学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷02（北京专用： 人教B版必修第三册、必修第四册 ）

**基本信息** 立足高一数学必修三四册，以滕王阁文化情境、“广义坐标系”创新设计为亮点，融合空间几何、三角变换等核心知识，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|复数虚部、函数奇偶性与单调性、立体几何垂直关系|第9题滕王阁仰角问题融合文化情境，考查解三角形应用| |填空题|5/25|向量共线、三角恒等变换、球的表面积、三角形面积|第15题解三角形结论判断，考查推理意识| |解答题|6/85|三角函数周期与最值、立体几何线面平行证明、解三角形综合、“广义坐标系”创新题|第21题“广义坐标系”创新设计，考查模型观念与创新意识；第18题立体几何证明与线面角计算，体现空间观念|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13.____________________ 13． ___________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 艾痴 3 [A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 三、 填空题（每小题5分，共25分) 12 13 妇 13. 15 器 数学第1页（共6页） 请在各题且的答题区域内作答、超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) D E B 数学第3页（共6页） 请静题锋棘超墨色的第容究效！ 19.(15分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 师在谷燃甘的台您区域内什答，过山羔色定形边杠成定区域的管宋无效 20.(15分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 情在谷艺甘的答题区叹内作答，道由黑色知形边在限定区叹的答案无效T 请在各题目 21.(15分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册、必修第四册 。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. 2i B. C. 2 D. 2.下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 4．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知，试判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ） A. 28 B. C. D. 74 7．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 10.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，若，则__________. 12．若，并且均为锐角，且，则________． 13.在△中，若，,,求△的面积__________________ 14．已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______． 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论 ① ② 若，则 ③，其中为外接圆的半径 ④若为非直角三角形，则 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）已知函数 （1）求函数的最小正周期及其在区间上的最小值； （2）若，，求的值． 17．（满分13分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 18.（满分14分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 19.（满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 20.（满分15分）在中，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小； （3）若的周长为，求的面积． 21.（满分15分）我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记． (1)已知向量的“广义坐标”为．求的模； (2)以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． (3)如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册、必修第四册 。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. 2i B. C. 2 D. 2.下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 4．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知，试判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ） A. 28 B. C. D. 74 7．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 10.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，若，则__________. 12．若，并且均为锐角，且，则________． 13.在△中，若，,,求△的面积__________________ 14．已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______． 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论 ① ② 若，则 ③，其中为外接圆的半径 ④若为非直角三角形，则 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）已知函数 （1）求函数的最小正周期及其在区间上的最小值； （2）若，，求的值． 17．（满分13分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 18.（满分14分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 19.（满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 20.（满分15分）在中，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小； （3）若的周长为，求的面积． 21.（满分15分）我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记． (1)已知向量的“广义坐标”为．求的模； (2)以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． (3)如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 5 6 8 9 10 D A C D A B D A 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.-18 2.445 13.2W3或V5 14.1200π 15.①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(满分13分) 【解折10fx=2 sinco-25cosx+5=sin2x-V5co2x=2sm2x-写 所以函数f(x)的最小正周期T=2五=元 2 3分) 则当2x- Π 5,即x=0时，f(x)取得最小值为f(0)=-V3. (7分) 又0 所2 (9分) 所aa-[2引m引m号mm 314V53-45 (13分) 525×210 1/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(满分13分) 【解析】1)C=C-丽=i-m:由题意得8丽=号Bc=n-网， (3分) 所以=西+8丽=m+-网-m+. 3-1- (6分) 4 (2)由愿意，CN=+N=-4C+号B=m-. 月-2问，cos9-子m=同同eos0-。 (9分) ..CN.AB= 12分) 2 .CN⊥AB (13分) 18.(满分14分) 【解析】(I)取PD的中点M,连接ME、AM,则ME/CD,且ME=CD=2. (2分) 因为AB/ICD,AB=2,所以ABME且ME=AB 所以四边形ABEM为平行四边形 (4分) 所以BEI∥AM, 因为BE丈平面PAD,AMC平面PAD,所以BE∥平面PAD (6分) (2)因为底面ABCD为梯形，∠ADC=90°，AD=AB=2,CD=4, 所以BC=V22+(4-2)2=2V2,BD=V22+22=2V2, S.BCD= x4x2=4. (8分) 又PD垂直于面ABCD,E为棱PC的中点， 1 威以E到平面ABCD的距离为号PD=L,所以Y×4x子 (10分) 因为PD垂直于面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC, 所以4仙=F-5,DE=c=分+=5， 所以BE=AM=V5, 2/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以S2x5矿-(=6， (13分) 设点C到平面BDE的距离为d,则'E-BCD= 3 3 3 4 设直线BC与面BDE所成的角为0，则sin9=(三 6-5, (13分) BC 22 3 直线BC与面BDE所成的角的正弦值为 (14分) 3 19.(满分15分) 【解析】(1)因为acosC+V3 a sin C-b-c=0, 由正弦定理知可得sin AcosC+√3 sin Asin C-sinB-sinC=0,(2分) sin B=sin-(4+C)=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, .sin Acos C+3sin Asin C-(sin Acos C+cos Asin C)-sin C=0, 即√3 sin AsinC-cos Asin C-sinC=0,又sinC≠0， (4分) 5如4-4=2m4-君-1，年sm4) 又0<A<元，则-工<A-亚<5n 6 66 4名则4-号 (5分) Ibesin 4=3 bc=4 (2)由(1)及题设可得 +c2-a21,即 b2+c2=8' (7分) cos A= 2bc 2 将b=4代入2+c2=8,整理得c-8c2+16=0,则c'=4, 即c=2(负值舍去)，故b=2 (9分) (3)因为D为BC的中点，所以而=AB+AC), 3/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B 两边平方得AD=B+AC°=(A6+AC+2B.4ACc2++6c, 在ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cos A=b2+c2-bC,即b2+c2=3+bc, 所以aD=3+2bc)=3+c (10分) 42 b c a3 =2 在ABC中，由正弦定理得sin B sinC sinA√3， 2 所以b=2sinB,c=2sinC 所以bc=4 sin Bsin C=4 sin Bsin (2-B 、3 25sin Bcos+2sinB=3sin2B+1-cos28-2sin2+1 (11分) 因为ABC为锐角三角形，所以0<B<及且0< -B<，解得<8< 3 (12分) 6 所以名<2B名<g,所以s2B-君引1，则2<bc≤3 6 (13分) 6 66 所以0s (14分) V73 所以中线AD的取值范围是 22 (15分) 20.(满分15分) 【解析】(1)由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC, 即64=49+b2-2-7.1b. 7 整理得b2-2b-15=0, 解得b=5(负根舍去)： 1 因为cosC=二， (3分) 7 所以sinC=V-cosc=4V5 7 4/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以Sc=)absinC=75.4 1 3=105; (5分) 2 1 11 (2)因为cosC=7c0sA= 14 所以sinC=-cosC=4y5,sin4=N-cosA=55 (8分) 7 14 所以c0sB=cos[π-(A+C)]=-c0s(A+C) =-cos AcosC+sin AsinC 又因为B∈(0，)， 所以8=背 (10分) (3)因为ABC的周长为20， 所以a+b+c=a+b+8=20, 所以a+b=12, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC, 64=a+b6 所以64=a+b-气b=14416a6, (13分) 7 解得ab=35, 又因为sinC=V1-cos2C= 4W3 7 所以S4x=bsnC=}35.45 1 =103: (15分) 7 21.(满分15分) 【解折】1)依圈意，d=2e+6,由单位向量，6的夹角为了得G名日吗cos- 32 所以a=V2g+e2}=V46+e2+4ee=7 2 →2 (5分) 13、 (2)在平面直角坐标系中，日=1,0,8，=（气，2 设m=xe,+ye,,由向量m在平面直角坐标系中的坐标为(4,2V3), (7分) 5/6 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 x+-y=4 1V3 2 x=2 得x(1,0)+(5,2 =(4,23)，则 ，解得 2y=25 y=4' 所以向量的“广义坐标”为(2,4) (9分) (3)在△0BC中，令OB=c,OC=b,则0B=ce,OC=be,BC=be,-ce, 由BC1,得be,-cG=1,即62+c2-bc=l,OD=乙0C=乙be, 19 19 由E,F分别为B0,BC的中点，海OE=G+g.OF-eG+闷. 19 2 图ta死.oF-o+6妈6+a-e++治sG-5+1+1e 19 76 281c+1e.17久20212215 二+3 (12分) 76(b2-bc+c2)76 令5+3=1，由b>0,c>0,得1>3，且2--3， c5, 5.b+3 C 25t 25—≤，25=25 (13分) 当且仅当=7取等号，下是当-，oE0名05-梨 (14分) 所以0正.0下的最大值为28 121 (15分) 6/62025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12. 13 14. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) E D: B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册、必修第四册 。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. 2i B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以复数的虚部为. 故选：D 2.下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A正确； 对于B，，不是奇函数，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，在区间上是减函数；故D错误； 故选：A. 3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】C 【解析】由题意有，平面，∵平面， ∴，故A对； 而，且，平面， ∴平面，故B对； 由平面可得，，故D对； 若，因为，可得平面，则，与已知矛盾，故C错； 故选：C． 4．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，代入得， 由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 代入，得，D正确. 故选：D． 5．在中，已知，试判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】因为，所以， 化简得，即， 因为，所以，所以是等腰直角三角形. 6．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ） A. 28 B. C. D. 74 【答案】A 【解析】因为正四棱台的上、下底面边长分别为， 所以， 设正四棱台的高为，则，可得， 正四棱台的上底面面积为，下底面面积为， 则该正棱台的体积为. 故选：A. 7．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，得，， 由，，得，， 所以，， . 故选：C． 8．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图：因为，所以点为中点， 所以. 又，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则. 则即为向量在向量上的投影向量.又. 故选：B 9.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 【答案】D 【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：， 所以，则， 又，可得米. 故选：D 10.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【解析】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以，即. 12．若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】/ 【解析】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 13.在△中，若，,,求△的面积__________________ 【答案】或 【解析】在中，设，由余弦定理可得， ，，或． 当时，的面积为， 当时，的面积为， 故答案为:或． 14．已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】在中，由，得，则， 外接圆半径，设球半径为，依题意，， 即，， 所以球的表面积. 故答案为：. 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论 ① ② 若，则 ③，其中为外接圆的半径 ④若为非直角三角形，则 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 【答案】①②③ 【解析】对于①，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故①正确； 对于②，若，则，则，即，故②正确； 对于③，，故③错误； 对于④，在为非直角三角形，，则，故④正确. 故答案为①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）已知函数 （1）求函数的最小正周期及其在区间上的最小值； （2）若，，求的值． 【解析】（1）， 所以函数的最小正周期． （3分） 由知， 则当，即时，取得最小值为． （7分） （2）因为，所以． 又，所以，所以， （9分） 所以 ． （13分） 17．（满分13分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【解析】（1），由题意得， （3分） 所以． （6分） （2）由题意，． ∵，，∴． （9分） ∴， （12分） ∴． （13分） 18.（满分14分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 【解析】（1）取的中点，连接、，则，且. （2分） 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. （4分） 所以， 因为平面，平面，所以平面. （6分） （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， （8分） 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， （10分） 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， （13分） 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， （13分） 直线与面所成的角的正弦值为. （14分） 19.（满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理知可得，（2分） 而， ， 即，又，     （4分） ，即， 又，则 ，则. （5分） （2）由（1）及题设可得，即，     （7分） 将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. （9分） （3）因为为的中点，所以， 两边平方得，     在中，由余弦定理得，即， 所以， （10分） 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， （11分） 因为为锐角三角形，所以且，解得，    （12分） 所以，所以，则， （13分） 所以， （14分） 所以中线的取值范围是. （15分） 20.（满分15分）在中，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小； （3）若的周长为，求的面积． 【解析】（1）由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得(负根舍去)； 因为， （3分） 所以， 所以； （5分） （2）因为，， 所以，， （8分） 所以 ， 又因为， 所以； （10分） （3）因为的周长为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即， 所以， （13分） 解得， 又因为， 所以； （15分） 21.（满分15分）我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记． (1)已知向量的“广义坐标”为．求的模； (2)以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． (3)如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【解析】（1）依题意，，由单位向量的夹角为，得， 所以. （5分） （2）在平面直角坐标系中，， 设，由向量在平面直角坐标系中的坐标为， （7分） 得，则，解得， 所以向量的“广义坐标”为. （9分） （3）在中，令，则， 由，得，即，， 由分别为的中点，得， 因此 ， （12分） 令，由，得，且， 则， （13分） 当且仅当时取等号，于是当时，， （14分） 所以的最大值为. （15分） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12. 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) E D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！