河南平顶山市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷(A卷)

秘密★启用前 普通高中2025一2026学年（下）高二年级期末考试 数学(A卷) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在等差数列{an}中，a1十a3=2,a4=4,则{am}的公差为 A受 B.2 C.3 D.4 2.已知空间直角坐标系中的△ABC满足AB=(0,2,1),BC=(-1,2,0),则1AC= 订 A.√6 B.3 C.32 D.5 3.经过抛物线x2=y与y2=x的两个交点的直线方程为 A.y=x B.y=-x C.x+y=1 D.x-y=1 4.已知y关于x的经验回归方程为y=1.6.x十1.2.若x=10u,y=10v.则v关于u的经 验回归方程为 A.=0.16u+0,12 B.=1.6u+0.12 C.v=16u+0.12 D.=1.6u+1.2 5.若数列a,}的前6项满足恒等式(z-y)°=之a1xy,则a}的前5项和为 0 A.-5 B.1 C.0 D.-1 6.已知a∈R,则圆(x-a)2+(y-2a)2=9上任意一点到直线3x-4y十5a十10=0的距 离的最大值为 A.2 B.3 C.5 D.6 7.已知随机变量X~N(0,a2)(a>0),且P(X>2)=0.2,则P(X<2|X>-2)= B号 c D 数学试题(A卷)第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 8.已知圆O:x2+y2=9与圆C:(x一3)2+y2=9.若以直线x+y=m上任意一点P为 圆心，以点P到圆O的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最 小值为 A.3√2 B号 c D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在正八面体S-ABCD-T中（正八面体是由8个全等的正三角形围成的多面体），四边 形ABCD为正方形，E,F,G,H分别为SA,SB,TC,TD的中点，则 A.EF∥AB B.EH∥FG C.EF⊥EH D.EG⊥FH 10.在某次实验中，某同学根据4个样本点(1，一2)，(4，一8)，(m,一2)，(3，t),利用最小 二乘法得到y关于x的经验回归方程y=一2x十1，设对应的回归直线为：y= 一2x+1.已知这4个样本点到1的距离均不超过气，记e,=y,一，其中，为观测 值，少，为预测值，e:为x)对应的残差（注：由最小二乘法所得残差满足习，=0， ，=0小则 A.样本点(1，一2)对应的残差为1 B样本点(1，一2)到1的距离为5 C.m=1 D.t=-4 11.设曲线C:y=e,过C上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点A,B.,记 A,P=AB,则 A.P,的轨迹与x轴仅有一个交点 B.P,的轨迹与y轴仅有一个交点 C.P,的轨迹在第二象限仅有一个最高点D.P,的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线-苦=-1的离心常为 13.端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活 动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不 同的选择方式共有」 种（用数字作答）， 14.方程e=3x十lnx的解的个数为 数学试题(A卷)第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AA1=BC (1)证明：AC⊥平面ABB1A1; (2)求直线AB,与平面A1BC所成角的正弦值， 16.(15分) 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对(x,y),其中状态指示值 x,y∈(1,2}.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信 号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对(1,1)出现的频数为 m(m∈Z,10≤m≤50)，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值. (1)直接补全下列列联表（用m表示）： 单位：个 y 合计 y=1 y=2 x=1 m x=2 合计 100 (2)若按样本频率得到的x与y相互独立，即X2=0. (1)求m的值，并计算单次输出时满足x=y的概率p; (ⅱ)现该系统继续独立输出4个信号对，记满足x=y的信号对个数为X,求X的分 布列与数学期望. n(ad-bc)2 附：X2=a+b)c+)a十c)(6+dD其中n=a+6+c+d, 数学试题(A卷)第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分) 黑板上先写有两个数1,1，记为第1行，由第n行得到第n+1行的规则如下：保持原 有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1,1→ 1,2,1→1,3,2,3,1.设第n行所有数之和为Sn (1)证明{Sn一1}是等比数列，并求{Sn}的通项公式； (2)记第n行中位于偶数位置的所有数之和为Tm,求(T.}的通项公式 18.(17分) 在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C+y 2=1(a>b>0),且点T(1,0)到c的 上顶点以及右顶点的距离分别为√2和1. (1)求C的标准方程. (2)过点T的直线l与C交于A,B两点，设M为线段AB的中点. (1)证明：点M在曲线x2+4y2=x上； (i)若△OMT的面积为g,求1的方程， 19.(17分) 已知定义在(0，十∞)上的函数f.(x)=n“x-1(n∈N)的零点为x.,且x1=1, 1 气x-5 (1)试猜想数列{xn}的通项公式，并加以验证； (2)求数列.的最小值与数列 的最小值； (3)证明：{f(xn)}是递增数列. 数学试题(A卷)第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP普通高中2025一2026学年（下）高二年级期末考试 数学(A卷)参考答案 1.A【解析】由等差数列的性质，得a1十a,=2a2=2,解得a2=1,故{a,}的公差d=a4二g2-3 4-2-2 故选A. 2.C【解析】由向量加法得AC=AB+BC=(0,2,1)十(-1,2,0)=（-1,4,1)，所以 |AC=√J(-1)2+42+17=3√2. 故选C. 3.A【解析】由y=x2与x=y2得x=x4,即x(x3-1)=0,所以x=0或x=1,两抛物线的交点为(0,0)，(1， 1),过两个交点的直线方程为y=x. 故选A. 4.B【解析】由x=10u,y=10m,得y=10元，代人y=1.6x+1.2,得10元=1.6·10u十1.2，所以元= 1.6u+0.12. 故选B. 5.D【解析】由二项式定理，得(z-y)5=[(-y)十x]5=∑C(-y)x=∑Cx(-y),所以a+1= C(-1)5,{am}的前6项依次为-1,5，一10,10，一5,1，则{an}的前5项和为一1+5-10+10一5=一1. 故选D. 6.C【解析】该圆的圆心为(a,2a),半径为3，圆心到直线3x-4y十5a+10=0的距离为3a一8a+5a+101 √32+(-4) 9=2,所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2十3= 故选C. 7.C【解析】因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线x=0对称，由P(X>2)=0.2,得 P(X<-2)=0.2,于是P(-2<X<2)=1-0.2-0.2=0.6,且P(X>-2)=1-0.2=0.8,所以P(X<2|X> -2)=PC-2<X<2)0.63 P(X>-2)0.84 故选C. 8.B【解析】设P(x,m-x),记|PC=d=√(x-3)十(m-x),点P到圆O的切线长为r,则r2=x2+ (m-x)2-9.圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于|d-31≤r≤d+3.因为d=x2+(m-x)2 6x+9,所以r2-(d+3)2=x2+(m-x)2-9-d2-6d-9=6x-6d-27.又d≥x-3,所以6x-6d-27≤ -9<0,所以r<a+3恒成立.由(d-3)≤，得4-6d+9≤r+(m-x)2-9,整理得x十d≥，即x+ V-3)+(m一z≥2()对任意实数z成立.当≥8时，()式成立：当x<号时，(~)式两边平方， 得红3+m一≥（层-广，即2+8-2）+-号0，也脚(m}+8m≥ 一2≥0（米*）.若 m≥2，则(*)式成立，且圆心0到直线x十y=m的距离为>3，满足题意：若m<9, .9 2 下交，暇五m一名，此 时(-m十》+3m召0，()试不成立，综上所述，实数m的最小值为 9 故选B. ·数学(A卷)答案（第1页，共6页）· 9.ABC【解析】以正八面体S-ABCD-T的中心为原点，CD,CB,TS的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方 向，建立空间直角坐标系，设AB=2,S到平面ABCD的距离为h,则A(1,1,0),B(-1,1,0),C(-1,一1， 0,D1,-1,0,S(0,0,),T(0,0,-A).易得A=E,则E(合2经)F(-22会)， G(司，会)，H(合，，)由成=(-10,0，店=(-20,0)，得EF/B,放A正确：由 Ei=(0,-1,-h),FG=(0,-1,-h),得EH∥FG,故B正确；由E疗.Ei=0,得EF⊥EH,故C正确； 由EG=(-1,-1,-h),Fi=(1,-1,一h),EG·Fi=h2≠0，得EG与FH不垂直，故D错误. 故选ABC. 10.BD【解析】由题意可知残差e:=y:一y:=y:十2x:一1，四个样本点的残差依次为一1，一1,2m一3，t十5，样 本点1，-2》对应的残差为-1，故A错误点1，-2》到1的距离为2名1-，B正确：因为立，=0… ∑z80,所以=1-1+(2m-3)+(t+5)=0,即2m+t=0,且1×(-D+4×(-D+m(2m 5 3(t+5)=0,即2m2-3m+3t+10=0,将t=-2m代入，得2m2-9m十10=0，解得m=2或m= 2点 (z,y)到直线1的距离为2x+y-1山，由题意得12z十y-1≤1，对于点(m,一2)，有12m-3≤1，所 √5 以1≤m≤2，故m=2,故t=一4，C错误，D正确. 故选BD. 1l.ABC【解析】由y=e,得y=e,曲线y=e在横坐标为t的点处的切线为y一e=e(x一t),即y=e'x十e(1- ,不妨设切线与轴交于AG-1,0,与y销交于B0e(-》,所以P(分，e0).设卫，（红，，则 z-2,放=2x十1，从面y=,24-》-一，所以B的轨速方程为y=一，令 2 y=一xe2x+1=0,得x=0,所以P,的轨迹与x轴仅有一个交点(0,0)，故A正确；令x=0,得y=0,所以P,的轨迹 与y轴仅有一个交点(0,0)，故B正确；当x<0时，y>0,此时P,的轨迹在第二象限，且y'=一e2x+1(1+2x), 由y/-0,得x=一分当x<2时w>0,当2<x<0时<0，所以y--xe在(-60,2）上 单调递增，在（合0）上单调递减，所以P,的轨迹在第二象限仅有-个最高点，故C正确：当x>0时，y< 0,P,的轨迹在第四象限，且y'=一e2x+1(1十2x)<0,因此y=一xe2x+1单调递减，所以P,的轨迹在第四象 限不存在最低点，故D错误. 故选ABC. 12.23 3 【解折】由子-苦=-1，得号-=1，所以双曲线的焦点在y轴上，且。2=3,6=1，从面c2=a2+ 6=4,c=2,所以双曲线的离心率为e=二=2=2y3 a√33 13.36【解析】先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为C=6,再将分好的三组全排列，分配给 3名不同的员工，排列方法数为A=6,根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种， 14.2【獬标冷fx)-e-3x-lnze>0,则f)-e-3-令8x)-f.则ga)-e+>0, 所以f(x)单调递增，又了(1)=e-4<0,f④)=e-3->16-0,所以f(x)在区间1,4)内有唯 ·数学(A卷)答案（第2页，共6页）· -零点，记为a,于是f(x)在(0，e)内单调递减，在(a,十∞)上单调递增，又f(兮)=e-1+1n3>0, f1)=e一3<0，由函数零点存在定理及函数f(x)的单调性可知了(x)在区间（兮，1）内有且仅有一个零点， 又f(a)<f(1)<0,且f(4)=e-12-ln4>16-12-4=0,所以f(x)在区间(a,4)内有且仅有一个零点， 故原方程的解有2个. 15.解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以AC⊥AA1, (2分) 又AB⊥AC,AB∩AA1=A,AB,AA1C平面ABB1A1,得AC⊥平面ABB1A1. (5分) (2)以A为原点，A方，AC,AA的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-zyz, (6分) 不妨设AB=1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0W2),B1(1,0,W2),AB1=(1,0,√2)，A1C (0,1,-√2)，A1B=(1,0,-√2)， (9分) 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,之)， n…A店=0，即一2x=0取=2，则n=(厄WE,1D, 则有 即 (11分) n·A1C=0,”y-√2x=0, 记直线AB,与平面A:BC所成的角为0，放sin0=AB,m= |√2+√2| 2√30 15 (13分) |AB,l|n|√1+2X√2+2+I 16.解：(1)设在这100个信号对中，x=1出现的频数为n1,x=2出现的频数为n2, 依题意可得，十n:=100, n1=60, 解得 n1+2n2=140, n2=40. 设在这100个信号对中，y=1出现的频数为n3,y=2出现的频数为n4, n3+n4=100, n3=50, 依题意可得 解得 n3+2n4=150,n4=50. 由信号对(1,1)的频数为m,可得当x=1时，y=1与y=2的频数分别为m与60-m,当x=2时，y=1与 y=2的频数分别为50一m与m-10.故补全的列联表如下： 单位：个 2 x 合计 y=1 y=2 x=1 m 60-m 60 x=2 50-m m-10 40 合计 50 50 100 (6分) (2(1)由x:=0,得10[m(m-1060m)(50-m)]=0, 60×40×50×50 解得m=30. (8分) 由上述结果可知信号对(2,2)出现的频数为30-10=20，故样本中满足x=y的总频数为30十20=50，将此 ·数学(A卷)答案（第3页，共6页）· 样本频率视为概率即可得到单次输出时清足x=y的概率力一Q-7一 (10分) ()由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足x一y的概率均为2，由此判断随机变量X服从二 项分布，即X一B4,) (11分) 随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,4， (12分) p(x=o=C(2)'()’=P(x=1=C(合)'（分）》'-，P(x=2)-()'(合)°-， P(x=)=c(公)'（份）=是，P(x=40=c(分)广(2)=6 则X的分布列为 0 1 3 4 1 3 1 16 4 (14分) 因为X~B(,2》,所以E(X)=4X号-2 (15分) 17.解：(1)证明：由第n行得到第n十1行时，原有各数及顺序保持不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数 的和，因为每一行首尾均为1，所以第n行所有相邻两数之和的总和为2Sn一2， 于是Sm+1=Sm十(2Sm-2)=3Sm-2,即Sm+1-1=3(Sm-1), (4分) 又S1=2,所以S1一1=1，故数列{Sm一1}是首项为1，公比为3的等比数列， (6分) 从而Sn-1=3”-1,即Sn=3-1十1. (8分) (2)当n=1时，第1行为1,1，所以T1=1. 当n≥2时，第n行偶数位置上的数正好是由第n一1行相邻两数相加插人得到的数，所以T,=2Sm-1一2. (11分) 由Sm-1=3m-2+1,得Tm=2(3”-8+1)-2=2·3"-2. (13分) 11,n=1, 因此{Tn}的通项公式为Tn= 2.3m-2,n≥2. (15分) 8.解：)椭圆C:十=1(a>6>0)的上顶点为(0，b),右顶点为(a,0 由点T(1,0)到上顶点的距离为v2,得(1-0)2+(0-b)2=2,所以b2=1,又b>0,所以b=1. (2分) 由点T(1,0)到右顶点的距离为1，得|a-1|=1,即a=0或a=2,又a>b=1,所以a=2. (3分) 因此椭圆C的标准方程为+y-1。 (4分) (2)(i)证明：当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y=k(x-1). 代入+y2-1,得+k2(红-1)2=1，整理得(1+4h)x2-86z+42-4=0. (6分) 8k2 设交点A,B的横坐标分别为测十十所以中点M的横坐标为w西桃 2 1+4k2: 因为点M在直线y=(x-1)上，所以中点M的纵坐标为yM=b(xM一1)=一1十4k: k (8分) 于是+-，广+o)》-8-0=用点M在周线+y-上 (10分) ·数学(A卷)答案（第4页，共6页）· 当直线1垂直于x轴时，直线1的方程为x=1,易得线段AB的中点M(1,0)也满足x2十4y2=x. 综上，点M在曲线x2十4y2=x上. (12分) (i)若直线l垂直于x轴，则M(1,0),点M,T重合，不合题意 故由(2)(1)，得yw=一1十4，而00,0)，T1,0),所以△OMT的面积为2w. (13分) 由题意，得百所以1=子即十0-子 令&=1，则≥0，且1十0-专整理得4-4十1=0，即(2a-1)=0,所以u 2, 放=或k=- 1 (15分) 因此直线1的方程为y-2红-1)或y=-2x-1),即x-2y-1=0或x+2y-1=0, (17分) 1极据：由1，号，有将-1-传》产=传 (1分) 精想数列x的通项公式为x=(月)。 (2分) 因%人.伯)）-，丁(-1=以产-1=所以箭短支立 (3分) (2)设g(x)=x=eh,故g'(x)=x(lnx十l), (4分) 当x∈(0，)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈（日，十∞）时，g'(x)>0,g(x)单调递增， (5分) 而x.=(日)产=g(分)， 注意到（分）=（分）-（日）=（保）>8（行） 结合函数g(x)的单调性，可知x,≥，=（得）】 故数列x,)的最小值为（合）广。 (7分) 易知当n≥3时，工+>1， 31 V2 放数列臣的最小位为竖 (9分) (3)证明：f(x)=n”+x·nx"-1·nlnn=n”(n.x"lnn十1)， (10分) 于是fz)=n(·na+)=n+1D (11分) 设h(x)=x(Inx+1)=en(Inx+1),c≥1， ·数学(A卷)答案（第5页，共6页）· 6-[a+Dl2-=-+n (13分) 下面证明x-(1nx)2+1>0. 注意到x-(Inx)2=(W元)2-(lnx)2=(√元-lnx)(√元+lnx), (14分) 显然√元+lnx≥1(x≥1)， 设(x)=丘-lnx(x>1),则p'(x)=1-1=-2, 2√xx2x (15分) 当1≤x<4时，p'(x)<0,p(x)单调递减，当x>4时，p(x)>0,p(x)单调递增. 故p(x)≥p(4)=2-ln4>0, 于是x-(lnx)+1>0,则h'(x)>0,h(x)在[1，+∞)上单调递增， 于是{f(xn)}是递增数列. (17分) ·数学(A卷)答案（第6页，共6页）·