暑假收心卷02（暑假测试）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版九年级上册暑假收心卷，聚焦第25-30章核心知识，通过杨辉数学问题、亚冬会徽章销售等情境，融合基础巩固与创新应用，适配暑假复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程、旋转、反比例函数等|第5题引用杨辉《田亩比类乘除捷法》问题，渗透数学文化| |填空题|6/18|二次函数、圆、一元二次方程应用等|第14题结合山西老陈醋销售，培养模型意识| |解答题|8/72|圆的切线证明、二次函数综合、几何探究等|第24题圆弧三角形滚动特性探究，发展几何直观与创新思维|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 暑假收心卷 02 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 训练范围：新教材，人教版九年级上册第2530章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数、常数项分别是() A.2、-3 B.2、3 C.1、-3 D.-1、3 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) @·②米 3.已知点4(-2,5)，BL,)在反比例函数y=《≠0)的图象上，则y,乃满足() A.2y+2=0B.片+2y2=0 C.2y-y2=0 D.片-2y2=0 4.把抛物线y=)2+1向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为) 2 A.y=+3+2 B.y-- c北 D.y=2-3+2 5.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为60步， 面积是864平方步，问长比宽多几步？若设长为x步，根据题意可列方程是() A.(60-x)x=864 B. 60-x.60+x=864 22 C.(60+x)x=864 D.(30+x)(30-x)=864 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半 径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=2,则扇形DCE的面积为() 118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 1 1 1 7 A.18 B. C.36π D.18r 7.如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在AC上.若∠CBO=n°，则∠ADC=() B A.90°+n° B.180°-n° C.195°-n° D.2n° 8.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a(x+3)°+b(x+3)+c=2根是() 011 x=0.5 A.X1=-4,x2=-3 B.X1=-3,x2=-2 C.x=-2,x2=-1 D.1=-1,x2=0 9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的顶点A、C分别落在y轴正半轴和x轴正 半辅上，项点6落在西数y(x>0)的图象上.两数-(>0)的因象分别交边4B和边BC于点E八F, 则△EFB的面积为() 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9 A.8 B.4 c .A l0.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=5cm.动点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿边AD、 边DC向终点C运动：动点F从点C同时出发，以每秒lcm的速度沿边CB向终点B运动，当点E运动到 点C时，E,F两点停止运动，设运动时间为S.当t=1时，点E,F的位置如图所示.有下列结论： ①当t=3时，EF=3cm ②当1≤t≤3时，△CEF的最大面积为4cm2: ③t有两个不同的值满足△CEF的面积为3cm2 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.一个正方形的边长为8cm,它的边长增加xcm后，得到新的正方形的面积为cm,则y关于x的函数 解析式为 12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°，则∠BOC的度数是」 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 13.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的两个实数根分别为，x2,且x+3x2=4,则m的值 14.山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴. 某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元.市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售 500瓶：售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶.该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达 到8000元，则售价应定为 元 15,如图，A,B是双曲线y(>0)上的两点，过点A作AC⊥辅，垂足为点C交OB于点D,若 △ADO的面积为1.5，D为OB的中点，则k的值为. l6.如图，己知正六边形ABCDEF的中心为O、边心距OM=V5,分别以F、C为圆心，以正六边形的 边长为半径画弧，与正六边形的边AB,DE所围成的阴影部分面积是 418 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M D 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分；共8小题，共72分） 17.解方程： (1)(2x-1)2-9=0: (2)(x+3)2=2.x+5】 18.如图，AB是⊙O的直径，点C在OO上，D为BC的中点，过点D作DE∥BC,交AB的延长线于点 E,连接CD,BC,BD (I)求证：DE是⊙0的切线： (2)若⊙0的半径为3，DE=4,求CD的长 19.如图，△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,连接AE. B (I)求证：△ABC≌△AEC: (2)连接BD,若AC=6,BC=8,请求出线段BD的长度. 20.己知关于x的函数y=ax2-(6a-4)x+9a+2(a是实数). (1)当a=1时，直接写出对称轴及与'轴的交点坐标； (2)若对于任意实数x,总有y>0,求实数a的取值范围： 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设函数y=ar2-(6a-4)x+9a+2的图象与x轴交点为(，0)，(：，0)，若，<1<x,求实数a的取值范 围. 21.第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开.徽章作为亚冬会第一批特 许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱.某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章， 以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚. (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率： (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚， 当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 22.我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程ar2+bc+c=0(a≠0)的两个根是5，本，那么可推出5+=-之 a: a,请运用 这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (若a,B是方程x-4x+1=0的两根，则a+B=,aB=,(（2a+12B+)=_: 【问题探究】 (2)如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是=2，x=3,那么关于y的一元二次方程 (2y-1)+b(2y-1)+c=0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由： 【问题解决】 (3)若关于x的方程r2+br+c=0(a≠0)的两根之和是p,两根之积是q,请求出关于t的方程 a(2t+1)+b(2t+1)+c=0(a≠0)的两根之积的值（用字母p,q表示）. 23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6与x轴相交于A(-2,0),B(6,0),与y轴相交于点 C,连接BC (1)求抛物线的解析式： 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作DE‖y轴交BC于点E.请求出DE+V2BE的最大值以 及此时点D的坐标： (3)在(2)问DE+√2BE取最大值的条件下，将抛物线y=ar2+bx+6沿射线CB方向平移4V2个单位长度 得到新抛物线y,记y与y的交点为M,点N为新抛物线y对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、 MN、P为顶点的四边形是以MN为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写 出求解过程。 24.在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机。在另一种转子发动机 (图(1)是某汽车转子发动机的截面图)中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图(2)所示.图 (2)的画法如下：画一个边长为a的正三角形ABC,分别以A,B,C为圆心，以a为半径画BC,AC, AB.这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形ABC, (1 2） D C G (3) (4) (1)圆弧三角形ABC的周长为， 一，面积为 (都用含a的代数式表示) (2)圆弧三角形ABC运动时有何特性呢？ ①如图(3)，圆弧三角形ABC沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高 点形成的图形大致为() A B D ②数学家发现：圆弧三角形ABC能在边长为α的正方形DEFG中转动，且始终保持与正方形的每一边都有 且只有一个公共点.图(4)是转动过程中的一种情形（点B,C分别在边EF,FG上，AC与边DG有且 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 只有一个公共点M·求证：AB与DE有且只有一个公共点， (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为的正方形中转动时，也能始终保 持与正方形的每一边都有且只有一个公共点：②该图形不能是圆弧三角形或圆.请画出示意图并写出画法 818 暑假收心卷 02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，人教版九年级上册第25~30章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项的图形，先判断是否为轴对称图形：如果能找到至少一条直线，使得图形沿这条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合，那么该图形是轴对称图形，再判断筛选出的轴对称图形是否为中心对称图形：如果能找到一个点，使得图形绕这个点旋转后能和原图形完全重合，那么该图形是中心对称图形，最终选出同时满足两个条件的选项． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，是轴对称图形，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，不是轴对称图形，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，不是轴对称图形，但能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，是轴对称图形，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确． 3．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 4．把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，据此求解即可． 【详解】解：向左平移3个单位得，再向下平移1个单位得． 5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 6．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 7．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 8．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 9．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，则点的纵坐标为，点的横坐标为，代入反比例函数中得，，结合三角形面积的计算列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点落在函数的图象上， ∴设， ∵函数的图象分别交边和边于点、， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， 在反比例函数中，当时，， 解得，，则， 当时，，则， ∴，， ∴ ． 10．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 12．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得， 又 ∵， ． 13．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和，再联立已知等式求出两根，最后利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， 由根与系数的关系可得：， 联立方程组， 得， 解得， 将代入，得， 由根与系数的关系得， 因此． 14．山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 15．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 16．如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得. 18．如图，是⊙O的直径，点C在上，D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接，，． (1)求证∶是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)证明∶连接，，交于点F． ∵，D为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，利用垂径定理，由是中点，得；再由，推出；结合是半径，根据切线判定定理得证． （2）先在中用勾股定理求，再用面积法求高；接着用勾股定理求，进而算出；再在中求；最后由弧中点性质，得，从而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点H， ∵在中，，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． 19．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，请求出线段的长度． 【答案】(1)证明：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 在与中，， ∴； (2)10 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，，那么．再根据“”即可证明； （2）先根据旋转得出，，证明为直角三角形，根据勾股定理求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 20．已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称轴，交点坐标 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 21．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 22．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 24．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $