B 解析：A选项，y=-2和y=-3x2中，a<0,图象的开口向下；y=2x2和y=2+1 中，a>0,图象的开口向上，不符合题意。 B选项，四个函数图象的对称轴都是y轴，符合题意。 C选项，y=22和y=2+1中，®>0，地物线开口向上，有最小值y=-2和y= 中，α<0，抛物线开口向下，有最大值，不符合题意。 D选项，y=2x2和y=x2+1中，a>0,故当x>0时，y随x增大而增大，当x<0 时，y随x增大而减小；y=-2和y=-2中，a<0,故当x>0时，y随x增大 而减小，当x<0时，y随x增大而增大，不符合题意。故选B。 3.对于二次函数y=2x2-3,当-1≤x≤2时，y的取值范围是（) A.-1≤y≤5 B.-5≤y≤5 39/169 第26章二次函数 C.-3≤y≤5 D.-2≤y≤5 答案：C 解析：·二次函数的解析式为y=2x2-3,·抛物线的对称轴为直线x=0。·α=2>0， ·抛物线开口向上。：-1≤x≤2，当x=0时，y取得最小值-3；当x=-1时，y=-1; 当x=2时，y=5。·当-1≤x≤2时，y的取值范围是-3≤y≤5，故选C。 4.【2026福建福州期中】同时满足：①图象开口向下；②顶点坐标为(0,2)的一个二次函 数的解析式为 答案：y=-x2+2(答案不唯一) 解析：：函数图象的顶点坐标为(0,2)，·该函数的解析式为y=Qx2+2。又：二次函数的 图象开口向下，·a<0,·这个二次函数的解析式可以为y=一x2+2。 5.【2026惠州期中】若点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-2x2+c的 图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 (用“>”连接)。 答案：y1>y2>y3 解析：由解析式可知函数图象的开口向下，且对称轴为直线x=0。点P1(-1,y1)到对称轴 的距离为|-1=1，点P2(3,y2)到对称轴的距离为31=3，点P3(5,y3)到对称轴的距离 为15|=5。点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-2x2+c的图象上，1< 3<5,y1>y2>y3 6.已知点(x1y1),(x2y2)均在抛物线y=2-1上，下列说法中：①若y1=y2则x1= x2;②若x1=-x2,则y1=y2;③若0<x1<x2,则y1>y2;④若x1<x3<0,则y1>y2。 佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确。请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确， 并说明理由。 答案：李华的判断正确，佳佳的判断错误。 40/169 第26章二次函数 解析： 说法①，若y1=y2,则X1=2或x1=-x2 说法②，若x1=-x2,则y1=y2; 说法③，若0<x1<2,则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1<y2; 说法④，若x1<x2<0,则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1>y2。 故②④说法正确。 .已知抛物线y二)2+5一m)x+m-3与y轴交于点C,与x轴正半轴交于点A 与x轴负半轴交于点B,且OA=OB。 (1)求m的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)求△ABC的面积。 答案： (1)m=5 解析：~抛物线y=一216-m0加十m-3与销有两个交点，日，A在X轴正半辅上。 B在x轴负半轴上，且0A=0B,抛物线的对称轴为直线x=0,5一m=0,·m=5。 (2)顶点坐标为(0,2) 解析：m=5,“y= 22+2,÷抛物线的顶点坐标是(0,2)。 1 (3)S△4BC=4 解析：令y=0,即-2+2=0，解得1=2,2=-2，A(2,0),B(-2,0),AB=4。 1 1 又：易得C0,2),0C=2,SaA8c-=2AB.0C=2×4×2=4。 知识点2二次函数y=ax2+k图象的平移 8.【2026无锡期中】把抛物线y=x2-1向上平移3个单位可得抛物线（) A.y=x2+3 B.y=(x+3)2-1 41/169 第26章二次函数 C.y=x2+2 D.y=(x-3)2-1 答案：C 解析：由题知，把抛物线y=x2-1向上平移3个单位可得抛物线y=x2-1+3=x2+2。 故选C。 9.【2026商洛期中】将二次函数y=x2-4的图象向上平移m个单位长度，使其经过点 (-1,3),则m的值为（) A.7 B.6 C.5 D.4 答案：B 解析：：将二次函数y=x2一4的图象向上平移m个单位长度，·平移后的抛物线的解析 式为y=x2-4+m。将点(-1,3)代入y=x2-4+m得，3=(-1)2-4+m,即3= 1-4+m,m=6,故选B。 【2025玉林期末】如图，已知抛物线1=7x2+4(-2≤x≤2)，将抛物线y1向下 平移2个单位长度后得到抛物线y2,则图中阴影部分的面积S=一。 .20 答案：8 解析：根据题意知，题图中阴影部分的面积可以转化成矩形的面积，且矩形的长为4，宽为2， .S=2×4=8。 42/169 第26章二次函数 26.4二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 知识点1二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1.抛物线y=-(x-1)2一定经过() A.第一、二象限 B.第一、三象限 C第二、四象限 D.第三、四象限 答案：D 解析：抛物线y=一(x-1)2开口向下，顶点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=1,与y轴交于 点(0，-1)，抛物线经过第三、四象限。故选D。 1 2.【2025阜阳期中】抛物线y=-3(x-4)2与抛物线y=7x2的相同点是（） A.对称轴相同 B.顶点相同 C.顶点都在x轴上 D.形状相同 答案：C 解析：抛物线y=-3(x-4)2开口向下，对称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,0)；抛物线y= 2之开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)。两条抛物线对称轴不同、顶点不同，顶点 都在轴上。小-3引小：两条抛物线形状不同。故选C。 3.【2025义乌质检】若小明将如图所示的两条水平线AB,CD中的一条当成x轴，且向右为正 方向；两条铅垂线AC,BD中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二 次函数y=2(x-1)2的图象，则坐标原点可能是() A.点A B.点B C.点C D.点D A B 43/169 第26章二次函数 答案：C 解析：y=2(x-1)2,“二次函数图象的顶点坐标是(1,0)，∴坐标原点可能是点C,故选C。 4.已知二次函数y=-2(x+b)2,当x<-3时，y随x的增大而增大；当x>-3时，y随x的 增大而减小，则当x=1时，y=（) A.-12 B.12 C.32 D.-32 答案：D 解析：当x<-3时，y随x的增大而增大；当x>一3时，y随x的增大而减小，抛物线的对称 轴为直线x=-3,b=3,抛物线的解析式为y=-2(x+3)2,当x=1时，y=-2×(1+ 3)2=-32。故选D。 5.【2026西城区期中】已知点A(n-1,y1)、B(n+2,y2)、C(n,y3)在抛物线y=(x-n)2上， 则y1,y2,y3的大小关系是 (用“<”连接)。 答案：y3<y1<y2 解析：因为抛物线的解析式为y=(x一n)2,所以抛物线开口向上，且对称轴为直线x=n。又 因为点A(n-1,y1)、B(n+2,y2)、C(n,y3)在该抛物线上，n-(n-1)=1,n+2-n=2,n n=0,且0<1<2，所以y3<y1<y2 6.已知二次函数y=3(x-3)2,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取3x1+3x2 时，函数值为 答案：675 解析：二次函数y=3(x-3)2,该函数图象开口向上，对称轴为直线x=3。当x分别取x1, x2x1≠x2)时，函数值相等，：19=3,1+2=6,3x1+3x2=301+)=18,÷ 2 当x取3x1+3x2时，函数值为3×152=675。 44/169 第26章二次函数 7.开放性试题有一个二次函数，三位同学分别说出了它的特点： A:函数图象的顶点在x轴上； B:当x>1时，y随x的增大而减小； C:该函数图象的形状与函数y=-2x2的图象相同。 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式： 答案：y=-2(x-1)2(答案不唯一) 解析：根据A的描述可设二次函数解析式为y=a(x-h),根据C的描述可知|a=|-2引= 2,再结合B的描述可得出h≤1，且α=-2，所以满足上述所有性质的二次函数解析式可以 是y=-2(x-1)2。 8.【2026苏州期中】二次函数y=a(x+1)2的图象与直线y=2x-1交于点P(1,m)。 (1)求a,m的值； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出在二次函数y=a(x+1)2中，当y>1时，x的取值范围。 答案： 1 (1)a=年m=1 解析：由条件可得m=2×1-1=1,则P(1,1)。把P(1,1)代入y=a(x+1)2,得1=a×(1+ 1 1)2,解得a=4 (2)顶点坐标为(-1,0)，对称轴为直线x=-1 解析：由()）得a存则y=c+1只，顶点坐标为(-1,0，对称轴为直线x1. (3)x<-3或x>1 解析：令y=1,则1-4x+1),(x+1)2=4,解得x1=-3,为=1。抛物线y=4x+1)2 开口向上，∴当y>1时，x的取值范围为x<-3或x>1。 知识点2二次函数y=a(x-h)2图象的平移 9.把抛物线y=(x-1)2向左平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为() 45/169 第26章二次函数 A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+3)2 C.y=(x+1)2 D.y=(x-3)2 答案：C 解析：把抛物线y=(x一1)2向左平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=(x一1+ 2)2,即y=(x+1)2,故选C。 10.【2025南昌质检】若将抛物线y=(x-3)2的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的 是() A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 答案：C 解析：抛物线y=(x-3)的顶点坐标为(3,0)，原点坐标为(0,0)，将(3,0)向左平移3个单位 长度得到(0,0)，平移方法为向左平移3个单位长度。故选C。 46/169 第26章二次函数 26.5二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 知识点1二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.【2026海淀期中】若抛物线y=2(x-m-1)2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取 值范围是() A.m>1 B.m<2 C.1<m<2 D.-2<m<-1 答案：D 解析：抛物线y=2(x-m-1)2+2m+4的顶点坐标为(m+1,2m+4)。 ~顶点在第二象限，一2m十解得2<m<1,故选D 2.【2025南州调研】已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示。下列关于该函数在所给自变 量取值范围内的说法，正确的是() A.图象关于直线x=1对称 B.有最小值-1，有最大值3 C.y值随x值的增大而增大 D.有最小值0，有最大值3 3 答案：B 解析：根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故A选项错误。 根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为3，最小值为一1，故B选项正确，D选 项错误。 当0≤x≤1时，y值随x值的增大而减小；当1<x≤3时，y值随x值的增大而增大，故C选 项错误。故选B。 47/169 第26章二次函数 3.【2026东城期中】已知y是关于x的二次函数，y与x的部分对应值如表所示，当0<x<3 时，y的取值范围是（) 3 b 3 m A.2<y<6 B.2≤y<6 C.3<y<6 D.3≤y<6 答案：B 解析：x=0或2时，y的值为3，∴抛物线的对称轴是直线x=1,∴当x=3时，y=m=6。 易知抛物线开口向上，∴当0<x<3时，2≤y<6。故选B。 4.已知二次函数y=一(x一1)2+2，当t<x<5时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 答案：1≤t<5 解析：由y=-(x-1)2+2可知抛物线的对称轴为直线x=1。 a=-1<0,抛物线开口向下，当x>1时，y值随x值的增大而减小。 t<x<5时，y随x的增大而减小，1≤t<5。 5.如图是二次函数y=α(x+1)2+4的图象的一部分（点A为抛物线与x轴的交点，且在网格 线的交点处)，根据图象回答下列问题： (1)确定a的值； (2)设抛物线的顶点是P,B是x轴上的一个点，若△PAB的面积为6，求点B的坐标。 Y 48/169 第26章二次函数 答案：(1)a=-。(2)点B的坐标为(-1,0)或〔-7,0) 解析： (1)由图象可知A点坐标为(-4,0)。“二次函数y=a(x+1)2+4, 0=a(-4+1)2+4,解得a=。 2)=次函数y=二x+1+4,P(1,4) 设B的坐标为(m,0),则AB=Im+4|。 1 :△PAB的面积为6,2×4×m+4=6,解得m=-1或-7， 点B的坐标为(-1,0)或(-7,0)。 知识点2二次函数y=a(x-h)子+k图象的平移 6.【2026武汉期中】将抛物线y=-2(x+1)2-2先向右平移3个单位长度，再向下平移3 个单位长度后的抛物线解析式为 答案：y=-2(x-2)2-5 解析：将抛物线y=-2(x+1)2-2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后的 抛物线解析式为y=-2(x+1-3)2-2-3,即y=-2(x-2)2-5。 7.【2025准安质检】点P(m,5)在抛物线C:y=-(x-3)2+6上，将抛物线C进行平移得到 抛物线C:y=一x2+2,P的对应点为P,则点P移动的最短路程为 答案：5 解析：抛物线C:y=-(x-3)2+6,抛物线C的顶点坐标为(3,6)。 抛物线C:y=-x2+2,抛物线C的顶点坐标为(0,2)。 将抛物线C进行平移得到抛物线C,点P移动的最短路程为√32+(6-2)2=5。 关键点拨：根据抛物线平移前后的顶点坐标及两点之间线段最短，求出点P移动的最短路程。 49/169 第26章二次函数 知识点3用待定系数法求二次函数y=a(x-h)2+k的解析式 3 8.【2026邯郸期未】某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水 最大高度为4米，此时距喷水管水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解 析式为 (不需要写出自变量的取值范围)。 4 32 01 答案：y=-10(x-2)2+4 解析：根据题意可设函数解析式为=x-》+4,把(0，受代入可得，0+4- 2 解得Q=-10,所以函数解析式为y=-10(x-2+4。 易错点混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错 9.抛物线的函数解析式为y=3(x一2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移 3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为() A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3 Cy=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1 答案：C 解析：根据题意知，将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛 物线y=3(x-2)+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解 析式为y=3(x-5)2-1。故选C。 50/169 第26章二次函数 26.6二次函数(0y=αx2+bx十c)的图象和性质 知识点1把二次函数的一般式化为顶点式 1.【2025毫州质检】将二次函数y=x2+4x-4化成y=a(x+h)2+k的形式为（) A.y=(x+2)2-8 B.y=(x-2)2 C.y=(x+2)2-4 D.y=x2-8 答案：A 解析：y=x2+4x-4=x2+4x+4-8=x+2)2-8。 b 4ac-b2 一题多解：除了可以用配方法化一般式为顶点式外，也可用顶点的坐标公式(24。 化一般式为顶点式。 2.【2025南通质检】把二次函数y= x2-x+3化为y=a(x-h)2+k的形式，则 1 k= 答案：2 知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移 3.【2025九江期末】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x=1的抛物线y=mx2+ nx+m一2(m>2)向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方 式正确的是() A.向上平移1个单位长度 B.向上平移2个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向上平移4个单位长度 答案：B 解析：“抛物线的对称轴为直线x=1,2 -=1,n=-2m。 y=mx2+x+m-2=mx2-2mx+m-2=m(x-1)2-2, 抛物线的顶点坐标为(1，-2)。 m>2,抛物线与y轴交于正半轴。 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，“.平移后的抛物线顶点在x轴上， 51/169 第26章二次函数 抛物线应向上平移2个单位长度，故选B。 4.【2026牡丹江期中】将抛物线y=ax2+bx+c向左平移一个单位长度后得到的抛物线的 解析式为y=3x2-2x+1,则a+b+c的值为一。 答案：1 解析：将抛物线y=ax2+bx+c向左平移一个单位长度后，所得抛物线的解析式为y= a(x+1)2+b(x+1)+c,即y=ax2+(2a+b)x+(a+b+c)。 又平移后所得抛物线的解析式为y=3x2-2x+1,.a+b+c=1。 知识点3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5.二次函数y=2x2+8x+7的图象是() 答案：C 解析：a=2>0,抛物线开口向上。 :二次函数的解析式为y=2x2+8x+7=2(x+2)2-1, 抛物线的顶点坐标为（一2，-1)，对称轴为直线x=一2。故选C。 6.【2026南京期中】当m≤x≤4时，函数y=-x2+4x的y的取值范围是0≤y≤4， 则m的取值范围是（) A.0<m≤2 B.0≤m<2 C.0<m<2 D.0≤m≤2 答案：D 解析：因为二次函数解析式为y=-x2+4x=-(x一2)2+4，所以抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,4)，且开口向下。 52/169 第26章二次函数 由-x2+4x=0得x=0或4，所以抛物线与x轴的交点为(0,0)，(4,0)， 所以当0≤x≤4时，0≤y≤4。 又因为m≤x≤4时，0≤y≤4，所以0≤m≤2。故选D。 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的部分图象如图所示，其 对称轴为直线x=2,与y轴交于点(0，-2)，则当y<-2时，x的取值范围是\。 答案：0<x<4 解析：抛物线对称轴为直线x=2,抛物线经过点(0，-2)， 由抛物线的对称性可得抛物线经过点(4，-2)，∴当0<x<4时，y<-2。 8.【2025上海期中】已知(-1，y1)、(2,y2)、(4,y3)都是二次函数y=ax2-2ax+3a(a≠0) 的图象上的点，当x>2时，y随着x的增大而增大，则y1,y2,y3按从小到大的顺序排 列是」 。（用“<”连接) 答案：y2<y1<y3 -2a 解析：y=a2-2ax+3a(a≠0)，图象的对称轴是直线x=-2a 二1 :当x>2时，y随着x的增大而增大，a>0。点(-1，y)关于直线x=1的对称点 是(3，y1)。2<3<4,y2<y1<y3 9.【2026泉州期中】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y之间 满足表格中的数量关系，那么(4a-2b+c)(a-b+c)的值为 X 1 4 2 2 5 53/169 第26章二次函数 答案：10 解析：由所给表格可知，当x=-1时，y=2,所以a-b+c=2。 -1+3 当x=-1和x=3时，函数值相等，所以抛物线的对称轴为直线x=一2 则当x=-2和x=4时函数值相等，所以4a-2b+c=5, 所以(4a-2b+c)(a-b+c)=5×2=10 知识点4二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1。下列结论：①abc<0; ②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数)。其中结论正确的个 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：①抛物线开口向下，α<0，抛物线的对称轴在y轴右侧，·.b>0。抛物线与y轴 交于正半轴，·c>0,abc<0,①正确。 b 当x=-1时，y<0,Q-b+c<0对称轴为直线x三)。=1，…b=-2a把b 代入a-b+c<0,得3a+c<0,②错误。 ③当x=-1时，y<0,a-b+c<0,当x=1时，y>0,a+b+c>0, .(a+c-b)(a+c+b)=(a+c)2-b2<0,③正确。 ④：抛物线的对称轴为直线x=1,开口向下，·x=1时，函数有最大值，为a+b+c, a+b+c≥am2+mb+c,即a+b≥m(am+b),④错误。 故选B。 54/169 第26章二次函数 26.7将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 知识点1二次函数的图象与x轴的交点情况 1.二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个交点，则a可以是（) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 9 解析根据题意，得△=(-3)2-4a×2>0且a≠0，解得a<3且a≠0，故选B。 2.【2026湖州期中】若函数y=(k-1)x2+3x-2的图象与x轴只有一个公共点，则实数 k的值是 答案：1或-日 解析：当k-1=0,即k=1时，函数为y=3x-2,此时函数的图象与x轴只有一个公 共点，k=1满足题意；当k-1≠0时，函数y=(k-1)x2+3x-2的图象与x轴只 有-个公共点，4=32-4k-1)×(-2)=0,解得k=8综上所述，实数k的值是1 3.【2026武汉期中】已知抛物线：y=kx2-3x-1 (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 答案： 解桥：根据题意得k≠0且△三32一4X(一1三0，解得k三 (2)若抛物线交X轴于点A(x1,0),B(x2,0),当x1十x2=-3时。 ①k的值为 ，抛物线的对称轴为直线 答案：-1；x=-2 解析：抛物线交X轴于点A(x1,0),B(x2,0),一元二次方程kx2-3x-1=0的两个根 55/169 第26章二次函数 -3 -3 3 为x2。+2=石=-3，k=-1,抛物线的对称轴为直线X= 2k=-29 ②若直线y=n与该抛物线有公共点，求n的取值范围。 答案：n≤4 解析：：抛物线y=-x2-3x-1与直线y=n有公共点，一元二次方程-x2-3x-1=n 有实数解，整理得2+3x+n+1=0,△=32-4n+1)≥0，解得n≤年即n的取值 范围为n≤4 知识点2将二次函数问题转化为相应的一元二次方程的求解问题 4.【2026安阳期末】在平面直角坐标系内，若移动二次函数y=-(x-2023)(x-2025)+5的 图象，使其与x轴交于两点，且这两点的距离为2个单位，则移动方式可为() A.向上平移5个单位 B.向左平移2个单位 C.向下平移5个单位 D.向右平移2个单位 答案：C 解析：把二次函数y=-(x-2023)(x-2025)+5的图象向下平移5个单位得y=-(x 2023)(x-2025),当y=0时，-(x-2023)(x-2025)=0,解得x1=2023,x2=2025, ∴平移后的抛物线y=-(x-2023)(x-2025)与x轴的交点坐标为(2023,0)，(2025,0)，· 抛物线与x轴的两交点之间的距离为2025-2023=2，·移动方式为向下平移5个单位。 故选C。 5.【2026和平期中】一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：)与水平距离x（单位： 25 之间的送系是y子专牛专则雅出铅球的水平距离为○） A.12m B.10m C.4m D.3m 答案：B 56/169 第26章二次函数 解析：令y-0,得-22+子+号0，则2-8x-20=0,即(K-10x+2)=0, 1 2.5 解得x1=10,x2=-2（舍去)，推出铅球的水平距离为10m,故选B。 6.【2026南昌期中】定义：由两条与x轴有相同的交点，组成一个如图所示的“笑口线”。 抛物线=x-1P-2与抛物线2=ar2+bx+c(a>2)） (1)求出点M,N的坐标； 答案：M(-1,0),N(3,0) 1 解析：当y1=0时，7(c-1)2-2=0,解得x1=-1,x2=3,即M(-1,0),N(3,0)。 (2)求日的值。 1 解析：抛物线y2=ax2+bx+c(a>)与x轴的交点为M(-1,0),N(3,0),一元二次 CC a 1 方程r2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3。xx2=0“日=-1X3=3,六。3 57/169 第26章二次函数 26.8将一元二次方程（不等式）问题转化为相应的二次函数问题 知识点1用二次函数解一元二次方程 1.【2026昆明期中】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，函数值y与自变量x的部分对应 值如表所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为() -3 -2 -1 0 0 3 4 3 AX1=X2=-3 B.x1=-3,x2=1 C.x1=-3,X2=-2 D.x1=-3,x2=3 答案：B 解析：观察表格可知抛物线对称轴为直线x=-1,当x=一3时，y=0,根据抛物线对称性， x=1时，y=0,一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-3,x2=1。 2.【2026徐州期中】如图，已知二次函数y=a(x+1)(x-3)的图象经过点A(0,3),则关于x 的一元二次方程ax2-2ax=3a+3的根是（） A.x1=0,x2=2 Bx1=-1,X2=3C.x1=0,x2=3 Dx1=1,x2=-3 答案：A 解析：抛物线y=a+1)x-)=x2-2ax-3a的对称轴为直线x=-2-1,点 2a A(0,3)关于抛物线对称轴对称的点为(2,3)，抛物线y=ax2-2ax-3a与直线y=3的交点横 坐标为0,2，关于x的一元二次方程ax2-2ax=3a+3的根为x1=0,x2=2。 3.【2025浙江杭州期中】二次函数y1=ax2+bx(a,b为实数，a<0)图象的对称轴为直线x=2, 且图象经过点(m,n)。若二次函数y2=a(x-2)2+b(x-2)的图象经过点(m-2,n),则关于x 的方程a(x-2)2+b(x-2)=n的解是 58/169 第26章二次函数 答案：X1=2,x2=6 解析：由题意可得，二次函数y2=a(x-2)2+b(x-2)的图象是由二次函数y1=ax2+bx(a,b 为实数，a<0)的图象向右平移2个单位得到的，当点(m,n)在y1的图象上时，有(m+2,n) 在y2的图象上，且平移后的抛物线的对称轴是直线x=4。点(m-2,n)在y2的图象上，y2= a(x-2)2+b(x-2)的对称轴是直线m-2+m+2 2 m=4,∴点(2，m),(6,n)在y2=a(x- 2)2+b(x-2)的图象上，方程a(x-2)2+b(x-2)=n的解是x1=2,x2=6。 知识点2用二次函数求一元二次方程的近似解 4.【2026武汉期中】如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,则一元二次方程 ax2+bx+c=0的一个解的范围是() A.-4<x<-3 B.-3<x<-2 C.-2<x<-1 D.-1<x<0 答案：B 解析：抛物线的对称轴为直线x=一1，抛物线与x轴的一个交点在(0,0)和(1,0)之间，抛物线 与x轴的另一个交点在(-2,0)和(-3,0)之间，一元二次方程ax2+bx+c=0的解的范围为 -3<x<-2或0<x<1。 5.【2025西城期中】如表是若干组二次函数y=x2-4x+c中的x与y的对应值： 0.7 0.8 0.9 1.0 0.30 0.05 -0.18 -0.39 则关于x的方程x2-4x+c=0的一个近似根为（) A.3.0 B.3.1 C.3.2 D.3.3 59/169 第26章二次函数 答案：C 解析：二次函数y=x2一4x+c,:图象的对称轴为直线x=2。观察表格得方程x2-4x+c=0 的个近似根是08。设另一个近似根为，则另-个近似根满足8士m-2,解得m=32。 知识点3用二次函数解不等式 6.已知二次函数y=x2一2x-3,若y>-3,则自变量x的取值范围是（) A.x<0或x>2 B.x<1或x>3 C.0<x<2 D.1<x<3 答案：A 解析：二次函数y=x2一2x-3=(x-1)2-4,该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1, 令x=0,则y=-3,抛物线与y轴的交点是(0，-3)，点(0，-3)关于对称轴的对称点为(2， 3),∴当y>-3时，自变量x的取值范围是x<0或x>2。 7.【2026长沙质检】若二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示， 则关于x的不等式a(x+2)2+b(x+2)+c<0的解集为 答案：x<-1或x>1 解析：由图象可得，当x<1或x>3时，ax2+bx+c<0,当a(x+2)2+b(x+2)+c<0 时，x+2<1或x+2>3,解得x<-1或x>1。 8.【2026广州质检】如图为二次函数y=一x2-2x+3的图象，观察图象回答下列问题： (1)方程-x2-2x+3=0的解为x1=一，x2=—-j (2)当y>0时，x的取值范围为 (3)若方程-x2-2x+3=t有实数根，则t的取值范围是 (4)当-3<x<3时，y的取值范围是 60/169 第26章二次函数 答案： (1)x=-3或1. (2)-3<x<1 解析：从图象看，当y>0时，x的取值范围为-3<x<1。 (3)t≤4 解析：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,则抛物线的顶点为(-1,4)，若方程-x2-2x+3= t有实数根，则t的取值范围是t≤4。 (4)-12<y≤4 解析：当x=-3时，y=-x2-2x+3=0;当x=3时，y=-x2-2x+3=-12,抛物线顶 点的纵坐标为4，则当-3<x<3时，y的取值范围是-12<y≤4。 61/169 第26章二次函数 26.9最值问题 知识点1高度问题 1.羽毛球在空中的运动路线可以看作一条抛物线（如图)，羽毛球行进的高度y（米)与水平距 810 离x(米)之间的关系式为y= 三x2+。x+90 则羽毛球行进的最大高度为（) A.2米 B.2.5米 C.2.8米 D.3米 T1111交 '0 答案：A 2 8102 解析：y=-g2+写x+ x-2)2+2 2 <0,当x=2时，y取得最大值2，羽毛球行进的最大高度为2米，故选A。 2.【2026长春期中】公园要建造一个如图(1)的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一 个柱子OA,OA高度为0.8米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头（看作一点)向外 喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与OA水平距离为1米 时，达到距水面最大高度1.44米，那么水池的半径至少为 米，才能使喷出的水流不落 到池外（不计其他因素）。 图(1) 图(2) 答案：2.5 解析：设y轴右侧的抛物线解析式为y=a(x-1)2+1.44。 将A(0,0.8)代入，得a×(0-1)2+1.44=0.8,解得a=-0.64, y轴右侧的抛物线解析式为y=-0.64(x-1)2+1.44。 当y=0时，-0.64(x-1)2+1.44=0,解得x1=2.5,x2=-0.5(舍去)， 水池的半径至少为2.5米。 62/169 第26章二次函数 知识点2面积问题 3.【2025六安期中】如图是一个长20m、宽16m的矩形花园，现重建花园，将它的长缩短m、 宽增加xm,要想使重建后的花园面积最大，则x应为（) A.1 B.1.5 C.2 D.4 1-----------1 答案：C 解析：设重建后的花园面积为Sm2。由题意可得：S=(20-x)(16+x)=-(x-2)2+324, ∴当x=2时，S取得最大值324，故选C。 4.【2025太原质检】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm,BC=8cm。动点P从点A出 发，沿边AB向点B以1c/s的速度运动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点 C以2c/s的速度运动（不与点C重合)。当四边形APQC的面积最小时，运动的时间为（) A.1s B.2s C.3s D.4s A B →Q 答案：B 解析：设运动时间为xs,四边形APQC的面积为ycm, 1 1 则AP=Xcm,BQ=2xcm,BP=(4-0cm。y=SAABC-SaP8Q=2BC,AB-2BQ·BP, 即y=2×8×4-2×2x(4-)=2-4x+16=(x-2)2+12, 当x=2时，y有最小值，为12，故选B。 5.【2025天津期末】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。 设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm2,其中AD≥AB且AD≤18m。有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； 63/169 第26章二次函数 ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m; 225 ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为2m2。 其中正确的结论有 。(填序号) 18m 墙 D 菜园 ⊙ 答案：③ 解析：AB的长为xm,BC的长为(30-2x)m,则AD=(30-2x)m, (30-2x≥x (x≤10 :AD≥AB且AD≤18m,·. X>0, 解得{x>0, 30-2x≤18 (x≥6 “x的取值范围为6≤x≤10，故①错误。 根据题意得x(30-2x)=100,解得x1=5,x2=10, ·6≤x≤10，·x=10,AB的长有一个值满足该矩形菜园的面积为100m2,故②错误。 .225 根据题意得S=x30-2x)=-22+30x=-2(x号)2+) 225 -2<0,6≤x≤10，当x=之时，S有最大值，最大值为2，故③正确。 15 6.如图，某小区计划用18m的铁栅栏两面靠墙（墙足够长)围成一个矩形车棚ABCD,为了 方便存车，在CD(CD>2m)边上开了一个2m宽的门EF（门不是用铁栅栏做成的)，设边BC 的长为xm,车棚面积为ym。 (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x的值是多少时，车棚面积最大？最大面积是多少？ D E F C 4 ⊙ 答案： (1)CD=AB=18+2-x=20-x,·.y=AB×BC=x(20-x)=-x2+20x(0<x<18)。 (②)当x=-20=10时，y最大=100，当x=10时，车棚面积最大，最大面积是100m2。 64/169 第26章二次函数 26.10最大利润问题 知识点最大利润问题 1.【2026石家庄质检】某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创 建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶。 已知头盔的进价为每顶50元，则该商店某月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（) A.50元 B.90元 C.80元 D.70元 答案：D 解析：设该商店每月获得的利润为w元，每顶头盔的售价为x元。 由题意可得： w=(x-50)[200+(80-x)×20] =-20(x-70)2+8000 ∴当x=70时，w取得最大值，故选D。 2.在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬 菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，测出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 () A.1月份 B.2月份 C.5月份 D.7月份 y/元↑ 10 9 8 7 6 5 4 每王克售价 3 2 0123456789x/月份 答案：C 解析：设x月份出售该种蔬菜时，每千克利润为w元，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元。 根据题图设y1=kx+b,将(3,5)，(6,3)代入： 3k+b=5 {6k+b=3 2 解得k=一3，即y1=-3x+7。 b=7 根据题图设y2=a(x-6)2+1,将(3,4)代入：4=a(3-6)2+1 65/169 第26章二次函数 1 a=3即y2=3x-62+1。 2 w=- 3x+7- :W=y1-y2, 1 1 1 32+ 3x-6=-30x-52+3 x=5时，w有最大值，即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是5月份。故选C。 3.新考法 【2026南宁期末】某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利 润y1(万元)与投资量x（万元)成正比例关系，如图(1)所示；种植果树的利润y2（万元) 与投资量x(万元)成二次函数关系，如图(2)所示。若这位专业户投入种植茶树及果树资金 共10万元（可只投资种植一种），则他能获得的最大总利润是() A.20万元 B.32万元 C.48万元 D.50万元 y1个 Y2个 2-/P1,2) Q2,2) 图(1) 0 12衣 图(2) 12 答案：D 解析：设y1=kx,把P(1,2)代入y1=kx中得k=2,y1=2x。 1 股2=a2,P022代入次=a2中得2=4a解得a白专22 设这位专业户投入种植果树的资金为m万元，投入种植茶树的资金为(10-m)万元，他获得的 利润为w万元。 由题意得：当m=0时，w=20;当m=10时，w=50,50>20, 他能获得的最大总利润是50万元，故选D。 4.【2026滨州期末】便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元)与每件售 价x（元)之间的关系满足y=-2x2+80x+758。由于某种原因，现每件售价需满足21≤x≤ 25,那么此时该店一周可获最大利润是 元。 66/169 第26章二次函数 答案：1556 解析：y=-2x2+80x+758 =-2(x-20)2+1558 抛物线对称轴为直线x=20,开口向下，∴当x>20时，y随x的增大而减小。 21≤x≤25，x=21时，y取最大值， 此时y=-2×(21-20)2+1558=1556. 5.【2025合肥质检】某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售，经市场调查发 现，销售单价不低于进价时，日销售量y(个)与销售单价x（元/个)之间满足如下的一次 函数关系：当销售单价为12元/个时，日销售量为152个；当销售单价为16元/个时， 日销售量为136个。若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为 m(0<m<4)元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元， 则m的值为 答案：2 解析：设-次函数解析式为y=x+6k÷0,根据题意得：什欲+名二56 解得化200y=-红+20。 每个徽章的利润为(x-10)元，赠送礼品后每个徽章的利润为(x-10-m)元， 设日销售利润为w元，W=(x,10-m)(-4x+20) =-4x2+4(60+m)x-(2000+200m) -4<0,w有最大值。 又：该种徽章日销售获得的最大利润为1444元， 4×(-4)×[-(2000+200m)]-[4(60+m)]2 =1444 4×(-4) 整理得m2-80m+156=0,则(m-2)(m-78)=0, 解得m1=2,m2=78,0<m<4,m的值为2。 6.【2026南通质检】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表 示该产品每千克生产成本y1（单位：元)与产量x（单位：kg)之间的函数关系；线段CD表示 该产品每千克售价y2（单位：元)与产量x（单位：kg)之间的函数关系，已知0<x≤120， 67/169 第26章二次函数 m≥60。 (1)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式 (2)若=90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若60<m<70,则测销售该产品获得的最大利润是 元。 y/元 60 50----D 40 B 30H 20H 10H 0 120 x/kg 答案：01-言+600<≤120 (2)产量为90kg时利润最大，最大利润1350元 (3)1200 解析： (1)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1(0<x≤120)， 根据题宽，得120十0-40 b1=60 解得k1=6, (b1=60 线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1= 6x+60(0<x≤120)。 1 (2)m=90,∴设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+90(0<x≤120)， 根据题意，得50=120k2+90,解得k,=3y%=-3x+90(0<x≤120)。 1 1 设产量为xkg时，获得的利润为W元， w-×(-写+90-（名x+60刃 2+30x 1 6(x-90)2+1350 “当x=90时，W取得最大值，最大值为1350元， 该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元。 (3)设线段CD的解析式为y2=k3x+m(0<x≤120)，获得的利润为W元。 68/169 第26章二次函数 由题意得120k,+m=50,解得，=50m 120, 50-m, y2=120x+m w9wx-(16 70=mx2+(m-60)x 120 70-m 60<m<70,120>0,m-60>0,该抛物线开口向上，且对称轴在y轴左侧， 当0<x≤120时，W随x的增大而增大，当x=120时，W的值最大，W最大=1200， ∴60<m<70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大，最大利润为1200元。 69/169 第26章二次函数 26.11抛物线形问题 知识点1实际问题中的轨迹型问题 1.【2026荆州期中】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统。该系统中的喷 灌器从喷水口喷出的水柱成抛物线形。如图是喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地 高度为0.25m,喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高点，最高点离地高度为0.45m, 且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，则喷灌器OA与围墙的水平距离OB为（) A.4m B.4.5m C.5m D.5.5m A--------- 0 B 答案：C B 解析： 以O为原点，直线0B为x轴，直线0A为y轴建立平面直角坐标系。 设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+0.45。 点(0,0.25)在该抛物线上，·0.25=a(0-2)2+0.45, 1 解得a= 20y=-20x-2)2+0.45。 当y=0时，0= 20x-2)2+0.45,解得x1=5,-1(不符合题意，舍去)， 0B=5m。 2.【2026莆田期中】某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行 进单位：米与水平（单位：米）之间的关系式是y一2+子那么该 男生此次投掷实心球的成绩是米。 答案：10 70/169 第26章二次函数 25 解析：令y=0,得022+3x+整理得x2-8x-20=0,(c-10)cx+2)三 解得x1=10,x2=-2(舍去)，∴该男生此次投掷实心球的成绩是10米。 3.【2026沈阳期中】如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E 的坐标为(--10)。运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点0的抛物线。 5 运动员在空中最高处点A的坐标为(1,4)。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动 21 27 员入水点的正前方有M,N两点，且EM=2m,EN=之m,该运动员入水后运动路线对应 的抛物线的函数解析式为y=a(x-h)2+k,且顶点C距水面5m,若该运动员出水点D在M,W 之间（包括M,N两点)，则a的取值范围是一。 0m B.P.X.水面 ==--==- 5 4 答案：i6<a< 21 3 解析：EM=乞m,EW=之m,点E的坐标为(-之-10)， 27 点M,N的坐标分别为(9，-10)，(12，-10)。 5 5 :A(1,),可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为y=m(x一1)+ 4 5 抛物线过0,0，mt5三0，解得m二 5 5 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为y=一x-1)2+ 5 令y=-10,-10=-0x-12+子解得x=4或-2（舍去)，·B4,-10)。 5 :入水后抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,顶点C距水面5m,即顶点纵坐标为-15。 当抛物线过点M(9,-10)时，J顶点为(6.5，-15)，解析式为y=a(x-6.5)2-15, 5 代入M9,-10)得a=;当抛物线过点N12,-10)时，a=6° 4 71/169 第26章二次函数 5 由点D在M,N之间（包括M,N两点）得a的取值范围为1G<a<写 4 知识点2实际问题中的拱桥形问题 4.【2026乌兰期中】内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日 至31日在赤峰市举办。在运动场入口安装了一个充气拱门，拱门呈抛物线形（如图所示）。 数学小组想了解此拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=10m,再将两根长度为3m的标杆CE, DF垂直于地面放置且让标杆端点C,D落在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF=8,则此 拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为() 25 A.25m B.20m C D.5m 答案：C C AE 2 解析： 以AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角 坐标系。 由题意得A(-5,0),B(5,0),D(4,3), 设经过A,B,D三点的抛物线的解析式为y=a(x+5)(x-5)(a≠O), 3=a(4+54-50.解得a=一了地物线解折式为y=一c+5)K-5)。 当x-0时，y=名×(0+5)×0-5)-号，此挑门的高度为写m 1 25 25 72169 第26章二次函数 5.【2025河北石家庄校级期中】某拱桥的主桥拱可近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度0A 约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y= a(x一10)2+10，则a=,主桥拱最高点P与其在水中倒影点P'之间的距离为米。 A ,20x 答案： 10;20 解析：由题意可得A(20.0,a(20-102110-0,解得0-一 10 0x-10)2+10,P(10,10),点P的坐标为(10，-10)， 1 …y=-1 ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点P之间的距离为10-(-10)=20（米)。 6.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8m,宽0A为2m,隧道最高点P 位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系（1个单位长度表示1m)。 (1)求抛物线的解析式。 (2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过？为什么？ (3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过？ 为什么？ A C 答案 (①)抛物线解析式为y=- 4x-4)2+6 73/169 第26章二次函数 解析：由题意可知抛物线的顶点坐标为P(4,6),设抛物线的解析式为y=α(x一4)2+6。 点4(0,2)在抛物线上，2=a(0-42+6,解得a三名 抛物线的解析式为y- 4x-4)2+6。 (2)能通过 解析：令y=4,则4=-x-④2+6，解得x1=4+2V2,=4-2V2, 1 ·x1-x2|=4V2>2,货车能从该隧道内通过。 (3)可以同时顺利通过 解析：由(2)可知x1一x2l=4V2>2×2,两辆相对而行的货车可以同时在隧道内顺利通 过。 74/169第26章二次函数 26.1二次函数的概念 知识点1二次函数的定义 1.【2026烟台期中】下列函数中，是二次函数的有() 2 (①y=3(x-102+1,(②)y=2:(3)y=(x+3)2-2,(④y=22-x: (5)y=ax2+bx+c。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.【2026海淀区质检】已知关于x的函数y=ax2+3x-x2+1是二次函数，则a的取值范围 是 3.关于x的函数y=(a2+2a+3)x2+3ax+1,甲说：“此函数不是二次函数。”乙说：“此函 数一定是二次函数。”丙说：“此函数是不是二次函数与α的取值有关。”你认为谁的说法正确？ 为什么？ 知识点2二次函数的一般形式 4.【2025安徽毫州调研】下列二次函数中，二次项系数是-3的是() A.y=3x2-2x+5 B.y=x2-3x+2 C.y=-3x2-x D.y=x2-3 5.把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 知识点3实际问题中的二次函数 6.【2025长沙质检】某工厂七月份生产零件50万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件 的增长率为x,如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是() A.y=50(1+x)2 B.y=50+50(1+x)+50(1+x)2 C.y=50(1+x)+50(1+x)2 D.y=50+50(1+x) 19/86 第26章二次函数 7.【2026绍兴期中】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一个圆形水池，圆周上的点到正 方形边上的点的最短距离为3m。记正方形内除水池外的面积为ym2,圆的半径为xm,则y 关于x的函数解析式是() A.y=(2x+3)2 B.y=4(x+3)2 C.y=4(x+3)2-πx2 D.y=(x+3)2-πX2 8.如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长）和总长为28米的 篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形。设大矩形垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积 为y平方米，则y关于x的函数解析式为. (用二次函数的一般形式表示)。 A E D B FC 易错点用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错 9.当m=时，y=(m-1)xm+1是二次函数。 20/86 第26章二次函数 26.2二次函数(y=ax2)的图象和性质 知识点1二次函数y=ax2的图象 1.二次函数y=2x2的图象大致是（) 2.【2026西宁质检】已知抛物线y=αx2经过点(2，-8) (1)求a的值； (2)画出此函数的图象。 1「5 .-- 3 543212345元 J--1--t----J 知识点2二次函数y=ax2的性质 3.若二次函数y=Qx2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点（) A.(2,4) B.(-2,-4) C.（-4,2) D.(4,-2) 4.【2026张家口期中】嘉嘉用软件绘制抛物线y=2x2时，将“2”按成了“3”，和原图象相 比，发生改变的是() A.开口方向 B.开口大小 C.对称轴 D.顶点坐标 5.已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是() A.a>0 B.a>1 C.a≥1 D.a<1 21/86 第26章二次函数 6.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点，则下列关系式一定正确的是（) A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0 7.【2026武汉质检】已知y=(m+1)xm2+m是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而减小， 则m的值为_ 8.【2025郑州质检】已知二次函数y=x2,当-2≤x≤3时，y的取值范围是 9.已知二次函数y=ax2,当x=3时，y=3 (1)当x=-2时，求y的值； (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，y随x的增大而增大。 易错点忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 10.已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则a= 22/86 第26章二次函数 26.3二次函数(y=ax2+的图象和性质 知识点1二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.二次函数y=5x2+1的图象大致是() 2【2026泸州期中】关于以下四个函数y=-2,y=2,y=2,y=2+1的共同 点，下列说法正确的是() A.图象的开口向上 B.图象的对称轴是y轴 C.有最大值 D.y随x增大而增大 3.对于二次函数y=2x2-3,当-1≤x≤2时，y的取值范围是（) A.-1≤y≤5 B.-5≤y≤5 C.-3≤y≤5 D.-2≤y≤5 4.【2026福建福州期中】同时满足：①图象开口向下；②顶点坐标为(0,2)的一个二次函 数的解析式为 0 5.【2026惠州期中】若点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-2x2+c的 图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 (用“>”连接)。 6.已知点(x1y1),(x2y2)均在抛物线y=x2-1上，下列说法中：①若y1=y2则x1= x2;②若x1=-x2,则y1=y2;③若0<x1<x2,则y1>y2;④若x1<x<0,则y1>y2。 佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确。请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确， 并说明理由。 23/86 第26章二次函数 1 7.已知抛物线y=-2x+(5-m)x+m-3与y轴交于点C,与x轴正半轴交于点A, 与x轴负半轴交于点B,且OA=OB。 (1)求m的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)求△ABC的面积。 知识点2二次函数y=ax2+k图象的平移 8.【2026无锡期中】把抛物线y=x2-1向上平移3个单位可得抛物线（) A.y=x2+3 B.y=(x+3)2-1 C.y=x2+2 D.y=(x-3)2-1 9.【2026商洛期中】将二次函数y=x2一4的图象向上平移m个单位长度，使其经过点 (-1,3),则m的值为（) A.7B.6 C.5D.4 10,【2025玉林期末】如图，已知地物线1-女214(2≤x≤2)，将地物线1向下 平移2个单位长度后得到抛物线y2,则图中阴影部分的面积S=一。 2 24/86 第26章二次函数 26.4二次函数y=α(x-h)2的图象和性质 知识点1二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1.抛物线y=-(x-1)2一定经过() A.第一、二象限 B.第一、三象限 C第二、四象限 D.第三、四象限 1 2.【2025阜阳期中】抛物线y=-3(x-4)2与抛物线y=22的相同点是（) A.对称轴相同 B.顶点相同 C.顶点都在x轴上 D.形状相同 3.【2025义乌质检】若小明将如图所示的两条水平线AB,CD中的一条当成x轴，且向右为正 方向；两条铅垂线AC,BD中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二 次函数y=2(x-1)2的图象，则坐标原点可能是（) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.已知二次函数y=-2(x+b)2,当x<-3时，y随x的增大而增大；当x>-3时，y随x的 增大而减小，则当x=1时，y=（) A.-12 B.12 C.32 D.-32 5.【2026西城区期中】已知点A(n-1,y1)、B(m+2,y2)、C(n,y3)在抛物线y=(x-nm)2上， 则y1,y2,y3的大小关系是 (用“<”连接)。 6.已知二次函数y=3(x-3)2,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取3x1+3x2 时，函数值为 25/86 第26章二次函数 7.开放性试题有一个二次函数，三位同学分别说出了它的特点： A:函数图象的顶点在x轴上； B:当x>1时，y随x的增大而减小； C:该函数图象的形状与函数y=-2x2的图象相同。 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式： 8.【2026苏州期中】二次函数y=a(x+1)2的图象与直线y=2x-1交于点P(1,m)。 (1)求a,m的值； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出在二次函数y=a(x+1)2中，当y>1时，x的取值范围。 知识点2二次函数y=a(x-h)2图象的平移 9.把抛物线y=(x一1)2向左平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为()） A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+3)2 C.y=(x+1)2 D.y=(x-3)2 10.【2025南昌质检】若将抛物线y=(x一3)2的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的 是() A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 26/86 第26章二次函数 26.5二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 知识点1二次函数y=Q(x-h)2+k的图象和性质 1.【2026海淀期中】若抛物线y=2(x-m-1)2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取 值范围是() A.m>1 B.m<2 C.1<m<2 D.-2<m<-1 2.【2025南州调研】已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示。下列关于该函数在所给自变 量取值范围内的说法，正确的是() A.图象关于直线x=1对称 B.有最小值-1，有最大值3 C.y值随x值的增大而增大 3 D.有最小值0，有最大值3 3.【2026东城期中】已知y是关于x的二次函数，y与x的部分对应值如表所示，当0<x<3 时，y的取值范围是() -1 0 2 3 6 3 23 m A.2<y<6 B.2≤y<6 C.3<y<6 D.3≤y<6 4.已知二次函数y=-(x-1)2+2,当t<x<5时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 5.如图是二次函数y=α(x+1)2+4的图象的一部分（点A为抛物线与x轴的交点，且在网格 线的交点处)，根据图象回答下列问题： (1)确定a的值； (2)设抛物线的顶点是P,B是x轴上的一个点，若△PAB的面积为6，求点B的坐标。 27/86 第26章二次函数 知识点2二次函数y=a(x-h)2+k图象的平移 6.【2026武汉期中】将抛物线y=一2(x+1)2-2先向右平移3个单位长度，再向下平移3 个单位长度后的抛物线解析式为 7.【2025准安质检】点P(m,5)在抛物线C:y=-(x-3)2+6上，将抛物线C进行平移得到 抛物线C:y=一x2+2,P的对应点为P,则点P移动的最短路程为. 知识点3用待定系数法求二次函数y=a(x-h)2+k的解析式 3 8.【2026邯郸期末】某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为2米的喷水管喷水 最大高度为4米，此时距喷水管水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解 析式为 (不需要写出自变量的取值范围)。 Y A 32 0 2 易错点混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错 9.抛物线的函数解析式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移 3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为() A.y=3(x+1)2+3 By=3(x-5)2+3 Cy=3(-5)2-1 Dy=3(x+1)2-1 28/86 第26章二次函数 26.6二次函数(0y=αx2+bx十c)的图象和性质 知识点1把二次函数的一般式化为顶点式 1.【2025毫州质检】将二次函数y=x2+4x-4化成y=a(x+h)2+k的形式为（) A.y=(x+2)2-8 B.y=(x-2)2 C.y=(x+2)2-4 D.y=x2-8 2【2025南通质检】把=次函数y-2-x+3化为y-ac-P+k的形式，则 k=— 知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移 3.【2025九江期末】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x=1的抛物线y=mx2+ nx+m一2(m>2)向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方 式正确的是() A.向上平移1个单位长度 B.向上平移2个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向上平移4个单位长度 4.【2026牡丹江期中】将抛物线y=ax2+bx+c向左平移一个单位长度后得到的抛物线的 解析式为y=3x2-2x+1,则a+b+c的值为。 知识点3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5.二次函数y=2x2+8x+7的图象是（) B 6.【2026南京期中】当m≤x≤4时，函数y=-x2+4x的y的取值范围是0≤y≤4， 则m的取值范围是（) A.0<m≤2 B.0≤m<2 C.0<m<2 D.0≤m≤2 29/86 第26章二次函数 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的部分图象如图所示，其 对称轴为直线x=2,与y轴交于点(0，-2)，则当y<-2时，x的取值范围是1L。 8.【2025上海期中】已知(-1，y1)、(2,y2)、(4,y3)都是二次函数y=ax2-2ax+3a(a≠0) 的图象上的点，当x>2时，y随着x的增大而增大，则y1,y2,y3按从小到大的顺序排 列是 。(用“<”连接) 9.【2026泉州期中】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y之间 满足表格中的数量关系，那么(4a-2b+c)(a-b+c)的值为。 3 4 2 5 知识点4二次函数y=Qx2+bx+c的图象与系数的关系 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1。下列结论：①abc<0; ②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数)。其中结论正确的个 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 30/86 第26章二次函数 26.7将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 知识点1二次函数的图象与x轴的交点情况 1.二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个交点，则a可以是（) A.0 B.1 C.2 D.3 2.【2026湖州期中】若函数y=(k-1)x2+3x-2的图象与x轴只有一个公共点，则实数 k的值是 3.【2026武汉期中】已知拋物线：y=kx2-3x-1 (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 (2)若抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,0),当x1+x2=-3时。 ①的值为 ，抛物线的对称轴为直线 ②若直线y=n与该抛物线有公共点，求n的取值范围。 知识点2将二次函数问题转化为相应的一元二次方程的求解问题 4.【2026安阳期末】在平面直角坐标系内，若移动二次函数y=-(x-2023)(x-2025)+5的 图象，使其与×轴交于两点，且这两点的距离为2个单位，则移动方式可为() A.向上平移5个单位 B.向左平移2个单位 C.向下平移5个单位 D.向右平移2个单位 5.【2026和平期中】一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：)与水平距离×（单位： 2 m)之间的关系是y=22+号x+ 1 ,则推出铅球的水平距离为() A.12m B.10m C.4m D.3 m 31/86 第26章二次函数 6.【2026南昌期中】定义：由两条与x轴有相同的交点，组成一个如图所示的“笑口线”。 抛物线⅓-c-1)2-2与地物线%=a2+bx十ca>分》 1 (1)求出点M,N的坐标； (2)求的值。 32/86 第26章二次函数 26.8将一元二次方程（不等式）问题转化为相应的二次函数问题 知识点1用二次函数解一元二次方程 1.【2026昆明期中】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，函数值y与自变量x的部分对应 值如表所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为() -3 -2 -1 0 y 0 3 4 3 AX1=X2=-3 B.x1=-3,x2=1 C.x1=-3,X2=-2 D.x1=-3,X2=3 2.【2026徐州期中】如图，已知二次函数y=a(x+1)(x-3)的图象经过点A(0,3),则关于x 的一元二次方程ax2-2ax=3a+3的根是（) A.X1=0,X2=2 B.X1=-1,X2=3 C.x1=0,x2=3 DX1=1,x2=-3 A B 3.【2025浙江杭州期中】二次函数y1=ax2+bx(a,b为实数，a<0)图象的对称轴为直线x=2, 且图象经过点(m,n)。若二次函数y2=a(x-2)2+b(x-2)的图象经过点(m-2,n),则关于x 的方程a(x-2)2+b(x-2)=n的解是 知识点2用二次函数求一元二次方程的近似解 4.【2026武汉期中】如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,则一元二次方程 ax2+bx+c=0的一个解的范围是() A.-4<x<-3 B.-3<x<-2 C.-2<x<-1 D.-1<x<0 33/86 第26章二次函数 5.【2025西城期中】如表是若干组二次函数y=x2-4x+c中的x与y的对应值： 0.7 0.8 0.9 1.0 y 0.30 0.05 0.18 0.39 则关于x的方程x2-4x+c=0的一个近似根为（) A.3.0 B.3.1 C.3.2 D.3.3 知识点3用二次函数解不等式 6.已知二次函数y=x2一2x-3,若y>一3，则自变量x的取值范围是() A.x<0或x>2 B.x<1或x>3 C.0<x<2 D.1<x<3 7.【2026长沙质检】若二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示， 则关于x的不等式a(x+2)2+b(x+2)+c<0的解集为 8.【2026广州质检】如图为二次函数y=-x2-2x+3的图象，观察图象回答下列问题： (1)方程-x2-2x+3=0的解为x1=一，x2=—-i (2)当y>0时，x的取值范围为 (3)若方程-x2-2x+3=t有实数根，则t的取值范围是 (4)当-3<x<3时，y的取值范围是 34/86 第26章二次函数 26.9最值问题 知识点1高度问题 1羽毛球在空中的运动路线可以看作一条抛物线（如图)，羽毛球行进的高度y（米)与水平距 810 离x(米)之间的关系式为y= 2+。x+00 则羽毛球行进的最大高度为（) A.2米 B.2.5米 C.2.8米 D.3米 2.【2026长春期中】公园要建造一个如图（1)的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一 个柱子OA,OA高度为0.8米，0恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头（看作一点）向外 喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与OA水平距离为1米 时，达到距水面最大高度1.44米，那么水池的半径至少为米，才能使喷出的水流不落 到池外（不计其他因素）。 图（1) 图（2) 知识点2面积问题 3.【2025六安期中】如图是一个长20m、宽16m的矩形花园，现重建花园，将它的长缩短m、 宽增加x,要想使重建后的花园面积最大，则x应为（) A.1 B.1.5 C.2 D.4 第3题图x 第4题图 B→ 4.【2025太原质检】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm,BC=8cm。动点P从点A出 发，沿边AB向点B以Icm/s的速度运动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点 C以2c/s的速度运动（不与点C重合）。当四边形APQC的面积最小时，运动的时间为() A.1s B.2s C.3s D.4s 35/86 第26章二次函数 5.【2025天津期末】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。 设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm2,其中AD≥AB且AD≤18m。有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2; 225 ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为2m2。 其中正确的结论有 。(填序号) 18m 墙 D 菜园 夕 6.如图，某小区计划用18m的铁栅栏两面靠墙（墙足够长)围成一个矩形车棚ABCD,为了 方便存车，在CD(CD>2m)边上开了一个2m宽的门EF(门不是用铁栅栏做成的)，设边BC 的长为xm,车棚面积为ym。 (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x的值是多少时，车棚面积最大？最大面积是多少？ D E y B 36/86 第26章二次函数 26.10最大利润问题 知识点最大利润问题 1.【2026石家庄质检】某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创 建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶。 已知头盔的进价为每顶50元，则该商店某月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（) A.50元 B.90元 C.80元 D.70元 2.在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬 菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 () A.1月份 B.2月份 C.5月份 D.7月份 y/元↑ 10 9 8 7 6 5 4 每王克售价 2 千克成 0123456789x/月份 3.【2026南宁期末】某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的 利润y1（万元)与投资量x（万元)成正比例关系，如图(1)所示；种植果树的利润y2（万元) 与投资量x（万元)成二次函数关系，如图(2)所示。若这位专业户投入种植茶树及果树资金 共10万元（可只投资种植一种），则他能获得的最大总利润是() A.20万元 B.32万元 C.48万元 D.50万元 y1 2-P(1,2) Q2,2) 12 图(1) 图(2) 37/86 第26章二次函数 4.【2026滨州期末】便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元)与每件售 价x（元)之间的关系满足y=-2x2+80x+758。由于某种原因，现每件售价需满足21≤X≤ 25,那么此时该店一周可获最大利润是 元。 5.【2025合肥质检】某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售，经市场调查发 现，销售单价不低于进价时，日销售量y（个)与销售单价x（元/个)之间满足如下的一次 函数关系：当销售单价为12元/个时，日销售量为152个；当销售单价为16元/个时， 日销售量为136个。若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为 m(0<m<4)元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元， 则m的值为. 6.【2026南通质检】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表 示该产品每千克生产成本y1（单位：元)与产量x（单位：kg)之间的函数关系；线段CD表示 该产品每千克售价y2（单位：元)与产量x（单位：kg)之间的函数关系，已知0<x≤120， m≥60。 (1)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式； (2)若=90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若60<m<70,则销售该产品获得的最大利润是 元。 y元 A 0 50 D 40 B 30 20 10 120 x/kg 38/86 第26章二次函数 26.11抛物线形问题 知识点1实际问题中的轨迹型问题 1.【2026荆州期中】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统。该系统中的喷 灌器从喷水口喷出的水柱成抛物线形。如图是喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地 高度为0.25m,喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高点，最高点离地高度为0.45m, 且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，则喷灌器OA与围墙的水平距离OB为() A.4m B.4.5m C.5m D.5.5m A 0 B 2.【2026莆田期中】某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行 1 25 进高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的关系式是y=一 2+x+了那么该 男生此次投掷实心球的成绩是 米。 3.【2026沈阳期中】如图（示意图)，某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E 的坐标为(--10).运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点0的抛物线。 5 运动员在空中最高处点A的坐标为(1，)。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动 员入水点的正前方有M,N两点，且5M-受m,BN-受m,该运动员入水后运动路线对应 27 的抛物线的函数解析式为y=a(x-h)2+k,且顶点C距水面5m,若该运动员出水点D在M,N 之间（包括M,N两点)，则a的取值范围是 2 10m B... P.X水面 ■==m=■■■■= 39/86 第26章二次函数 知识点2实际问题中的拱桥形问题 4.【2026乌兰期中】内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日 至31日在赤峰市举办。在运动场入口安装了一个充气拱门，拱门呈抛物线形（如图所示)。 数学小组想了解此拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=10m,再将两根长度为3m的标杆CE, DF垂直于地面放置且让标杆端点C,D落在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF=8,则此 拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为() 25 A.25m B.20m C.3m D.5m A 0 20x 第4题图 A万 第5题图 5.【2025河北石家庄校级期中】某拱桥的主桥拱可近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA 约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y= a(x-10)2+10,则a=一，主桥拱最高点P与其在水中倒影点P之间的距离为 米。 6.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8m,宽OA为2m,隧道最高点P 位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系（1个单位长度表示1m)。 (1)求抛物线的解析式。 (2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过？为什么？ (3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过？ 为什么？ 40/86