精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

北京师大附中2024—2025学年（下）高一期末考试 数学试卷 班级： 姓名： 学号： 考生须知 1.本试卷有三道大题，共7页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知是角终边上一点，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 7. 函数（，，）的部分图象如图所示，则与函数在区间上的零点分别为（ ） A. 2， B. 2， C. 1， D. 1， 8. 在△ABC中,“”是“△ABC是钝角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chú méng]”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，，和都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音，若一个复合音的数学模型是函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________. 12. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________. 13. 已知等边三角形ABC的边长为2，则__________；若，则 __________. 14. 在长方体中，点E为棱上任意一点，点F为底面（除点外）上一点，请给出一个点F的位置，使得，点F可以是__________. 15. 在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是______. ①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 在正方体中，点E和点F分别为和的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 18. 在中，. （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知函数，且. （1）求a的值和函数的最小正周期； （2）求不等式的解集； （3）在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为矩形，，；点在线段上，且. （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段CA和线段CD上是否分别存在点M和点N，使平面平面PBC？若存在，写出CM和CN的长，并证明；若不存在，请说明理由. 21. 已知，用表示不超过x的最大整数，例如，，.对于函数，若存在，，使得，则称函数是“函数”. （1）判断函数，是否是“函数”； （2）设函数是定义在上的周期函数，最小正周期是T，若不是“函数”，求T的最小值； （3）若函数是“函数”，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2024—2025学年（下）高一期末考试 数学试卷 班级： 姓名： 学号： 考生须知 1.本试卷有三道大题，共7页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应点所在象限. 【详解】因为 所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限， 故选：D. 2. 已知是角终边上一点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再利用三角函数的坐标定义求解. 【详解】由题得. 故选：A 3. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直确定的值，再根据向量的几何意义求向量的模. 【详解】因为. 所以. 故选：B 4. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆锥的体积公式及圆锥的结构特点求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，圆锥的高为，母线长为，则. 由. 所以. 所以圆锥的侧面积为：. 故选：C 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 【详解】对A：因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：因为平面的平行线与平面内的直线位置关系不能确定，故B错误； 对C：因为若两个平面的垂线垂直，那么这两个平面就垂直，故C错误； 对D：因为，所以存在直线，使得，又，所以；因为，所以.故D正确. 故选：D 6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D. 考点：三角函数图像变换 【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点： （1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]； （2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）． 7. 函数（，，）的部分图象如图所示，则与函数在区间上的零点分别为（ ） A. 2， B. 2， C. 1， D. 1， 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，再解方程得到函数的零点. 【详解】由图可知： ，，由. 由，. 又，所以.所以. 由，，. 又，所以，. 故选：A 8. 在△ABC中,“”是“△ABC是钝角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要条件. 【详解】当“”时，，所以，所以是钝角三角形. 当“是钝角三角形”时，有 若为钝角时，则，所以. 当为钝角时，，所以. 当为钝角时，，所以. 所以当“是钝角三角形”时，不能推出“”. 故“”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查两角和的余弦公式，考查三角形形状的判断，属于基础题. 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chú méng]”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，，和都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过做平面和平面平面将几何体分成三部分，然后证明三棱柱为直三棱柱，四棱锥和是两个全等的四棱锥，通过证明，得到，通过证明，得到，从而证明为的中点，进而求出，最后再根据柱体和锥体的体积公式计算即可得解. 【详解】 过作平面，垂足为，过作，交于，交CD于， 连接，因为平面，所以平面平面， 同理可作平面平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，， 又因为平面平面，平面， ，所以平面， 因为平面，所以，. 同理可证，. 又因为，所以，所以， 所以. 因为四边形ABCD为矩形，所以四边形为矩形，所以， 因为是边长为4的等边三角形，所以，所以， 又因为平面，平面， 所以，，所以为的中点. 取的中点，连接，所以， 因为是边长为4的等边三角形，所以. 所以在中，. 所以采用分割的方法，把该几何体分割成了三部分， 包含一个直三棱柱和两个全等的四棱锥， 所以这个几何体的体积为 . 故选：C 10. 声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音，若一个复合音的数学模型是函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 【答案】D 【解析】 【分析】通过验证是否成立，即可判断A，通过考虑函数和同时取得最大值时的值不能同时取到，即可判断B；通过验证是否成立，即可判断C；将变形为，令，在上求出值，即可判断D. 【详解】因为，故A错误； 对于函数，当时，取得最大值1， 对于函数，当，即，取得最大值， 由于和不可能相等， 所以和这两个函数不可能同时取得最大值， 所以的最大值不是，故B错误； 若的图象关于直线对称，则需满足， 因为 ， 因此的图象关于直线不对称，故C错误； 令，由二倍角公式可得， 即，所以或. 