专题02 利用空间向量解决距离与夹角问题7种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题02 利用空间向量解决距离与夹角问题 目录 类型一、利用空间向量解决点到直线的距离问题 类型二、利用空间向量解决点到平面的距离问题 类型三、利用空间向量解决异面直线距离、线面距离、面面距离问题 类型四、利用空间向量解决距离最值问题 类型五、利用空间向量解决异面直线夹角问题 类型六、利用空间向量解决线面角问题 类型七、利用空间向量解决二面角、面面角问题 压轴专练 类型一、利用空间向量解决点到直线的距离问题 解题技巧： 点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． 例1-1．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D．6 例1-2．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 变式1-2．已知为直线的一个方向向量，点,则点到直线的距离为（   ） A．4 B． C． D． 变式1-3．在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ． 变式1-4．已知正方体的棱长为分别为棱的中点，点在线段上，则当的面积最小时，点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 类型二、利用空间向量解决点到平面的距离问题 解题技巧： 点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ， 例2-1.已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 例2-2.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，可得平面的点法式方程为.若已知平面的点法式方程为，则点到平面的距离为 . 变式2-3．棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为 ． 变式2-4．在正三棱柱中，所有棱长都为2，是侧棱上一动点，则到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C． D．7 类型三、利用空间向量解决异面直线距离、线面距离、面面距离问题 解题技巧： 异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 例3-1．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 例3-2．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 变式3-3．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 类型四、利用空间向量解决距离最值问题 解题技巧： 1.建系奠基：根据几何体的结构特征（如正方体、直棱柱等），建立合适的空间直角坐标系，精准确定各顶点、动点的坐标（动点可设为含参数的坐标形式）。 2.向量转化：将几何中的点、线、面转化为向量表示——点用坐标向量表示，直线用方向向量表示，平面用法向量表示，把距离问题转化为向量的模长或数量积运算问题。 3.公式套用：点到点距离、点到线距离、点到面距离 4.最值求解：将距离表达式转化为关于参数的函数（如二次函数、分式函数等），利用二次函数性质、均值不等式、导数等方法求最值；或借助向量数量积的不等式性质 5.验证取等：检验最值对应的参数值，确保其符合几何图形的实际位置，避免出现无效解。 例4．已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为 ． 变式4-1．如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 变式4-2．在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 变式4-3．如图，正方体的棱长为4，G，E、F分别是，AB，BC的中点，P是四边形内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式4-4．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 类型五、利用空间向量解决异面直线夹角问题 解题技巧： 异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． 易错提醒：（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值 例5．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，四棱锥中，是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的正切值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 类型六、利用空间向量解决线面角问题 解题技巧： 线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． 例6．已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式6-4．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在上，且．是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 类型七、利用空间向量解决二面角、面面角问题 解题技巧： 二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中 易错提醒：根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 例7．如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .    变式7-1．在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 变式7-2．已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为 . 变式7-3．“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ． 变式7-4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 压轴专练 1.已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2.如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 3.长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4.如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 5.已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6.（多选）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （    ） A．当时，直线与所成角的正弦值为 B．当时，直线与所成角的正弦值为 C．当时，平面与所成角的余弦值为 D．当时，平面与所成角的余弦值为 7.（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 8.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 9.空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 10.在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 11.已知正三棱锥的三个侧面均为直角三角形，过点作一平面，点在该平面的同一侧，且到平面的距离分别为1，2，3，则 . 12.在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 13.如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 14.如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.    (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用空间向量解决距离与夹角问题 目录 类型一、利用空间向量解决点到直线的距离问题 类型二、利用空间向量解决点到平面的距离问题 类型三、利用空间向量解决异面直线距离、线面距离、面面距离问题 类型四、利用空间向量解决距离最值问题 类型五、利用空间向量解决异面直线夹角问题 类型六、利用空间向量解决线面角问题 类型七、利用空间向量解决二面角、面面角问题 压轴专练 类型一、利用空间向量解决点到直线的距离问题 解题技巧： 点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． 例1-1．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】用空间向量法求点到直线的距离. 【详解】因为，所以点到直线l的距离为 ， 故选：C 例1-2．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，， 所以，， 则点到直线EF的距离是. 故选：B 变式1-1．已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意得，，再根据点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】，，则在上的投影向量的模为， 则点到直线的距离为. 故选：A. 变式1-2．已知为直线的一个方向向量，点,则点到直线的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】因为，，所以， 又为直线的一个方向向量， 所以， 不妨令，可得所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 变式1-3．在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到直线过点，且方向向量为，再由空间中点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】由题意，直线过点，且方向向量为， 又由，可得，可得， 所以， 又由， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 变式1-4．已知正方体的棱长为分别为棱的中点，点在线段上，则当的面积最小时，点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据条件，将问题转化成求到直线的距离的最小值，利用点到直线的距离的向量法，得到，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为棱的中点， 则，所以，， 又点在线段上，设，则， 所以，设点到直线的距离为， 则， 由题易知，，则当的面积最小时，即最小， 由二次函数的性质知，时，最小，此时，    故选：C. 类型二、利用空间向量解决点到平面的距离问题 解题技巧： 点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ， 例2-1.已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又点在平面内，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 例2-2.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】在棱长为1的正方体中，以D为坐标原点，以为轴， 建立空间直角坐标系， 则， , 设平面的一个法向量为，则, 即，令，则， 则点到平面的距离为， 故选：C 变式2-1．已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接用向量的方法计算点到平面的距离可得. 【详解】由，，得. 又因为平面的一个法向量为， 所以. 所以点到平面的距离为. 故选：B 变式2-2．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，可得平面的点法式方程为.若已知平面的点法式方程为，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先根据平面的点法式方程确定平面的法向量和平面上一点的坐标，再利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离. 【详解】已知平面的点法式方程为，可得平面的法向量，平面上一点， 已知，，则， 可得：； 根据向量模长的计算公式，可得； 根据点到平面的距离公式，可得. 故答案为：. 变式2-3．棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为 ． 【答案】． 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，再根据和与平面所成的角的大小均为可解得法向量，进而可求点到平面的距离. 【详解】如图：以A点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以， 设平面的法向量为，因为与平面所成的角的大小均为， 所以，即——① 再由与平面所成的角的大小均为，所以 ，即——②. 联立①②得，解得或. 当时，代入①得，，， 解得，令，得，， 则到平面的距离为； 当，代入①得，， ，即，因为，所以方程无解，舍去. 综上所述，点到平面的距离为. 故答案为： 变式2-4．在正三棱柱中，所有棱长都为2，是侧棱上一动点，则到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式表示距离，最后结合换元法和基本不等式求解最大值即可. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，， 以，，的方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，. 因为，， 所以，令， 解得，得到. 设到平面的距离分别为， 因为，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以到平面的距离之和的最大值为. 故选：B. 类型三、利用空间向量解决异面直线距离、线面距离、面面距离问题 解题技巧： 异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 例3-1．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 例3-2．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 变式3-1．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 变式3-2．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， .    故选：D. 变式3-3．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 类型四、利用空间向量解决距离最值问题 解题技巧： 1.建系奠基：根据几何体的结构特征（如正方体、直棱柱等），建立合适的空间直角坐标系，精准确定各顶点、动点的坐标（动点可设为含参数的坐标形式）。 2.向量转化：将几何中的点、线、面转化为向量表示——点用坐标向量表示，直线用方向向量表示，平面用法向量表示，把距离问题转化为向量的模长或数量积运算问题。 3.公式套用：点到点距离、点到线距离、点到面距离 4.最值求解：将距离表达式转化为关于参数的函数（如二次函数、分式函数等），利用二次函数性质、均值不等式、导数等方法求最值；或借助向量数量积的不等式性质 5.验证取等：检验最值对应的参数值，确保其符合几何图形的实际位置，避免出现无效解。 例4．已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得，得到，再设，得到，求得直线过定点，得到到直线的距离，结合时，求得的最大值和最小值，即可求解. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，． 因为，设，则， 所以，，解得， 又因为，所以，所以． 因为是直线和上的动点，设，， 则由得，， 因为表示以为起点，终点在直线上的向量，坐标为， 所以直线过定点，设为点， 再设是在平面内的投影，则， 设到直线的距离为，则到直线的距离， 当直线经过点时，取得最小值0， 当时，取得最大值． 所以，，即到直线距离的取值范围为． 故答案为：．    变式4-1．如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：C. 变式4-2．在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 变式4-3．如图，正方体的棱长为4，G，E、F分别是，AB，BC的中点，P是四边形内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：C. 变式4-4．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得，最后利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示： 设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则，于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 令,则,故函数为开口向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增， 所以当时,即时，取到最小值为. 故答案为： 类型五、利用空间向量解决异面直线夹角问题 解题技巧： 异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． 易错提醒：（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值 例5．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角. 【详解】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 变式5-1．如图，四棱锥中，是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角. 【详解】因为，，两两垂直， 以A为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系. 又因为，， 所以，，，， 因为是棱的中点，所以， 所以，， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 变式5-2．已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的正切值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过三角形算出线段长，作，求得长，然后建立空间直角坐标系，设出点的坐标并得到参数之间的关系，利用空间向量间求得异面直线的夹角的余弦值，并求出范围，从而得到夹角的正切值的范围. 【详解】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，    因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ，因为， 所以当时，，所以当时，， 因为，所以. 故选：A 变式5-3．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】 如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则、 、 、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 则 ， 故选：A 类型六、利用空间向量解决线面角问题 解题技巧： 线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． 例6．已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面角与方向向量、平面法向量夹角的关系即可求解. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 故选：A. 变式6-1．是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 变式6-2．如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 故选：B. 变式6-3．在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面方程的一般形式，对比题干中的形式，求出平面的法向量；根据直线方程的一般形式，对比题干中的形式，求出直线的方向向量；再利用直线与平面所成角的向量公式求解. 【详解】设. 因为平面过点A，且满足方程，将其写为， 即， 所以，且平面的一个法向量为. 因为直线过点A，满足，且， 所以， 由得. 根据题干中的规定可知，，由可得， 对比可知，不妨取，则， 所以直线的一个方向向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 所以. 故选：B. 变式6-4．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在上，且．是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （2）根据条件得，结合条件，利用线面角的向量法建立等量关系，即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，又平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以， 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，设， 则，取，则，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）因为，则，又， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，从而， 假设存在满足题意，设与平面所成角为， 则， 化简得，解得或． 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 类型七、利用空间向量解决二面角、面面角问题 解题技巧： 二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中 易错提醒：根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 例7．如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .    【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 变式7-1．在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 变式7-2．已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】如图作，垂足为，作，垂足为，分别求出相关边长，由结合向量的数量积的运算律，计算得到，利用空间向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足为，作，垂足为， 因，则， 在中，由三角形面积相等可得， ， 同理可得， ，则. 由图知，，则，因， 则有 解得，故， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 故答案为：. 变式7-3．“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，得出两平面夹角余弦值的表达式，再根据点的坐标得出平面的法向量，利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式求最值． 【详解】 平面的方程为， 平面的法向量为， 同理，平面的法向量为， 两平面夹角的余弦值为， 平面经过点， ， 设的法向量为，则，令，则， 设的方向向量为，则，令，则， 平面,平面的法向量与直线的方向向量垂直，即， 平面与平面夹角的余弦值为 ， ，， ，当且仅当时取等号， 平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 故答案为：． 变式7-4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，，    在中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 在中，，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      因为，则， 所以，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 压轴专练 1.已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2.如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，即可证明,，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到直线的距离. 【详解】取的中点，连接， 因为、均为等腰直角三角形，所以 , 由二面角是直二面角，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 如图，以为原点, 所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, 则 , 所以 , 所以 , 所以, , 设直线的单位方向向量为，则, 所以点 到直线的距离为 . 故选：B 3.长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出点的位置坐标，然后根据向量的夹角求出的最大值即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为向量是平面的一个法向量， 所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以当时，取最小值为. 此时取最大值为. 故选：A.    4.如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D.    5.已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，由，故的最小值为异面直线的距离，再利用空间向量法求异面直线距离距离即可. 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 6.（多选）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （    ） A．当时，直线与所成角的正弦值为 B．当时，直线与所成角的正弦值为 C．当时，平面与所成角的余弦值为 D．当时，平面与所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角公式即可结合选项逐一求解. 【详解】不妨设，直线与所成角为，平面与的夹角为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量，则，即， 令，则， 当时，由得，故，， 设的法向量，则，即， 令，则，， ，故AC正确； 当时，,则，故，， 设的法向量，则，即， 令，则， ,，故BD错误， 故选：AC. 7.（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，选项A和D，利用空间中点到直线距离公式求解，选项B，利用点到面的距离公式求解，选项C，将面到面的距离问题转换点到面的问题进行求解. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， ， ， ，, 所以，，结合模长公式得， 则到直线的距离，故A不正确； 易知，又，， 所以，则平面的一个法向量为， 则点到平面的距离，故B正确； ，，， 设平面的法向量为，则， 所以，令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 因为平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 即该距离为，故C正确； 因为，所以，，则， 所以点到的距离，故D不正确， 故选：BC． 8.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】以顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标.由向量的数量积判断与的位置关系，即可判断A选项；由向量的数量积求得和公垂线的方向向量，利用投影求得两条异面直线的距离，判断B选项；利用向量的数量积证明线线垂直，即可求得点到直线的距离，判断C选项；由向量的数量积求平面的法向量，利用向量投影求得点到平面的距离，判断D选项. 【详解】在正方体中，以点为原点建立空间直角坐标系， ∴，，， ∵， ∴，∴ ，∴， ∴，∵，， ∴，， 由定义可知线段是异面直线与的公垂线段，A选项正确； 设向量为和公垂线的方向向量， 则，令，则，即， 由∵， ∴异面直线与的距离，B选项正确； ∵，， ∵，∴ ∴点到直线的距离，C选项错误； 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， ∴点到平面的距离，D选项正确. 故选：ABD. 9.空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 10.在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，进而可得点的坐标，利用，求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，， 所以， 所以， 所以， 当最小时，，， 所以，， 由，得，整理得①， 由，得， 整理得②， 由①②解得， .      故答案为： 11.已知正三棱锥的三个侧面均为直角三角形，过点作一平面，点在该平面的同一侧，且到平面的距离分别为1，2，3，则 . 【答案】 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设单位向量是平面的一个法向量，则，利用点到平面的距离求出，即可求出侧棱长. 【详解】设三棱锥的侧棱长为， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设单位向量是平面的一个法向量， 根据空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组， 使得. 由题意在上的投影向量的长度为1， 所以，即，也即，故. 同理可得. 所以，又， 所以，所以. 故答案为： 12.在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 故答案为：. 13.如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而根据长度关系由勾股定理可得，即可由线面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）取的中点E，连接，， 则四边形为矩形，所以， 因为为等边三角形，所以， 又因为，平面，所以平面， 平面，故，而，所以，所以， 由已知得，所以， 所以， 因为，平面，所以平面． （2）以C为坐标原点，，分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 设，因为，， 则 由①－②得：，②－③得：，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由得：， 设，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 14.如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.    (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面； （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则； 为平面的一个法向量，， 因为 ，所以， 因为直线平面， 所以直线平面. （2）设为平面的法向量，; 所以，令 ，则 ，则. 所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. （3）设为平面的法向量， 因为，所以; 所以,; ，令，则 ，则； 为平面的法向量； 则； 所以平面与平面的夹角的余弦值为.    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $