广东省惠州光正实验学校2024-2025学年高二下学期数学期末模拟试题二

惠州光正实验学校2024-2025学年高二下数学 期末模拟试题解析（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由，得，即，解得或或， 则，又，则， 2.若复数满足，则的虚部为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意得，，所以的虚部为． 3.在等比数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：设等比数列的公比为，则，， 4.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：通项公式  ， 令  ，得  ，所以的系数为  ， 5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】D   解：点在内，， ．又平面 的法向量为 ， 点到平面的距离  ． 6.已知的三个内角，，的对边分别为，，向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：的三个内角，，的对边分别为，，，向量，，若，则，由正弦定理得．即．即．，． ，即，，，，． 7.已知函数，若在上存在最小值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：依题意求导得，可得和为函数的极值， 函数的增区间为，，减区间为， 由，，又由， 因式分解为，解得或或观察出， 若函数在上存在最小值，有，解得， 8.函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解： ，令  ，  ，则  ，  ， 函数  在区间，  上有且仅有条对称轴，即  有个整数符合，  ，得  ，则  ， 即  ，  ． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是(    ) A. 若随机变量，满足，则 B. 若随机变量，，则 C. 若样本相关系数的绝对值越接近，则成对样本数据的线性相关程度越强 D. 记样本，，，的平均数为，样本，，的平均数为，若样本，，，，，的平均数为，则 【答案】BCD  【解析】解：若随机变量，满足，则，因此不正确； B.由随机变量，，则，，因此B正确； C.若样本相关系数的绝对值越接近，则成对样本数据的线性相关程度越强，正确； D.样本，，，的平均数为，样本，，的平均数为，若样本，，，，，的平均数为，又，，，，因此D正确． 10.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则(    ) A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD  【解析】解：等比数列中，满足，公比，． 对于选项A，， 当时，为常数，故是等比数列，A正确； 对于选项B，因为，， 所以为常数， 故是等差数列，故B正确； 对于选项C，因为，，不符合等比数列的通项公式的形式， 所以不是等比数列，故C错误； 对于选项D，由选项C的分析内容可知：， 当时，为常数， 故是等比数列，D正确； 11.如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于，两点，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是(    ) A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线有个交点，则的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AC  解：：可变形为，则上半部分表示以为圆心，为半径的个上半圆曲线的焦点为，解得，，，则曲线的方程为，故A选项正确 另椭圆的上焦点，所以可以看成，当点位于的下顶点时，最大，所以，故B选项错误 当直线与第一象限半圆相切时，，，由图，可得的取值范围为，故C选项正确 根据对称性，不妨设，联立 消去并整理得， ，， 则，， 则，， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，，所以的最大值为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为锐角，且，则          ． 【答案】  解：为锐角，且，为锐角，故，则． 13.过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则          ． 【答案】  解：由双曲线的方程得，，直线的方程为，设点为，点为，将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 故． 14.已知，为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________． 【答案】  解：由题意知，，，若，恒成立，在上单调递增， 当，，不合题意 则，令，，在上单调递减，单调递增， ， 得，，， 令，，则， 可得，，在单调递减， ，，在单调递增， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知函数在处有极小值． 求的解析式 求在上的值域． 【答案】解：由题意可得，又当时取得极小值， 所以即解得所以， 令，得或． 由得或，函数单调递增；由得，函数单调递减， 满足在处取得极小值， 所以． 当时，，的变化情况如下表所示： ， 因此，在区间上的值域为．  16.本小题分已知甲乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有道题，抢到并回答正确者得分，答错则对方得分，当其中一人得分领先另一人分或道题全部答完时比赛结束甲乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立． 求答完前两道题后两人各得分的概率； 设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望． 【答案】解：由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”． 设“第道题甲得分”，“第道题乙得分”， “答完前两道题后两人各得分”，则， 则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥， 所以，， ． 随机变量的取值为． ， ， ． 所以随机变量的分布列为 所以． 17.本小题分如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． 求证：平面平面 求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】解：设到底面的距离为， ， 取中点，连接， 为等边三角形，且， ，平面，又平面， ，又，，，平面， 平面，平面， 平面平面． 如图，以为原点，，所在直线为，轴建立空间直角坐标系． 则，，则， 设平面的一个法向量， 取，得取平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，由图像可知为锐角，．  18.本小题分已知椭圆的离心率为，长轴长为． 求椭圆的标准方程 过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】解：椭圆的长轴长为，因此，解得． 离心率，由可得． 根据，解得，因此． 椭圆的方程为：． 由题意可知直线的斜率一定存在， 则可设直线的方程为，设． 联立直线与椭圆方程得到：， 化简得到：则，， 记点为点，则， 于是，解得． 利用相交弦长公式： 代入和，得到：．  19.本小题分已知且，集合，其中若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． 判断集合是否是的子集说明理由 判断是否为集合的变换函数说明理由 若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集若存在，求的解析式若不存在，说明理由． 【答案】解：令，在上是连续函数， 且，，，符合， 是的变换函数，是的子集 ，而在上单调递减， 若为集合的变换函数， 则由且， ， ，同理， ，，即至少要有两个不等的正数根， 而只有一个正数解，矛盾， 故不为集合的变换函数 由， 当时，由，，，， 且， ，，，，， ，，取知符合题意． 当时，由，，，，而， ，，，，，，，， ，此时取知符合题意．  1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州光正实验学校2024-2025学年高二下数学 期末模拟试题（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则的虚部为(    ) A. B. C. D. 3.在等比数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 4.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. C. D. 5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 6.已知的三个内角，，的对边分别为，，向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，若在上存在最小值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是(    ) A. 若随机变量，满足，则 B. 若随机变量，，则 C. 若样本相关系数的绝对值越接近，则成对样本数据的线性相关程度越强 D. 记样本，，，的平均数为，样本，，的平均数为，若样本，，，，，的平均数为，则 10.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则(    ) A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 11.如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于，两点，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是(    ) A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线有个交点，则的取值范围为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为锐角，且，则          ． 13.过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则          ． 14.已知，为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知函数在处有极小值． 求的解析式 求在上的值域． 16.本小题分已知甲乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有道题，抢到并回答正确者得分，答错则对方得分，当其中一人得分领先另一人分或道题全部答完时比赛结束甲乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立． 求答完前两道题后两人各得分的概率； 设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望． 17.本小题分如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． 求证：平面平面 求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分已知椭圆的离心率为，长轴长为． 求椭圆的标准方程 过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求． 19.本小题分已知且，集合，其中若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． 判断集合是否是的子集说明理由 判断是否为集合的变换函数说明理由 若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集若存在，求的解析式若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$