因为，所以当时，或或； 当时，. 综上，在区间上有或或，共3个零点， 故D正确. 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复平面内点的坐标得到复数z，再根据复数的除法法则计算即可. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以复数， 所以. 故答案为： 12. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理可求边. 【详解】因为，且为三角形的内角，所以. 由正弦定理，得：. 故答案为： 13. 已知等边三角形ABC的边长为2，则__________；若，则 __________. 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据向量所成角的概念完成空1，根据数量积的定义和运算律完成空2. 【详解】如图： ，则. 由可得：为线段中点， 所以 故答案为：；4 14. 在长方体中，点E为棱上任意一点，点F为底面（除点外）上一点，请给出一个点F的位置，使得，点F可以是__________. 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】先确定平面，再根据线面垂直确定点的位置. 【详解】如图： 因为是长方体，所以平面. 因为点E为棱上任意一点，当点时，平面， 所以. 所以为上的任意一点. 故答案为：（不唯一） 15. 在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是______. ①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据线面平行得平面，从而利用等体积法求出三棱锥的体积判断①，举反例判断②，在线段上取点使得，连接，则平面为所求的截面，设点到的距离为，将截面面积范围问题转化为的范围，根据正方体的性质求解即可判断判断③，利用定义作出二面角的平面角，求出最大角即可判断④. 【详解】对于①，由正方体的性质知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于②，当点位于点时，平面即平面，平面， 因为平面平面，，所以平面不成立，错误； 对于③，在线段上取点使得，连接， 根据正方体的性质可知，且， 故平面为所求的截面，设点到的距离为， 菱形的面积， 根据正方体的对称性可知，当点位于点或点时，取到最大值，此时， 当点位于的中点时，取到最小值，此时， 所以，， 即截面图形的面积的取值范围为，错误； 对于④，取是的中点，连接， 根据正方体的性质可知，所以， 所以为二面角的平面角， 当点位于点时，取到最大值， 在中，， 即二面角的平面角的正切值最大为，正确； 故答案为：①④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可. （2）根据的取值范围，先确定的取值范围，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可. 【小问1详解】 由，. ，. ，. 所以所求函数的单调增区间为：，. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以函数在上的值域为： 17. 在正方体中，点E和点F分别为和的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明. （2）根据线面垂直的判定定理进行证明. 【小问1详解】 如图： 连接，因为为正方体，所以. 又点E和点F分别为和的中点，所以， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为为正方体， 所以平面，平面，所以， 又，与是平面内的两条相交直线， 所以平面. 又 所以平面. 18. 在中，. （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出余弦值进而得出角； （2）选择条件①三角形不存在；选择条件②应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及余弦定理计算求出边长，最后应用面积公式计算；选择条件③先应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出，最后应用面积公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理， 得. 所以. 所以. 因为，所以. 所以. 所以. 【小问2详解】 选条件①：，， 由余弦定理，得. ，不存在； 选条件②：. 由，可得. 由正弦定理，得. 由余弦定理，得 ，整理得. 解得，或（舍）. 所以的面积. 条件③：. 因为，且，所以. 由余弦定理，得. 解得，或（舍） 所以的面积. 19. 已知函数，且. （1）求a的值和函数的最小正周期； （2）求不等式的解集； （3）在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 【答案】（1），. （2），. （3）， 【解析】 【分析】（1）根据可求的值，利用二倍角公式及三角恒等变换公式，化简函数的解析式，利用求函数的最小正周期. （2）结合函数的性质解不等式. （3）利用余弦定理解三角形即可. 【小问1详解】 因为. 由. 所以. 所以函数的最小正周期为：. 【小问2详解】 由，. ，. 所以不等式的解集为，. 【小问3详解】 因为，所以. 由题意：，所以， 所以. 如图： 设，，， 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② ①②得：. 在，由余弦定理得：. 所以，因为，所以. 所以，即. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为矩形，，；点在线段上，且. （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段CA和线段CD上是否分别存在点M和点N，使平面平面PBC？若存在，写出CM和CN的长，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）解答见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直：平面，可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平行平面，再结合平行线分线段成比例定理求相应线段的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 此时：， 因为，. 所以， 21. 已知，用表示不超过x的最大整数，例如，，.对于函数，若存在，，使得，则称函数是“函数”. （1）判断函数，是否是“函数”； （2）设函数是定义在上的周期函数，最小正周期是T，若不是“函数”，求T的最小值； （3）若函数是“函数”，求a的取值范围. 【答案】（1）是“函数”， 不是“函数”. （2）1. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义进行判断. （2）根据周期性得出函数之间的关系，再结合题目定义得出T的最小值. （3）对的范围进行讨论，由，将的范围进行讨论得出方程，从而求出关于的表达式，由的范围得出的范围，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 对函数， 取，则， ，，所以. 所以是“函数”； 对函数， 因为是周期函数，且周期为：. 由. 设且，则. 所以，但， 所以不存在且，使得成立. 所以不是“函数”. 【小问2详解】 因为是以为最小正周期的周期函数，所以. 假设，则，所以， 所以是“函数”. 所以若不是“函数”，必有. 设函数，则函数是周期函数，且周期为1. 对任意且， ，，所以. 所以不是“函数”. 故函数是定义在上的周期函数，最小正周期是T， 若不是“函数”，则的最小值为1. 【小问3详解】 因为，且； 当时，，显然不符合题意； 当时，，没有意义； 当，且，，有，由， 得到，即， 化简并整理得 又因为，故，则; 由，则， 故，即， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $