广东梅县东山中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 以实际情境为载体，融合函数、统计、概率等知识，通过基础题与探究题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、排列组合、函数极值|第2题颁奖拍照情境，考查排列应用| |多选题|3|不等式、概率统计、新定义|第11题“k-利普希兹”条件，考查创新理解| |填空题|4|函数值域、期望、几何应用|第14题折纸问题，融合几何与函数求最值| |解答题|5|导数、线性回归、数列概率|第17题结合线性回归与全概率公式，考查综合应用|

东山中学高二期末考试数学试卷 一、单选题 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 3．若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 4．某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（   ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A．240 B．280 C．300 D．320 5．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意 D．函数有且仅有2个零点 6．已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（   ）（参考数据：） A．8 B．12 C．16 D．20 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 9．已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 10．下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量，则 B．某校高三年级名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩服从正态分布（试卷满分为分）．统计结果显示，数学检测成绩介于分到分之间的人数为名，则此次检测中成绩不低于分的学生人数约为总人数的 C．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则 D．若事件，满足，，且，则与相互独立 11．对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“k—利普希兹”条件，下列说法正确的是（    ） A．若，，则在上相对于不满足“2—利普希兹”条件 B．若，，在上相对于满足“k—利普希兹”条件，则k的最小值为 C．若，，在上相对于满足“4—利普希兹”条件，则a的最大值为 D．若，，在非空数集D上相对于满足“1—利普希兹”条件，则 三、填空题 12．已知函数，则函数的值域为________． 13．甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 14．折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm. 四、解答题 15．设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 16．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 18．已知定义域为的函数满足对任意、都有. (1)求证：是奇函数； (2)设，证明：对任意、都有； (3)当时，，求不等式的解集． 19．在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． (1)求，的值； (2)求的分布列； (3)记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D B D C AB BCD 题号 11 答案 ABC 12． 13． 【详解】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 14． 【详解】由题意得：长方形纸片的面积为，又， ， 当折痕如下图MN所示时， 设，则，解得：， ，即，当且仅当时取等号； 令 ，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又 ，故 ，故 ； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， ， 当时，取得最小值64， 当或5时，取得最大值89，则； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， 则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，故， ； 综上所述：折痕长的取值范围为， 故答案为： 15．(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出及切线方程. （2）确定函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值及最小值. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，并求出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分析可知，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由得，所以，解得，故， 由得，解得， 故， 当时，，故. （2）因为“”是“”的充分不必要条件，等价于， 因为，， 所以，解得，故实数的取值范围是. 17．(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令，可得出的值，然后令，，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立； （2）在等式两边同时除以，可证得结论成立； （3）利用单调性的定义分析函数在上的单调性，并分析函数的奇偶性，由所求不等式结合函数在上的单调性、奇偶性可得出关于的不等式，即可解出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 对任意、都有， 令，得，故， 令，得，可得， 令，，得，故函数为奇函数. （2）因为，且，， 所以，，即. （3）设，则，所以， 因为， 所以，在上是减函数， 因为函数的定义域为，，且为奇函数， 所以，，即函数是偶函数， 由可得，则，解得且， 因此，不等式的解集为. 19．(1) (2) 分布列如下： 1 2 3 (3)证明见解析 【分析】（1）根据为偶数时计算对应概率即可； （2）确定的可能取值，再分别计算每个取值对应的所有路径的概率和，进而求解分布列； （3）利用期望的线性性质表示，结合的递推关系，通过数学归纳法证明，进而完成证明. 【详解】（1）表示的概率，从到共走步，要使， 需步中和的步数相等，即为偶数. ，共走步，需1步、1步： ， ，共走步，需2步、2步： . （2）是前5项中0的个数，偶数项不可能为0， 仅可能为0，故的可能取值为； ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 （3）设变量，，则， 由期望可加性得：， 对任意，，化简得：， 即， 整理得：①， 归纳证明： 若，则，成立； 假设时成立， 则时： ，归纳成立； 将代入式①， 得：，原等式得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $