精品解析：河南省叶县2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

河南省叶县2025年高二数学下学期期末试题 【测试范围：人教A版2019选修一、二、三全部内容】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，分别令、，将所得等式联立可得的值. 【详解】设， 令可得， 令可得， 上述两式子相加得，，故， 展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件结合条件概率公式，可得事件相互独立，再逐项分析判断. 【详解】由，得， 即，因此事件相互独立， 对于A，，A正确； 对于B，独立事件的概率无需满足，如， 当时，事件相互独立，而，B错误； 对于C，独立事件的概率和无特殊要求，如， 当时，事件相互独立，而，C错误； 对于D，，当且仅当时，， 而题设无的条件，D错误. 故选：A 3. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比（ ） A. 2 B. 2或 C. 3 D. 3或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到方程，并得到，求出公比即可. 【详解】由题意得，即， 因为，所以，故可得， 解得（负值舍去）. 故选：A. 4. 已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 5. 现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（ ） A. 360种 B. 420种 C. 120种 D. 480种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 6. 椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求得双曲线渐近线方程为，求出渐近线与椭圆交点横坐标，结合渐近线与双曲线位置关系有，即可得. 【详解】椭圆离心率，所以双曲线离心率，则渐近线方程为， 联立椭圆方程，得， 由渐近线与双曲线位置关系，它们与椭圆在第一象限交点横坐标有， 所以，只有满足. 故选：D 7. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量及相关量并表示出，计算数量积与模长，最后求异面直线所成角余弦值. 【详解】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D 8. 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，求出通项公式，依次求解判断各个选项. 【详解】由，易知，则，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，即， ，，故A正确，D错误； 又，故C错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 B. 已知X是随机变量，则 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可判断A，根据方差的性质可判断B，根据残差图的性质可判断C，根据相关系数的性质可判断D． 【详解】对于A，对于等差数列，无论项数n为奇数或偶数，中位数均为首项与末项的平均数， 根据等差数列的性质可知，首项与末项的平均数即为整体的平均数， 所以等差数列的中位数和平均数相等，故A正确； 对于B，由方差的性质可知，， 所以，故B正确； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（ ） A. 函数仅有一个零点 B. 若函数在点处与x轴相切，则 C. D. 若为增函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，结合求参数判断B；令并研究的单调性比较大小判断C；问题化为在上恒成立，求参数判断D；应用导数研究函数的零点判断A. 【详解】由题意得的定义域为，． 函数在点处与x轴相切，则，得，故B正确； 当时，，， 函数在上单调递增，则， 则，即，故C正确； 若为增函数，则在上恒成立， 则在上恒成立，在上恒成立， 即（当且仅当时取等），解得，故D正确； 令，则，解得或， 若，，，易知均大于0，则在上有两个零点， 不妨设，则，易知在和上单调递增，在上单调递减， 又时，时，，此时函数有三个零点，故A错误． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 13. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】9 【解析】 【分析】确定直线过定点，进而求得弦长最大、最小值，即可求解. 【详解】直线：可化为，由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆C内， 当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离， 所以直线被圆C截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10， 所以弦长的取值范围是.又弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条， 又直线被圆C截得弦长为，不是整数， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有9条. 故答案为：9 14. 若随机变量，且，，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 16. 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行.为倡导全民健身理念，某社区随机抽取了200名市民，调查其周平均运动时长与年龄（以40岁为分界线）的关系，得到如下列联表： 年龄 周平均运动时长 合计 小于5小时 大于等于5小时 40岁以下 30 70 100 40岁及以上 50 50 100 合计 80 120 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断周平均运动时长是否与年龄有关； （2）现从40岁及以上的样本中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取10人进行运动习惯访谈，再从这10人中随机抽取3人赠送运动礼包，记抽取的3人中“周平均运动时长小于5小时”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2）随机变量的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）计算卡方、对比临界值即可判断； （2）的所有可能取值为0，1，2，3，算出对应的概率即可得分布列，进一步得数学期望. 【小问1详解】 由列联表，得 ， 所以依据小概率值的独立性检验，可以认为周平均运动时长与年龄有关. 【小问2详解】 抽取的10人中，周平均运动时长小于5小时的有人， 周平均运动时长大于等于5小时的有人. 随机变量表示抽取的3人中，“周平均运动时长小于5小时”的人数， 故的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以. 17. 已知圆过点，且过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线过点与椭圆交于两点，设直线BP，BQ的斜率分别为，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意代点入方程求解，再结合椭圆定义求解和椭圆方程； （2）讨论斜率为时不满足条件，再设直线的方程并和椭圆联立，由结合韦达定理求解参数即可. 【小问1详解】 圆过点． 又圆过点，解得． 解得， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知． ①当直线的斜率k=0时，，不合题意. ②当直线的斜率k≠0时，设直线的方程为， 由题意可知，则．设． 由消去，整理得， 则． 直线BP，BQ的斜率分别为， ． ，解得， 此时直线的方程为，即． 18. 已知函数. （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）若有极大值，且极大值大于1，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数； （2）利用导数讨论单调性，利用导数判断函数单调性，得出函数的极值，再解不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切的切点为，则.① ，则.② 由①②解得. 【小问2详解】 不可能为0. 当时，的定义域为是增函数. 令，解得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 有极小值，没有极大值，不符合题意. 因为，所以的定义域为. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 有极大值，没有极小值. 因为的极大值大于1， 所以，解得. 故的取值范围为. 19. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 （i）设小王第次买到特别喜欢的款式为事件. 则小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率为； （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则； 【小问2详解】 记的可能取值为. 因为前6次（包含第6次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 6 7 则. 记， 则， 两式相减，得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县2025年高二数学下学期期末试题 【测试范围：人教A版2019选修一、二、三全部内容】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比（ ） A. 2 B. 2或 C. 3 D. 3或 4. 已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（ ） A. B. C. D. 5. 现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（ ） A. 360种 B. 420种 C. 120种 D. 480种 6. 椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 7. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 10. 下列说法正确的是（　　） A. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 B. 已知X是随机变量，则 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 11. 已知函数，则（ ） A. 函数仅有一个零点 B. 若函数在点处与x轴相切，则 C. D. 若为增函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为__________. 13. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 14. 若随机变量，且，，则的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行.为倡导全民健身理念，某社区随机抽取了200名市民，调查其周平均运动时长与年龄（以40岁为分界线）的关系，得到如下列联表： 年龄 周平均运动时长 合计 小于5小时 大于等于5小时 40岁以下 30 70 100 40岁及以上 50 50 100 合计 80 120 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断周平均运动时长是否与年龄有关； （2）现从40岁及以上的样本中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取10人进行运动习惯访谈，再从这10人中随机抽取3人赠送运动礼包，记抽取的3人中“周平均运动时长小于5小时”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知圆过点，且过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线过点与椭圆交于两点，设直线BP，BQ的斜率分别为，若，求直线的方程． 18. 已知函数. （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）若有极大值，且极大值大于1，求的取值范围. 19. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $