精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年八年级下学期数学期末测试卷

八年级（下）数学学科 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 由线段，，组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图所示，两条公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 7. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 8. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 与轴交点坐标为 B. 若为图象上两点，当时， C. 不会同时经过第一和第二象限 D. 与一次函数的图象平行 10. 如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（ ） A. 96 B. 84 C. 66 D. 48 11. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（　　） A. B. C. 2 D. 1.5 12. 如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为________． 14. 将一次函数的图象沿y轴向上平移5个单位后，得到的图象对应的函数关系式为________． 15. 如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 16. 如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 19. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小义家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小义的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分，1公里千米），如下表： 续航里程/分 百公里加速/分 智能化水平/分 甲款汽车 80 90 100 乙款汽车 80 100 90 两款汽车的综合得分按下图所示的权重计算． 同时小义的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（单位：分，满分10分）， 并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： 甲款：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10 乙款：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9 b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款汽车 7 4.2 乙款汽车 7 7 2.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________． （2）由表中评分和扇形图所示权重，分别计算甲、乙两款汽车的综合评分． （3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小义的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由． 21. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 22. 图1是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图．该图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成的大正方形．赵爽弦图在世界数学史上具有重要的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义． 【经典解读】 （1）如图1，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为_____；连接，则的面积为_____． 【经典迁移】 （2）如图2，是正方形内的一点，连接，，．当，时，求的面积． 【经典拓展】 （3）如图3，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，、为线段上一个动点，连接，过点作于点．在上取一点，使，过点作，交于点．试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 23. 综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 （1）如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 （2）按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 （3）现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）数学学科 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数（或因式）. 对各选项逐一判断： A、的被开方数含有分母，不符合条件，错误； B、 ，被开方数含有分母，不符合条件，错误； C、 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合条件，错误； D、 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义，正确. 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的一般形式为（为常数且），根据定义判断各选项即可. 【详解】解：选项A：不是正比例函数，不符合定义，错误； 选项B：符合的形式，，是正比例函数，正确； 选项C：含常数项，属于一次函数，不是正比例函数，错误； 选项D：中的次数为，不是一次函数，不符合定义，错误. 3. 由线段，，组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形. 【详解】解：逐个分析选项： 选项A：最长边为，，， ，该三角形是直角三角形； 选项B：最长边为，，，， 该三角形不是直角三角形； 选项C：最长边为，，，， 该三角形不是直角三角形； 选项D：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 不是直角三角形. 4. 如图所示，两条公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解． 【详解】解：∵，互相垂直， ∴， ∵的长为， ∴， ∴，两点间的距离为． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：选项A：与非同类二次根式，无法合并，故A错误． 选项B：与非同类二次根式，无法合并，故B错误． 选项C：根据二次根式乘法法则，计算得，故C正确． 选项D：根据二次根式除法法则，化简，则，而选项结果为，故D错误． 故选：C． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 7. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位，个）如图所示，有下列四个结论：①乙的成绩的波动程度比甲的大；②乙的最好成绩比甲的最好成绩好；③甲、乙两人成绩的平均数相同；④甲、乙两人成绩的中位数不同，其中正确的结论是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性、平均数和中位数，理解并从图中获取信息，根据信息求出中位数、平均数和方差是解题的关键．根据图分别求出甲和乙的平均数、中位数和方差再逐一判断即可． 【详解】解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则平均数为：，中位数为：8，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则平均数为：，中位数为：8，方差为：， ∵， ∴乙的成绩比甲波动大，故①正确； ∵， ∴乙的最好成绩比甲好，故②正确； ∵甲同学成绩的平均数为：8，乙同学成绩的平均数也为：8， ∴甲、乙二人成绩的平均数相同，故③正确； ∵甲同学成绩的中位数为：8，乙同学成绩的中位数也为：8， ∴④错误， 故选：B． 8. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一次函数的交点结合图形得出不等式的解集，即可得解． 【详解】解：一次函数与（为常数，）的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示为 9. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 与轴交点坐标为 B. 若为图象上两点，当时， C. 不会同时经过第一和第二象限 D. 与一次函数的图象平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，掌握一次函数的图像性质是解题的关键．根据一次函数图像交点坐标、增减性、象限分布及直线平行条件需逐一分析各选项即可得出结论． 【详解】解：A. 一次函数与轴交点时，可得，解得，交点为，故选项说法错误，不符合题意； B. 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，因符号未定，故选项说法不恒成立，不符合题意； C. 当时，函数的图象经过第一、二、三象限，当时，经过第二、三、四象限，故选项说法错误，不符合题意； D. 一次函数是由一次函数平移得到的，故选项说法正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（ ） A. 96 B. 84 C. 66 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 11. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（　　） A. B. C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、勾股定理．由作图过程可知，为的平分线，则，再结合平行四边形的性质可得．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ． 在中，由勾股定理得，． 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为2． 故选：C． 12. 如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值． 【详解】解：∵点D、E是、边的中点， ∴，且，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理求得 ， …… ， ∴. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， 被开方数满足 ， 解不等式得：. 14. 将一次函数的图象沿y轴向上平移5个单位后，得到的图象对应的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】注意平移时的值不变，只有发生变化．向上平移5个单位，加上5即可． 【详解】解：原直线的，；向上平移5个单位长度得到了新直线，那么新直线的，． 因此新直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变． 15. 如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明四边形是菱形，则可得是等边三角形，进一步即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴， 解得：， ∴. 16. 如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法，绝对值，零次幂，再合并即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）如图，连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质可求出的长，再利用勾股定理逆定理即可进行判定； （2）利用勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴在中，． 19. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小义家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小义的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分，1公里千米），如下表： 续航里程/分 百公里加速/分 智能化水平/分 甲款汽车 80 90 100 乙款汽车 80 100 90 两款汽车的综合得分按下图所示的权重计算． 同时小义的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（单位：分，满分10分）， 并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： 甲款：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10 乙款：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9 b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款汽车 7 4.2 乙款汽车 7 7 2.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________． （2）由表中评分和扇形图所示权重，分别计算甲、乙两款汽车的综合评分． （3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小义的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由． 【答案】（1）6.5 （2）甲款车的综合评分为分，乙款车的综合评分为分 （3） 小义的爸爸应选择购买乙款汽车； 理由：甲、乙两款汽车的综合评分相差不大，网友评价得分甲和乙的平均数相同，但是网友对乙款汽车的评价的中位数高于甲款汽车，且对乙款汽车的评价更稳定． （答案不唯一，突出综合两方面去评价，合理即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． （1）根据中位数的定义，得，计算即可； （2）根据加权平均数的计算方法求解即可； （3）根据调查数据作决策即可． 【小问1详解】 解：甲中位数：， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 甲款车的综合评分为（分） 乙款车的综合评分为（分） 答：甲、乙两款汽车的综合评分分别为88分、87分； 【小问3详解】 略 21. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】 （1）描点如图所示： （2）它们在同一条直线上；； （3）22厘米； （4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中数据描点即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，求出y的值即可； （4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：（1）略 （2）这些点在一条直线上． 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （3）把代入得：， 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． （4）把代入得：， 解得：， ∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 22. 图1是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图．该图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成的大正方形．赵爽弦图在世界数学史上具有重要的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义． 【经典解读】 （1）如图1，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为_____；连接，则的面积为_____． 【经典迁移】 （2）如图2，是正方形内的一点，连接，，．当，时，求的面积． 【经典拓展】 （3）如图3，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，、为线段上一个动点，连接，过点作于点．在上取一点，使，过点作，交于点．试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 9，18 (2)9（3），理由见解析． 【解析】 【分析】(1)先由，，，根据勾股定理求得，再由图①中的四个直角三角形全等得，则，再根据正方形面积公式，三角形面积公式即可解答． （2）过点A作，交的延长线于点Q，根据正方形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形的面积公式即可解答． （3）过点G作于点H．先证明四边形是矩形，则，，而，于是得；再证明，得，于是得． 【详解】：（1）如图①，连接， ∵，，， ∴， ∵图①中的四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9，18． （2）如图②，过点A作，交的延长线于点Q． 四边形是正方形， ，． ， ， ． ， ， ， ， ． （3）． 如图③，过点G作于点H． ，， ， 四边形是矩形， ，． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法以及分类讨论数学思想的运用，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 （1）如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 （2）按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 （3）现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2）解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）①米；②6米或米 【解析】 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $