精品解析：广东惠州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题

高二数学试题 2026.7 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设向量，，且， 则. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式化简集合A，再根据交集的定义计算结果． 【详解】由可得，解得； 则集合 故． 3. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先化简复数，再求复数. 【详解】， . 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，故. 5. 某中学高二年级学生有1200人，某次数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩高于100分的人数约为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】B 【解析】 【详解】由正态分布的对称性知，且， 所以， 所以本次考试数学成绩高于100分的人数约为人. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求函数的零点排除部分选项，再根据时的函数极限值确定最终选项； 【详解】令，即，因为恒成立，所以或， 即函数的图象与轴有两个交点，分别为和， A选项：图象在时恒小于0，无正零点，排除；A错误 C选项：图象在处有一个零点，与题意不符，排除；C错误 对于B、D选项，当时，且，所以，B、D均符合。 考虑时，，故D选项符合题意。 故选：D. 7. 设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在半径为的球面上，且它的三组对棱分别相等，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将其补形为长方体，设其长宽高分别为，得出，结合基本不等式以及割补法求出. 【详解】将其补形为长方体，设其长宽高分别为， 因为其外接球半径为，所以，则， 故，得，当且仅当时等号成立， 则， 故三棱锥体积的最大值为 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，不选或选错的得分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若，则为奇函数 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦函数的奇偶性，对称性，三角恒等变换逐一判断可得. 【详解】A，，正确； B，令，取可得，正确； C，，，错误； D，，所以，错误. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ） A. 离心率 B. 若的斜率为1时， C. 为定值 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，根据双曲线的渐近线方程可求得，进而可求得，可得离心率；对于选项B，联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解；对于选项C，根据双曲线定义，即可求解；对于选项D，设，，则，，代入化简即可求解. 【详解】对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为， 即，所以，此时双曲线的方程为，则，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为， 因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点， 与双曲线联立，化简得， 设，，则，， 所以，故B正确； 对于C选项，根据双曲线定义，，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，， 又，在双曲线上，所以，， 所以，， 所以，故D错误. 综上所述，选项ABC正确. 11. 设直线与函数的图象有三个不同的交点，其坐标分别为，，，且，则（ ） A. 的图象的对称中心为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据判断；B根据得出即可；C根据三次函数的单调性得出；D根据即可. 【详解】因为， 所以的图象的对称中心为，故A正确； 因为是方程的三个根，所以， 即， 则， 则， 得，故B错误； 当或时，则在，上单调递增； 当时，在上单调递减； 则，即，则，故C正确； 因为，，所以， 因为， 则， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答）． 【答案】40 【解析】 【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】展开式的通项，令，得. 所以的系数为. 故答案为：40 13. 如图为函数的图象，为最高点，，为最低点．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设函数最小正周期为，根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件构造关于的方程，进而利用最小正周期公式计算求解． 【详解】设函数最小正周期为，由图象可知，为相邻最低点，故， 最高点与最低点的横坐标差为，纵坐标差为， ， 已知，则，解得， 故． 14. 电影《给阿嬷的情书》中那封途中浸水损毁的手写信，令无数观众动容．影片热映后掀起怀旧风潮，某网络平台文创商店持续向影迷推送复古书信礼盒．已知某影迷第一次收到推送时，下单购买的概率为，从第二次推送开始，若上一次未购买，则本次购买的概率为；若上一次已购买，则本次复购的概率为，则第二次不购买的概率为________，记第次推送时该影迷不购买礼盒的概率为，则为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用全概率公式计算第二次不购买的概率，再推导的递推关系，构造等比数列求解通项. 【详解】 设事件为“第一次推送时购买”，为“第一次推送时不购买”，为“第二次推送时不购买”. 由题意得，故；条件概率，. 根据全概率公式：  求的通项： 当时，第次不购买包含两种互斥情形： ① 第次购买，第次不购买，对应概率为； ② 第次不购买，第次不购买，对应概率为. 因此递推关系为：  , 构造等比数列，令，展开对比递推式得，解得, 因此是公比为的等比数列，首项，故, 等比数列通项为，整理得：  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和正弦定理即可求出结果； （2）由（1）知，结合条件和正弦定理，求出，即可利用三角形面积公式求出结果. 【小问1详解】 由题知，，则， 即，因为， 所以，所以，， 由正弦定理得，，即， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 又，， 所以，即， 由正弦定理得，，又， 即，所以， 又，所以， 所以， 所以的面积为. 16. 在人工智能赋能新媒体产业的大环境下，短视频行业迅速扩容．为调研某市短视频创作者单日内容创作耗时情况，从全市随机抽取了500名短视频创作者开展调查，得到这500名创作者的日平均创作时长（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数； （2）为进一步了解这500名创作者文案策划与素材拍摄的时间分配情况，从日平均创作时长在，，三组内的创作者中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均创作时长在内的创作者人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1），第百分位数为； （2） 的分布列为 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出a，再根据百分位数的定义计算第75百分位数； （2）根据分层抽样确定各组抽取的人数，确定X的可能取值，利用超几何分布概率公式计算各取值的概率，列出分布列并计算数学期望． 【小问1详解】 由概率和为1得：， 解得：； 前5组的频率之和为， 前6组的频率之和为，所以第75百分位数位于第6组内． 设第75百分位数为x，则， 解得． 所以估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数为11.5． 【小问2详解】 这500名创作者中日平均创作时长在，，三组内的人数分别为： 人，人，人， 由分层抽样性质知，从日平均创作时长在中抽取5人，从日平均创作时长在中抽取4人，从日平均创作时长在中抽取1人， 从该10人中抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以. 17. 如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：； （2）若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】（1）底面，且底面， 故， 又， 故， 平面，且， 则平面， 又平面， 故． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥的几何性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出坐标，及平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出线面角的正弦值，进而得出正切值，结合二次函数的性质求出正切值的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 点在上，设， 故，则， 故， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 令， ，故， 故，当时取最小值， 当时取最大值． 18. 已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明：设过点的直线，，， 联立方程组得，得， ， ， ，则， ，所以， 同理可得，即， 当时，， 直线的方程为， 整理可得， 所以直线恒过定点， 当时，直线的方程为，也过点， 所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点的坐标及离心率公式，求出，得到椭圆的方程； （2）先设出直线和的方程，联立方程组求出点，的坐标，进而求出直线的方程，得到直线过定点. 【小问1详解】 点在椭圆：上，所以， 椭圆的离心率为，，，， 得，，，， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的最大值； （3）设数列满足，为数列的前项积，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：，则， 为数列的前项积，所以， 当时，在上恒成立， 即， 令，则， 所以， ， 所以， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，最后结合切点坐标求出切线方程； （2）先对函数求导，然后根据导数的性质分析函数的单调性，进而求出实数的最大值； （3）根据已知条件得到的表达式，再结合（2）的结论进行放缩，最后通过裂项相消法证明不等式. 【小问1详解】 ，定义域为， ， ，， 函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 令，， 当时，，在区间上单调递减， ， 当时， ，即， 所以在区间上单调递增， 则，符合； 当时， 存在，使得， 当时，，即， 所以在区间上单调递减， 则，不符. 所以实数的最大值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2026.7 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 某中学高二年级学生有1200人，某次数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩高于100分的人数约为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知三棱锥的所有顶点都在半径为的球面上，且它的三组对棱分别相等，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，不选或选错的得分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若，则为奇函数 D. 若，则 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ） A. 离心率 B. 若的斜率为1时， C. 为定值 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 11. 设直线与函数的图象有三个不同的交点，其坐标分别为，，，且，则（ ） A. 的图象的对称中心为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答）． 13. 如图为函数的图象，为最高点，，为最低点．若，则________． 14. 电影《给阿嬷的情书》中那封途中浸水损毁的手写信，令无数观众动容．影片热映后掀起怀旧风潮，某网络平台文创商店持续向影迷推送复古书信礼盒．已知某影迷第一次收到推送时，下单购买的概率为，从第二次推送开始，若上一次未购买，则本次购买的概率为；若上一次已购买，则本次复购的概率为，则第二次不购买的概率为________，记第次推送时该影迷不购买礼盒的概率为，则为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求； （2）若，，求的面积． 16. 在人工智能赋能新媒体产业的大环境下，短视频行业迅速扩容．为调研某市短视频创作者单日内容创作耗时情况，从全市随机抽取了500名短视频创作者开展调查，得到这500名创作者的日平均创作时长（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数； （2）为进一步了解这500名创作者文案策划与素材拍摄的时间分配情况，从日平均创作时长在，，三组内的创作者中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均创作时长在内的创作者人数为，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：； （2）若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 18. 已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 19. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的最大值； （3）设数列满足，为数列的前项积，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $