暑假收心卷01（新教材人教版九年级数学上册：一元二次方程、二次函数）

**基本信息** 暑假收心卷聚焦九年级上册一元二次方程与二次函数，通过10道单选、6道填空、8道解答题（72分）实现重难点全覆盖，以科技（仿生飞行器）、体育（世界杯足球轨迹）等真实情境检测学习成果，适配暑假复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|方程定义、函数性质、根的判别式|基础概念辨析，如二次函数判定与参数取值范围| |填空|6/18|顶点坐标、平移变换、函数值比较|核心技能强化，如抛物线平移与方程解应用| |解答|8/72|实际建模（销量增长）、几何综合（喷水装置）、刹车系统分析|情境真实（世界杯足球轨迹），综合考查模型意识与推理能力|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版九年级上册一元二次方程、二次函数。 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 2．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 4．将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 7．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 8．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 9．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线，顶点在第二象限． ①当时， 抛物线开口向下，顶点在处取得最大值， ， 即，此结论正确． ②若且， 则， ， ， ， 又， ， 代入得， ， ，此结论错误． ③若，，，点坐标为， 对称轴， ， ，即， 将代入，得 ，即， ， ， ， ，此结论正确． ④若，， 对称轴， ， 设抛物线解析式为， 代入，得， ， ， 设， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，此结论正确． 综上，①③④正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 12．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 14．已知是方程的解，则________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 15．据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为， 8月销量为万辆．则9月销量为：， 10月销量为：， 由题意得． 16．已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 【答案】或或 【详解】解：， 抛物线与轴交于点和， 情况1：与轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 可得方程为， 解得：， 交点坐标为，不与交点重合，成立； 情况2：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得或， 与轴交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点，成立； 情况3：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得：或， 与轴的交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 18．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 19．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 20．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 21．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 22．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 【详解】（1）解：设A杆的长度为，B杆的长度为， 根据题意，得， 解得， 答：A杆的长度为，B杆的长度为． （2）解：根据题意，横杆距地面， ∴投影布下边缘距地面： 根据题意，得， 解得， 又，， ∴． （3）解：根据题意，得 整理，得 解得或（舍去）． 即缩放比例因子． 23．【问题背景】 自动紧急刹车系统（）是车辆安全的核心配置．为检测某车企研制的刹车系统在雨天对行人的保护能力，搭载该型号刹车系统的试验车辆在雨天以的速度匀速行驶．试验车辆刹车时间t（单位：秒）与刹车距离s（单位：米）的数据如下表： 刹车时间t（秒） 0 1 2 … 刹车距离s（米） 0 … 【模型构建】 (1)如图，在平面直角坐标系中，以刹车时间：t为横坐标，刹车距离s为纵坐标，描出了表中数据所对应的部分点，请你描出其它的点，并用光滑的曲线连接．估计该函数的类型是____________（填写“一次函数”，“二次函数”或“反比例函数”），并求出函数表达式（不必写自变量t的取值范围）； 【模型应用】 (2)求出试验车辆的刹停时间（开始刹车到车辆停止）和刹停距离（精确到0.01米）； (3)试验车辆以速度匀速行驶，突然有行人横穿马路，距离行驶中的车辆14米，系统瞬间触发紧急刹车．这款系统安全吗？请你说明理由．（安全评测标准：车辆停止时与前方行人距离不小于2米则判定为“安全”．） 【详解】（1）解：如图所示； 由图可估计该函数的类型是二次函数； 设该函数的解析式为， 由表格可知，图象过，，， ， 解得， 该函数的解析式为； （2）解：， ，开口向下， 当时，s有最大值，最大值为（米）， 即该试验车辆的刹停时间是秒，刹停距离约为米． (3)安全，理由如下： ， 这款系统安全． 24．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、． (1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示） (2)求证：； (3)若直线与二次函数的图像交于点A、C． ①求二次函数的表达式； ②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标； ③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由． 【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为． （2）证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴和是一元二次方程的两个根． 由根与系数的关系可得：，， 两式联立可得：， ∴， ∵， ∴， 整理得． （3）解：①∵点在直线上． ∴，则． 由（2）可得． 故二次函数表达式为：． ②联立直线和二次函数可得：． 解得：或2， ∴， 设点P坐标为． ∴． 整理得：． 解得：或1． ∴点P的坐标或． ③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度． 对于二次函数：，其顶点式为：． ∴根据平移的性质新的抛物线解析式为， 联立直线可得：， 整理得：． 设，，则，， 由根与系数的关系可得：，． ∴． ∴． ∴ ， ∴． ∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版九年级上册一元二次方程、二次函数。 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 7．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数的顶点坐标是 ____． 12．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14．已知是方程的解，则________． 15．据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 16．已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 18．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 19．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 20．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 21．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 22．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 23．【问题背景】 自动紧急刹车系统（）是车辆安全的核心配置．为检测某车企研制的刹车系统在雨天对行人的保护能力，搭载该型号刹车系统的试验车辆在雨天以的速度匀速行驶．试验车辆刹车时间t（单位：秒）与刹车距离s（单位：米）的数据如下表： 刹车时间t（秒） 0 1 2 … 刹车距离s（米） 0 … 【模型构建】 (1)如图，在平面直角坐标系中，以刹车时间：t为横坐标，刹车距离s为纵坐标，描出了表中数据所对应的部分点，请你描出其它的点，并用光滑的曲线连接．估计该函数的类型是____________（填写“一次函数”，“二次函数”或“反比例函数”），并求出函数表达式（不必写自变量t的取值范围）； 【模型应用】 (2)求出试验车辆的刹停时间（开始刹车到车辆停止）和刹停距离（精确到0.01米）； (3)试验车辆以速度匀速行驶，突然有行人横穿马路，距离行驶中的车辆14米，系统瞬间触发紧急刹车．这款系统安全吗？请你说明理由．（安全评测标准：车辆停止时与前方行人距离不小于2米则判定为“安全”．） 24．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、． (1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示） (2)求证：； (3)若直线与二次函数的图像交于点A、C． ①求二次函数的表达式； ②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标； ③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $