北京市西城区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

学校2025一2026学年度第二学期期末试卷 高一数学 2026.7 本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共150分。考试时长120分钟。考生务必 将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。 ® 卷 郭 如 一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 {1)知向量a=(2,0),b=(-1,-1),则(a,b)= 啟 (A) (B) π-2 长 (C) 买 (D) 4 (2)若曲线y=sin(2x- 关于直线x=mm>0对称， 则m的最小值为 区 (A) (B) 元-3 (c) 若 (D) 受 蜥 (3) 设函数f倒=血(x+p)的定义域为(-®，+四)，则“9-号”是“网为偶函数” 黛 的 输 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 御 （4)在空间中，已知线段AB和直线1，直线AB∥1.AB=10cm,直线AB与1间的 距离为5cm、以直线1为旋转轴，将线段AB旋转一周而形成曲面8，则曲面8的 豁 面积为 (A)500元cm2 (B)250rcm2 (C)200元cm2 (D)100mcm2 高一数学（卷一） 第1页（共5页） (5)已知a,Be(0,m),且n(a+学=cos(B+君，则 a)afB=君 B）a-B=8 (@)a+A-f D)&-B=月 6)已知函数f(x)=sin@x+V5cosx(w>0)在区间[q,b]上单调递减若f(a)=1, f(b)=-5,b-a=元，则w= w号 (B) (C)2 (D)3 (Z)在△ABG中，AB⊥AC,AB=AC=2,P为△ABC所在平面内一点，则 PA:(距+PC)的最小值为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 (8)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=PC,D,E分 别为BC,AC的中点，过DE的平面分别交PA,PB于F,G.若平面DEFG将三棱 锥P-ABC分成体积相等的两部分，则FC DE. (A)1 (B)2 E (c) 1-2 (D) 1-3 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (9)复数1+3i 3-1 (10)函数f()=Asin(2x+)的部分图象如图所示，则A=一：=一 2 (11)已知a,B∈(0,2π)，且cos(mB)=sin(a-)写出满足条件的一组a,B的值 a=,B=- (12)在四面体ABCD中，AB=AC=BC=AD=BD=2,若平面ABGL平面ABD,则 四面体ABCD的表面积为 (13)已知，B是锐角，给出下列四个结论： ①va,Be(o,7,si血(a+)<sina+s血B: aB)cos(>sin 图Va,B∈(0，)，sin(a-p)<cosa+cosB: a,BE,),cos(+)>+. 其中所有正确结论的序号是一， 三、解答题共5小题，共73分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (14)(本小题14分) 已知函数)=2sin2x-cos2x+孕· (I)求f(x)的最小正周期： (Ⅱ)求()在区间[0，]上的最小值.。 (15)（本小题14分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，△ABC为正三角形，D是AB的中点： （I)求证：BC∥平面A,CD: C (II)若AB=AA=2,∠AAB=60°，∠DA,C=909 (1)求证：AB⊥AC; (ⅱ)求三棱柱ABC-AB,C的体积. (16)(本小题15分) 在△ABC中，atan B=2 bsin A. (I)求∠B; (Ⅱ)已知b=4W5,AD⊥BC于D.再从条件①、条件②.条件③这三个条件中选择一个作 为已知，使△ABC存在且唯一，求AD的长. 条件①：△ABC的周长为12√5； 条件②：△ACD的面积为6√5： 条件③：△ABC的面积为12√5. 注：如采选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件 分别解答，按第一个解答计分， 高一数学（卷一）第4页（共5页) (17)(本小题15分) 如图1，在△ABC中，AB=V5,AC=2W2,BC=3,AD为BC边上的高.如图2，将 △ADB绕AD旋转至△MADP,使CP=√5. (I)求证：平面ADP⊥平面ACP: (Ⅱ)在(I)的条件下，过点D作DH⊥平面ACP,试确定点H的位置，并求DH的长. 图1 图2 (18)(本小题15分) 给定正整数n≥5，设n维向量集合U={u=(a,a2,…,a)川a,e{0,1,i=1,2,…,n)}.对 任意a,BeU,其中u=(a,42,,an),B=(,b2,…,bn),定义B=a6+a2h2+…+ab· 设A三U,若A同时满足下面两个性质，则称A具有性质P. ①对任意a∈A,有aa=4: ②对任意BeU,其中B·B=2,均存在eA,使得a·B=2. （I)己知4={(1,1,1,1,0)，(1,1,1,0,1)}，4={(1,1,1,1,0)，(1,1,0,1,1)，(0,1,1,1,10}， 判断A,A,是否具有性质P(结论无需证明)： (Ⅱ)当n=6时，若集合A具有性质P,且元素个数为3.证明：对任意%，a2∈A,且%≠a2, 有%·a2≠3： (Ⅲ)当n=8时，若集合A具有性质P,求A中元素个数的最小值， 高一数学（卷一）答案及评分参考 2026.7 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分 (1)C (2)B （3)A (4·D (5)p (6)A (7)B (8)A 二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分， (9)i (10)1 6 (1D号营（省案不唯-） (12)25+5 .13)①②③ 注：第10题第一空2分，第二空3分；第13题全部选对得5分，选对1个或2个得3分， 不选或错选得0分 三、解答题：本大题共5小题，共3分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分 (14)(本小题14分) 解：(i)f=2sn2x-cos2x+ 1-cos2x-(cos2x-cos-sin 2s …3分 3 _56in2x-号cos2x+1 …5分 2 =5m2x-争+l, …7分 所以倒的最小正周期7=2 =花， …9贷 ()因为0≤x≤登， 所以骨s2r5二 33 …11分 当2x-=-5,即x=0时， …12分 33 ()取得最小值为- …14分 2 (15)(本小题14分) 解：（I)连接AC,设AC∩AC=O,连接OD, 因为O,D分别为AC,AB的中点，所以OD∥BC. …2分 又因为BCE平面ACD,ODc平面ACD, 所以BC∥平面ACD, …4分 (Ⅱ)（i)因为△ABC为正三角形，D是AB的中点， 所以CD⊥AB. …5分 又AB=A4,∠AAB=60°， 所以△AB为正三角形，所以AD⊥AB. …6分 所以AB⊥平面ACD. …7分 所以AB⊥AC. …8分 (iⅱ)因为∠DAC=90°， 所以ADLAC: …9分 因为AC∥4C, 所以AD⊥AC. …10分 又AD⊥AB, 所以AD⊥平面ABC. …12分 故三棱柱ABC-4B,C的体积V=SAABC×A,D=3. …14分 (16)(本小题15分) 解：（I)由atan=2 bsinA,得g.sinB。 -=2sin A. …1分 b cosB 由正弦定理得血4血B=29血A. …2分 sinB cosB 在△ABC中，因为sinA≠0， 所以oB-子 …4分 因为Be(0,小，所以B=导· …5分 (Ⅱ)选条件①. 6分 由a+b+c=12W5,得a+c=85. (1) …8分 由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B, 所以a2+c2-ac=48. …10分 又48=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=192-3ac, 解得ac=48. (2) …12分 高一数学（卷一）答案及评分参考第2页（共4页） 由(1)(2)得a=c=45,此时△ABC为正三角形. …14分 所以AD=6. …15分 选条件③ …6分 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B, 所以a2+c2-ac=48. …8分 由Sac=号acsi血B=125,得ac=48. 2 …10分 又48=a2+c2-ac=(a-c)2+ac≥ac,当且仅当a=c时，ac=48.…12分 所以a=c=4W5,此时△4ABC为正三角形， …14分 所以AD=6. …15分 (17)(本小题15分) 解：(I)在△ABC中，由余弦定理得cosC=4C2+BC2-AB2.互 …2分 2AC·BC 2 因为Ce(0,),所以4C-晋 …3分 在△DC中，由4DLBC,2C=子4C=25,， 得AD=CD=2,BD=1. …5分 因为AD⊥BC,所以AD⊥DC,AD⊥DP. 所以AD⊥平面CDP. …6分 所以AD⊥CP. …7分 因为DP=1,CD=2,CP=√5， 所以DP2+CP2=CD2,即CP⊥DP、 …8分 C 所以CP⊥平面ADP. …9分 所以平面ADP⊥平面ACP, …10分 (Ⅱ)由(I)得平面ADP⊥平面4CP,且平面Pn平面4CP=P. 在平面ADP内，过点D作DH⊥AP于H, 则DH⊥平面ACP. …12分 所以点H在楼AP上，且但=D=2. …13分 HP DP 在△ADP中，DH=D·DP_2N5 …15分 AP 5 (18)(本小题15分) 解：（I)4不具有性质P,A具有性质P, …4分 (Ⅱ)由A中元素个数为3，设A=(%,a2,%}· 假设存在%，%2∈A,且%≠&2，使得%·a2=3. …5分 不妨设%=(1,1,1，x4,为，x6),0%2=(1,1,1,,5,y%),%=(3,2,…,26) 由性质@，得x1,名，x中恰有一个1，y4,,y,中恰有一个1. 所以存在ie{4,5,6),使得x=y,=0,不妨设i=6. …7分 对于任意的月1=(%，b,,bg)∈U,其中b=b=1,j=1,2,3,4,5,有%月≠2， 且a2·月≠2 由集合A具有性质②，故对任意的je{1,2,3,4,5}，有%·阝，=2. 所以%=(1,1,1,1,1,1)，与性质①矛盾1 故%·%2≠3. …9分 (Ⅲ)设集合A中元素个数为m. 设a=(a,a2,…,a).由性质①，得4,42，…，4，中1的个数怡为4. 所以A中所有元素的各个分量中，1的总个数恰为4m. …10分 由性质②，设B=(,b2,,b) 取b=1,则对于任意的t∈{2,3，…，8}，均存在%，∈A,使得a=a,=1。 因为x各个分量中1的个数为4， 所以对任意a∈A,均恰好存在互不相等，且不为1的i,j,k使得4=a,=4,=a:=1. 故集合A中至少有3个元素满足4=1. 同理，集合A中至少有3个向量满足a,=1（i=2,3,…,8). …12分 故集合A中的所有元素的各个分量中，1的个数至少为3×8=24， 所以4m≥24，即m≥6. …13分 又A={0,1,1,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,1,1,1,1),(0,0,1,1,1,1,0,0): (0,0,1,10,0,1,1),(1,1,0,0,1,1,0,0),(1,1,0,0,0,0,1,1)》时，A具有性质P. 故集合A中元素个数的最小值为6， …15分